精品解析：　吉林长春市长春净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学新城校区2026-2027学年度上学期九年级期中数学试卷

2026—2027学年度上学期九年级阶段测试数学试题 满分：120分 时间：120分钟 命题时间：10.20 测试时间：10.28 一．选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 用配方法解方程，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，．点、、对应的刻度分别为、、，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的中线与交于点G，连接，下列结论不正确的是（　　） A. 点G是的重心 B. C. 的面积的面积 D. 7. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆260人次，第三个月进馆540人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 二次根式有意义的条件是______ 10. 若，则______________． 11. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中．若，，则的长度为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为__________． 13. 黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 14. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连结，分别交，于点，，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④．上述结论中，正确结论的序号有_______． 三．解答题：本题16小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 18. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求的长． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是方程的两根，且，求的值． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一点D，使； （2）在图②中的边上找一点E，使； （3）在图③中的边上找一点F，连结CF，使． 21. 某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，已知每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件，设这种商品每个涨价x元． （1）填空： 原来每件商品的利润是 元； 涨价后每件商品的实际利润是 元（可用含x的代数式表示）； （2）为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少？ 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第页第题的内容： 已知代数式，先用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ （1）写出这个问题的解答过程； （2）代数式的最大值为 ． 23. 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为__________； 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，．求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，且满足，若，直接写出的长． 24. 如图，在中，，，．点在边上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作，交射线于点．设长为． （1）线段的长为____________（用含的代数式表示）． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当直线将分得的两部分中有一个轴对称图形时，求的值． （4）当点落在或的平分线上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期九年级阶段测试数学试题 满分：120分 时间：120分钟 命题时间：10.20 测试时间：10.28 一．选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，判断解答即可． 【详解】解：，，被开方数均含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 的被开方数含分母，不是最简二次根式． 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的运算法则及二次根式的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算正确，故本选项符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 3. 下列各组线段中，成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】先将各选项中的线段按长度从小到大排序，再根据最小与最大线段乘积是否等于中间两线段乘积进行验证即可． 【详解】解：A、 ，，，，，，相等，是成比例线段； B、，，，，，不是成比例线段； C、，，，，，不是成比例线段； D、 ，，，，，不是成比例线段． 4. 用配方法解方程，方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ． 5. 如图，在中，．点、、对应的刻度分别为、、，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据刻度求出的长及点为中点，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点、、对应的刻度分别为、、， ∴，， ∴点为中点， ∵， ∴． 6. 如图，的中线与交于点G，连接，下列结论不正确的是（　　） A. 点G是的重心 B. C. 的面积的面积 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据重心的定义和性质判断A、D选项，根据中位线的性质和相似三角形的性质判断B、C选项，即可． 【详解】解：∵的中线与交于点G， ∴点G是的重心， ∴且，所以选项A、B正确，不符合题意； ∴， ∴，所以选项C不正确，符合题意； ∵点G是的重心， ∴，所以选项D正确，不符合题意． 7. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆260人次，第三个月进馆540人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设进馆人次的月增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故选：A． 8. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据矩形的性质可得轴，点坐标为，从而得出，再证得，利用面积比求出相似比，进而得出点横坐标，最后代入反比例函数解析式求出值 ． 【详解】解：设点的坐标为，其中 ， 四边形是矩形，点、在轴上 ， 轴，轴，  点的坐标为，即， 点、的纵坐标相同，  点的纵坐标为，  交轴于点，  轴 ， 在轴上，轴轴，   ，  ， ， ，即， ，  点在第二象限 ， 点的横坐标为， 点的坐标为，  点在反比例函数的图象上 ， ． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 二次根式有意义的条件是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＋3≥0，再解不等式即可． 【详解】解：∵要使有意义，必须， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 10. 若，则______________． 【答案】## 【解析】 【分析】已知的值，可将所求分式拆分为与已知比值相关的形式，直接代入计算即可. 【详解】解：将所求分式拆分为同分母分式的和， ∵， ∴代入上式计算得 ． 11. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中．若，，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 12. 如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标． 【详解】解：由题意得：点，则其对应点的坐标为． 故答案为：． 13. 黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和成比例线段，根据黄金分割的定义，较长部分与较短部分的比值等于全长与较长部分的比值，设AP为较长部分，列出方程并求解． 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连结，分别交，于点，，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】设正方形边长为，则，利用可判断①；在中计算可判断②；利用正方形对称性及角度计算可判断③；通过证明，再结合可判断④． 【详解】解：设正方形的边长为,则，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，为延长线上的一点， ∴， 又∵， ∴， ∴，①正确； 在中，， ∴，②错误； ∵四边形正方形，为对角线，为延长线上的一点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即平分，③正确； 在和中，有， ∴， ∴即， ∵， ∴，即，④正确； 综上可得，正确结论的序号有①③④． 三．解答题：本题16小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减混合计算、二次根式的乘法运算， （1）先把每个二次根式化简，再进行加减计算即可； （2）先把每个二次根式化简，再计算二次根式的乘法，最后再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）提取公因式将方程因式分解后求解； （2）确定方程系数后代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：对 提取公因式得   因此或  解得，． 【小问2详解】 解：对于， 得，，． 计算判别式   代入求根公式 得   因此，． 17. 如图，长方形的长为，宽． （1）长方形的周长是多少? （2）在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 【答案】（1）长方形的周长为 （2）剩余部分的面积为 【解析】 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式，利用二次根式混合运算顺序进行计算即可； （2）用长方形的面积减去正方形的面积列式，利用二次根式的混合运算进行计算即可． 【小问1详解】 长方形ABCD的周长为： 【小问2详解】 剩余部分的面积为： 18. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，于是得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等实数根，利用判别式大于0列不等式求解． （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入计算后验证取值范围． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴． 由方程得，，． 代入得．  ．  ． 解得． 【小问2详解】 ∵ ，是方程的两根． ∴由根与系数的关系得，． ∵． 又． ∴， ， ， 解得． ∵，符合（1）中的取值范围． ∴的值为． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找一点D，使； （2）在图②中的边上找一点E，使； （3）在图③中的边上找一点F，连结CF，使． 【答案】（1） 连结格点N与点C，交于点D，则点D为所求作； （2） 连结格点P与点C，交于点E，则点E为所求作； （3） 点F满足条件． 【解析】 【分析】（1）连结格点N与点C，交于点D，则点D为所求作； （2）连结格点P与点C，交于点E，则点E为所求作； （3）连结格点M与点C，交于点F，则点F为所求作； 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴对角线相互平分， ∴； 即点D满足条件； 【小问2详解】 由勾股定理， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点E满足条件； 【小问3详解】 解：连结格点M与点C，交于点F，则点F为所求作； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是作图的基础． 21. 某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，已知每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件，设这种商品每个涨价x元． （1）填空： 原来每件商品的利润是 元； 涨价后每件商品的实际利润是 元（可用含x的代数式表示）； （2）为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少？ 【答案】（1）原来每件商品的利润是2元；涨价后每件商品的实际利润是2+x元；（2）售价应定为13元或15元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据利润=售价﹣进价表示出商品的利润即可； （2）设应将售价提为x元时，才能使得所赚的利润最大为y元，根据题意可得：y=（10+x﹣8）（200﹣2x），令y=700，解出x的值． 解：（1）原来每件商品的利润是2元； 涨价后每件商品的实际利润是2+x元； （2）根据题意，得 （2+x）（200﹣20x）=700． 整理，得x2﹣8x+15=0， 解这个方程得x1=3，x2=5， 答：售价应定为13元或15元． 考点：一元二次方程的应用． 22. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第页第题的内容： 已知代数式，先用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ （1）写出这个问题的解答过程； （2）代数式的最大值为 ． 【答案】（1）解：， ∵， ∴， ∴不论取何值，该代数式的值总是正数， ∵，且当时，取得最小值， ∴当时，代数式的值最小，最小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以解决； （2）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以解决． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意， ∵， ∴， ∴，当时取等号， ∴当时，最大，最大值为． 23. 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为__________； 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，．求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，且满足，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，得，设正方形边长为，则，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案； （3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案． 【详解】解：（1）将绕点逆时针旋转得， ， ∴为等腰直角三角形， ． 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋转得，如图， 由旋转的性质可得， ， ∴共线， ∵， ， ， ， ， ， ， 设正方形边长为，则， 在中，， 即， 解得：或（负值舍去）， ∴正方形的边长为； （3）如图，将绕逆时针旋转至，连接， 由旋转的性质可得， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解． 24. 如图，在中，，，．点在边上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作，交射线于点．设长为． （1）线段的长为____________（用含的代数式表示）． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当直线将分得的两部分中有一个轴对称图形时，求的值． （4）当点落在或的平分线上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）当时，点落在的平分线上；当时，点落在的平分线上 【解析】 【分析】（1）证明，列比例式求解即可． （2）根据题意，得，结合，建立方程，求的值即可． （3）根据等腰直角三角形是轴对称图形，轴对称图形的定义，分类求解即可． （4）分点落在,的平分线上，利用角的平分线的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，列式求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， 由线段绕点逆时针旋转，得到线段， ， ，， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ， ， 解得． 【小问3详解】 解：如图，在中，，，， ，， ， 设直线交于点H， 不可能是等腰直角三角形， 不可能是轴对称图形， 四边形是轴对称图形，且对称轴为直线， ， 根据题意，得， ， 解得； 如图，在中，，，， ，， ， 设直线交于点N， 不可能是等腰直角三角形， 不可能是轴对称图形， 四边形是轴对称图形，且对称轴为直线， ， 根据题意，得， 综上所述，当或时，直线将分得的两部分中有一个轴对称图形． 【小问4详解】 解：如图，当点落在的平分线上时， 根据题意，得， 根据勾股定理，得， ， ∴， 平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 解得； 当点落在的平分线上时，设与的交点为K， 根据题意，得， 根据勾股定理，得， ， ， ∴， 平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当时，点落在的平分线上；当时，点落在的平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $