精品解析：上海市延安中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

上海市延安中学2022学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、填空题（本大题共50分，第1-6题每小题3分，第7-14题每小题4分） 1. 正方体棱长为1，则对角线的长为______. 2. 半径为2的球的表面积为________. 3. 圆锥母线长为3，高为2，则圆锥底面半径为______. 4. 已知圆柱底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为___________ 5. 已知正方体棱长为2，则直线到平面的距离为______. 6. 设地球的半径为，球心为，北纬所在的小圆圆心为，则到的距离为______. 7. 棱锥被平行于底面的平面所截，分成体积相等的两部分，则底面与截面的面积之比是______. 8. 如图，用若干棱长为的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是______. 9. 已知，，，，该三角形以直线为轴旋转一周得到的旋转体的表面积是______. 10. 将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________. 11. 三棱锥中，且，若点、分别为棱、中点，那么线段的长为______. 12. 已知三棱锥的侧棱长均为3，，，，则顶点到底面的距离为______. 13. 一个棱长为10的正方体内有一个半径为1的球自由运动，那么正方体内不能被球扫过的部分的体积是______. 14. 一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______. 二、选择题（本大题共16分，每小题4分） 15. 已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（ ）. A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 16. 已知空间中，是互不相同直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 17. 下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ） A. B. C. D. 18. 已知菱形中，，AC与BD相交于点E，将沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，对于下面两个命题： ①存在一个位置，使为等边三角形； ②DM与BC不可能垂直，成立的是（ ） A. ①为假命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①②均为真命题； D. ①②均为假命题 三、解答题（本大题34分） 19. 已知四棱锥底面是菱形，，若平面，点为的中点.求证：平面平面. 20. 已知四棱锥底面为正方形，侧棱底面，，，点为棱上的中点.求： （1）二面角的大小； （2）异面直线和所成角大小. 21. 已知在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点 . （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求四面体的体积. 22. 已知两个四棱锥与的公共底面是边长为的正方形，顶点、在底面的同侧，棱锥的高，、分别为、的中点，与交于点，与交于点. （1）求证：点为线段的中点； （2）求这两个棱锥的公共部分的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市延安中学2022学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （考试时间：90分钟，满分：100分） 一、填空题（本大题共50分，第1-6题每小题3分，第7-14题每小题4分） 1. 正方体的棱长为1，则对角线的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体的图象特征即可求解 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以对角线， 故答案： 2. 半径为2的球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】代入球的表面积公式:即可求得. 【详解】， 由球的表面积公式可得, , 故答案为: 【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题. 3. 圆锥母线长为3，高为2，则圆锥底面半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求解即可 【详解】因为圆锥的母线长为3，高为2， 所以圆锥的底面半径为， 故答案为： 4. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为___________ 【答案】 【解析】 【分析】圆柱侧面积等于底面周长乘以高. 详解】依题意，圆柱底面周长等于，故侧面积等于 故答案为： 5. 已知正方体棱长为2，则直线到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，通过线面垂直的判定，得到平面，根据正方体的棱长，得到点到平面的距离. 【详解】连接交于，如图， 因为正方体，所以面为正方形， 所以， 在正方体中，平面， 而平面， 所以， 平面，， 所以平面， 所以为点到平面的距离， 又因为正方