精品解析：上海市曹杨第二中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

2026学年度第一学期高三数学 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间60分钟．请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又，所以. 2. 已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：该扇形的面积为. 故答案为：8. 3. 若等差数列的首项，前5项和，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】代入等差数列求和公式，即可求解. 【详解】，得. 4. 已知，则实数_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 5. 一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为______ 【答案】12 【解析】 【分析】确定男女运动员的比例，根据分层抽样中的比例，即可求得答案. 【详解】由题意可知田径队中男运动员有60人，女运动员48人， 即男女运动员比例为， 故用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本， 则抽取女运动员的人数为， 故答案为：12 6. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 7. 设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及导数判断极值即可求得结果. 【详解】因为函数在上为奇函数， 所以， 又，在处取得极值， 所以，可得， 经检验，时，为极小值点，满足要求， 所以. 8. 已知函数，若有三个零点，则的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】有三个零点等价于与有三个交点，当与相切时，求出对应切线，则由数形结合可判断的取值范围. 【详解】有三个零点等价于与有三个交点，如图所示. 当与相切时，此时恰有两个交点，设切点为 ，则切线方程为， ∵切线过，∴，∴切线斜率为. 由图易得，当时，与有三个交点. 故答案为： 9. 若向量和单位向量满足，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造两个单位向量，利用模的平方和关系，再结合三角不等式及非负平方确定上下界和取等条件. 【详解】令，则. 记，由数量积的运算律得 . 由三角不等式得，又由得. 所以. 当时取到下界2；当时，取到上界. 又因为单位向量可在平面内连续转动，所求式连续变化，故其取值范围为. 10. 玩具厂家设计一款儿童益智玩具，玩具主体是由一矩形托盘和放置在托盘中的L形木块构成，L形木块的水平截面如图1所示，矩形托盘中间有一隔断，隔断的宽为a，隔断上有一开口，开口的长为b，水平截面如图2所示，若木块可以按照图2所示的方式紧贴托盘底部旋转穿过隔断，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】把点A到直线CD的距离为h表示成三角函数关系式，利用三角函数的性质即可求出的最小值. 【详解】解法1：如图，作于F，于G，延长CD交AB于E， 设，点A到直线CD的距离为h. 由题意可知，，， 则 . 当时，h取最大值. 若木块可以旋转穿过隔断，则有， 即，故的最小值为. 解法2：如图，设CD的中点为I，点A到直线CD的距离为h， 由题意可知，由，可知. 则有， 当时，两个等号同时成立，此时h取最大值. 若木块可以旋转穿过隔断，则有，即， 故的最小值为. 故答案为： 11. 已知一个长方体的表面积为144，体对角线长为9，则这个长方体体积的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设长方体长宽高为 ，列出关于的等式，根据题意可知是三次方程的三个正实根.设，利用导数法求出体积的取值范围. 【详解】设长方体长宽高为 ， 由题意：，解得， 记体积， 先求， 所以， 于是是三次方程的三个正实根. 设，它要有三个正实数根， 等价于函数有两个极值点，且极值满足：， ， 极值点：， ， 得到：， 则体积的取值范围是 . 12. 已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】当与位于同一半圆时，可知当三点共线时取得最小值，当位于时，取得最大值；当与分别在两个半平面中时，作出二面角的平面角及在平面上的投影点，设，利用勾股定理和三角恒等变换知识，结合三角函数值域求法可求得所处的范围；综合两种情况可得结果. 【详解】由圆的方程知，圆的半径为，当与位于同一半圆时， 作出该半圆所在的平面图，如下图所示， ， 当且仅当三点共线时取等号， 当位于图中处时，取得最小值； 又当位于图中处时，取得最大值； 当与分别在两个半平面中时，作平面，垂足为， 作轴，垂足为，连接，则三点共线， 设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角， ，，， ，，； 为圆右半圆上的点，可设，， ， ， 其中，，，当， 即时，，则； 又，，即； 可得两点间的距离的取值范围为. 综上所述，两点间距离的最大值是. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】 是钝角时，，必要性满足， 因为，是平面上两个非零向量，则， 当时，满足，但不是钝角， 则充分性不成立. 那么“”是“是钝角”的必要非充分条件. 14. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A. 42 B. 16 C. 56 D. 06 【答案】C 【解析】 【分析】确定随机数表第1行第6个数字的具体位置，并明确每次读取两个数字的规则,从该位置开始，每次取相邻两个数字作为一个编号，若编号在00~59范围内则保留，否则跳过,继续向后移动两位，重复上述过程，直到选满6个个体，记录第3个符合条件的编号. 【详解】将第1行随机数表连续写出： 5044664421660658056261655435024235489632. 从第6个数字开始（从左数第6位），数字序列如下（每两位一组，括号内为编号）： 第6位起依次读取： 第1组：第6位和第7位为“64”（舍去，超过59）； 第2组：第8位和第9位为“42”（保留，第1个）； 第3组：第10位和第11位为“16”（保留，第2个）； 第4组：第12位和第13位为“60”（舍去，等于60，超过59）； 第5组：第14位和第15位为“65”（舍去）； 第6组：第16位和第17位为“80”（舍去）； 第7组：第18位和第19位为“56”（保留，第3个）. 故选出的第3个个体的编号为56，故选C. 15. 下列物体中，能够被整体放入棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）个． （1）直径为的球体 （2）棱长为的正四面体 （3）底面直径为，高为的圆柱 （4）底面直径为，高为的圆柱体 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】（1）正方体内最大能放下的球是内切球，比较直径和比较大小得到结论；（2）想让正四面体尽可能大，想到特殊的正四面体，进而想到面对角线构成正四面体，比较正四面体的棱长和的大小得到结论；（3）圆柱的底面直径很小，圆柱很细长，可以沿着正方体体对角线斜着放，则比较体对角线和的大小得到结论；（4）圆柱的高很小，不妨将圆柱近似看成远，故先分析直径为的圆能否放入正方体，则正方体的截面尽可能的大，则取分别为所在棱的中点，则是边长为的正六边形，求出这个正六边形的内切圆的直径和的大小得到结论. 【详解】正方体棱长，体对角线长， （1）正方体内最大能放下的球是内切球，直径只能是. ，放不进去. （2）正四面体可以嵌入正方体：把正四面体看作正方体里个顶点连成的， 当正方体棱长为时，正四面体棱长， 正四面体棱长，，可以放进去. （3）圆柱很细，可以沿着正方体体对角线斜着放. 体对角线，，放不下. （4）如图，分别为所在棱的中点， 则是边长为的正六边形， 其内切圆如图，其中为的中点， 则内切圆半径为， 直径为， 则可以想象，底面直径为，高为的圆柱体能放进正方体容器. 16. 已知，且不全相等的三个复数满足，记复平面上对应的点分别为 ，则三个点 （ ） A. 可能构不成三角形 B. 可构成锐角三角形 C. 可构成直角三角形 D. 可构成钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，反证法可证明，可得不重合，利用反证法证明不共线判断A；设，计算可得对应三角形三边之比为，利用余弦定理计算可判断BCD. 【详解】由， 得， 所以， 若，则可得， 进而可得， 所以，又因为，所以， 所以，所以，所以， 这与不全相等的三个复数 ，故，同理可得，， 所以三点不重合， 若共线，则， 则可得， 所以， 因为，所以，所以可得， 这与三点不重合矛盾，所以三点不共线， 所以三点一定可构成三角形，故A错误. 设， 则，所以， 所以， 所以， 所以， 同理可得， 即三角形的三边之比为， 所以，所以为锐角， 同理为锐角，故B正确，CD错误. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： （1）求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； （2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 【答案】（1）年龄的平均数为，第百分位数为； （2）事件、相互独立，理由：由茎叶图可知，，， 事件为“抽取员工的年龄为岁”，则， 所以，，所以，事件、相互独立. 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式以及百分位数的定义可求得结果； （2）求出、、的值，利用独立事件的定义判断可得出结论. 【小问1详解】 该公司员工年龄（单位：岁）由小到大依次为：、、、、、、、、、、、， 年龄的平均数为； 该公司共有名员工，因为， 故该公司员工年龄的第百分位数为. 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． （1）求证：平面PAB； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为底面是边长为2的正方形，分别为中点， 可得，且， 而，且， 所以，且， 所以四边形BENM为平行四边形， 所以， 而平面PAB，平面PAB， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明四边形BENM为平行四边形，可得，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量的坐标，再求出这两个向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 若，则，，，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以， 设直线与平面所成角为， 则． 19. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和图象的对称中心的坐标； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有3个零点，，，求的取值范围及的值． 【答案】（1）单调递增区间为；对称中心坐标为 （2）的取值范围为， 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数性质计算求解即可； （2）先求出并换元，数形结合求出的范围，利用对称性求和. 【小问1详解】 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 令，解得， 所以函数图象的对称中心的坐标为； 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 所以． 当时，，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以当时，曲线与直线在内有3个交点，即函数在内有3个零点． 因为有3个实数根，且，关于直线对称，，关于直线对称， 所以，， 所以， 即，得． 综上，的取值范围是，的值为． 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作斜率为的直线交双曲线于、两点. （1）若，求点到直线的距离； （2）已知的右顶点为，点，若上存在一点使得，求正实数的值； （3）若点，直线、分别交双曲线于、两点，设直线的斜率为，问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，且. 【解析】 【分析】（1）先求焦点坐标及直线方程，再用点到直线的距离公式求解. （2）将向量等式转化为坐标关系，求出动点坐标后代入双曲线方程. （3）用参数表示过定点的直线，联立双曲线方程求另一交点，进而确定两条直线斜率之间的关系. 【小问1详解】 由双曲线方程得，所以，. 当时，直线的方程为，即. 因此点到直线的距离为. 【小问2详解】 双曲线的右顶点为，设. 由得，所以，解得，所以. 将点的坐标代入双曲线方程，得，即. 因为，所以. 【小问3详解】 设、，则，且，其中、， 由题意可知直线的斜率存在且不为零，则、为不同点，故. 设点，即， 即点，其中为坐标原点， 代入双曲线方程得. 由，整理得. 其中对应点；若，则只有这一个交点，与题设矛盾，故. 另一交点对应，因此. 同理，，且. 由及，可得， 可知、均在直线上. 又，所以. 从而，由得. 反之，取，由得，满足题意，因此所求实数存在. 21. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质． （1）若函数具有性质，求：的值； （2）设，求证：存在常数，使得具有性质； （3）若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数的值域为． 【答案】（1）3 （2） 证明：设，则， 令，即， 设， 因为， 所以在区间上函数存在零点， 当时，则，此时函数具有性质． （3） 证明：设，因为，所以， 设， 因为， 所以具有性质，， 令得，， ①若，则函数在存在零点； ②若，即时， 当时，，即， 所以在区间存在零点； ③若，即， 因为， 所以，所以， 当时，，即， 所以在区间存在零点； 综上所述，，都存在零点，即都有， 故的值域为． 【解析】 【分析】（1）根据定义得，即可求解； （2）设，利用零点存在性定理即可证明； （3）设，可知具有性质，分，和三种情况，结合零点存在性定理得出在上存在零点，即可证明． 【小问1详解】 因为函数具有性质，所以， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求，但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度第一学期高三数学 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间60分钟．请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 已知集合，，则________． 2. 已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为__________. 3. 若等差数列的首项，前5项和，则______. 4. 已知，则实数_____ 5. 一支田径队有男运动员60人，女运动员48人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为27的样本，则抽取女运动员的人数为______ 6. 已知实数、满足，则的最小值为__________． 7. 设（常数，），若函数为奇函数，且在处取得极值，则__________． 8. 已知函数，若有三个零点，则的取值范围为__． 9. 若向量和单位向量满足，则的取值范围是____________. 10. 玩具厂家设计一款儿童益智玩具，玩具主体是由一矩形托盘和放置在托盘中的L形木块构成，L形木块的水平截面如图1所示，矩形托盘中间有一隔断，隔断的宽为a，隔断上有一开口，开口的长为b，水平截面如图2所示，若木块可以按照图2所示的方式紧贴托盘底部旋转穿过隔断，则的最小值为______. 11. 已知一个长方体的表面积为144，体对角线长为9，则这个长方体体积的取值范围是___________． 12. 已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分． 13. 设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ） 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 A. 42 B. 16 C. 56 D. 06 15. 下列物体中，能够被整体放入棱长为的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）个． （1）直径为的球体 （2）棱长为的正四面体 （3）底面直径为，高为的圆柱 （4）底面直径为，高为的圆柱体 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知，且不全相等的三个复数满足，记复平面上对应的点分别为 ，则三个点 （ ） A. 可能构不成三角形 B. 可构成锐角三角形 C. 可构成直角三角形 D. 可构成钝角三角形 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： （1）求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； （2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点． （1）求证：平面PAB； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间和图象的对称中心的坐标； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有3个零点，，，求的取值范围及的值． 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作斜率为的直线交双曲线于、两点. （1）若，求点到直线的距离； （2）已知的右顶点为，点，若上存在一点使得，求正实数的值； （3）若点，直线、分别交双曲线于、两点，设直线的斜率为，问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质． （1）若函数具有性质，求：的值； （2）设，求证：存在常数，使得具有性质； （3）若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $