上海市复旦中学2026-2027学年高二上学期期中质量调研数学试卷

上海市复且中学2026学年第一学期高二数学期中质量调研试卷 命题人：陈颖 审核人：王晗 考生注意： 1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟； 2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题： 4.答题时可使用符合规定的计算器. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1、用适当的符号填空：如图，已知长方体ABCD-A'BCD',则直线 B'C平面BB'CC. 2.正四棱锥底面边长为√2，侧棱长为2，则棱锥高为 3.如图所示，在直三棱柱ABC-4B,C中，AB LAC,AB=AC=AA.则 异面直线AC,B,C所成角的大小是 4.若a为第二象限角，血a=},则s血2a= 5.如图，四边形OABC是利用斜二测画法画出的水平放置的四边 C 形OABC的直观图，其中O11B'C",OA=2,O'C=1,BC=1.则 四边形OABC的面积是 6.已知正方体的内切球的体积是4√3π，则这个正方体的体积是 7.已知空间中不在平面ABC上的一点O满足OP=OA+OB+(L-I)OC,且P,A,B,C四点共面，则 l= 1 8.正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线AB与CD在正方体中 的位置关系为 （选填“平行”、“相交”、“异面”). 9.在长方体ABCD-AB,C,D中，AC与平面ABCD、平面AAB,B、平面AADD所成角分别 为月、B2、月，则cos2月+cos2B,+cos2B= B 10.如图，直三棱柱ABC-AB,C中，D是CC的中点，则 VD-A:BC= VD-ABB:A 11.如图，长方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，且 B AB2AD,Q为AD的中点.二面角P-DB-A的正切值最大值为 D B 12.我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：夹在 两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等， 则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径 相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶 点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们 时，可证得所截得的两个裁面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积，？相等，即 =心R,R-写R2-R-号R.图3是一种四期帐篷的示意图，其中曲线A0C和B0D均是以2 3 为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD,用任意平行于帐篷底面ABCD的平面 截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷 的体积为 D 图1 图2 图3 2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有 且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.两条异面直线是指( (A)空间两条没有公共点的直线： (B)平面内一条直线与这个平面外的一条直线： (C)分别在两个平面内的两条直线； (D)不同在任何一个平面内的两条直线 14.已知点P(1,-2,1),2(1,2,3),点P在平面a内，若平面a的法向量n=(（1,0,1),则点2到平面a 的距离为() A.1 B.√2 C.5 D.2 15.已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是() A B. √2 2 c.3 D.兀 3 16.已知正三棱台AB,C-ABC所有顶点都在球O上，其中AB=2,AB,=1,侧棱延长相交于顶点 S,且三棱锥S-ABC恰为正四面体，则球O的表面积为() 8 B. 25 C.IIz 6 2 D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号） 内写出必要的步骤。 17.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 四边形ABCD是圆柱OO1的轴截面，E为底面圆周上的一点，AE=2√5，BE=4,AD=5. (I)求证：BE⊥平面ADE: D (2)求圆柱的表面积， - 18.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 已知：函数/()=Asin(ox+pj4>0,m>0,0<g<引， 且满足最小正周期为π，最大值为 2(=0 (1)求f(x)的解析式. (2)求∫(x)的对称轴方程和单调递增区间. 19.(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PBC是等边 三角形，且BC=2,PD=2V2· (I)求证：平面PBC⊥平面ABCD; (2)求点A到平面PCD的距离. B D 20.(本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD中，AB=AD=2,AA'=3,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60° D' (1)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD、AC; (2)求证：BD1AC'; (3)求AC的长. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题(1)满分6分，第2小题(2)满分8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，PA⊥面ABCD,PA=6,点E是 棱PD的中点，点F是棱PC上的一点（不包含端点）. D (I)求证：PB/1平面EAC; (2)若平面ABF与平面ABCD的夹角的余弦值为 3 (i)求三棱锥P-AEF的体积； (ⅱ)记平面AEF交PB于点G,点H在平面PBC上，求GF与平面 B HAD所成角的正弦值的取值范围.