精品解析：吉林吉林市丰满区吉林松花江中学2026-2027学年上学期九年级 期中数学试题

吉林松花江中学九年级数学期中质量检测 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6，2 B. 1，， C. 0，， D. 1，，2 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A，，开口向下，原说法错误； B，对称轴是直线，原说法错误； C，顶点坐标为，原说法正确； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误； 故选C． 3. 雪花也称银粟、玉龙、玉尘，是一种晶体，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，结构随温度的变化而变化，多呈六角形，像花，如图所示的雪花绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的最小值为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵该图形被平分成6部分，旋转的整数倍，都可以与自身重合， ∴故n的最小值为60． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故选：D． 5. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． 利用待定系数法求出与之间的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】解：设与之间的函数关系式为（为常数，且）， 将，代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∵与之间的函数关系式为，在第一象限，随的增大而减小， ∴当由 升到时，并结合图像，应该将张力减小至， 故选：D． 6. 如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质得，由圆周角定理得． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 8. 已知与点P在同一平面内，若的半径为5，线段的长为3，则点P在______（填“内、上或外”）． 【答案】内 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系即可判断． 【详解】解：∵的半径为5， 又∵线段OP的长为， ∴点P在内． 故答案为：内 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数是________ 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，进而得到，利用进行求解即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， 解得：． 10. 如图，是圆的弦，半径于点，且，．则半径的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，核心是数形结合与方程思想，先由垂径定理求出的长，连接，设半径为，表示出的长度，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图所示，连接． ， ． 设圆的半径为，则， ， ． 在中，由勾股定理： ∴ 解得： 故半径的长为． 11. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据k的几何意义，得，结合图象分布解答即可． 【详解】解：根据k的几何意义，得， ∴． ∵图象在第二、四象限，即， ∴故． 三、解答题(12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分) 12. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，掌握公式法的应用是解决本题的关键． 先计算方程的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 13. 已知二次函数的图象的顶点坐标且图象过点，求该函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】设顶点式，然后把代入求出的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是熟悉二次函数的顶点式的应用． 14. 某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率． 【答案】每年投资的平均增长率为． 【解析】 【分析】设每年投资的年平均增长率为x，根据题意可得，2025年投资额年的投资额，据此列方程求解． 【详解】解：设每年投资的年平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， 答：每年投资的平均增长率为． 15. 如图，在中，，求∠2的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，全等三角形的性质与判定，证明得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）， ∵， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． （1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式； （2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 略 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使四边形的顶点均在格点上． （1）在图①中作四边形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形且； （2）在图②中作四边形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形且． 【答案】（1） 四边形即为所求； （2） 四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据题意，画底为2，高为3的平行四边形即可； （2）根据题意，画边长为的正方形即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 18. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （2）当时，的取值范围是                        ； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为                        ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，把该二次函数的解析式化为顶点式，再描点，连线，即可作答． （2）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，；故抛物线顶点为， 当时，； 当时，； 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接即可； 图略； 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，或，抛物线开口向上， ∴当时，； 【小问3详解】 解：∵抛物线开口向上，抛物线顶点为， ∴当时，取最小值为； ∵当时，；当时，； ∴当时，． 19. 小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表； 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 （1）根据表中的数据，猜测拉力的大小与之间满足____________函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； （2）求拉力与之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； （3）已知的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小星能否成功？请说明理由． 【答案】（1）反比例 （2） （3）解：小星能成功，理由： 由题意得，将，代入，解得， ， ∴小星能成功． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式； （1）根据表格中的数据找出规律，即可判定； （2）利用待定系数法求反比例函数的性质即可； （3）根据的长为8m，求得，再与40N进行比较，即可判断． 【小问1详解】 解：由表中数据发现： ， ∴拉力与距离的乘积不变， ∴拉力的大小与之间满足反比例， 故答案为：反比例； 【小问2详解】 解：由（1）知，拉力是的反比例函数， 设拉力与之间的函数解析式为， 将代入，解得， ∴拉力与之间的函数解析式为； 【小问3详解】 略 20. 如图，，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动．当点与点和点不重合时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设运动时间为秒，和重叠部分的图形面积为． （1）点与点重合时，            ； （2）当点在上时，            ； （3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 【答案】（1）3 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）点与点重合时，，由时间等于路程除以速度即可求解； （2）利用等腰三角形的判定与性质、勾股定理得，从而可求解； （3）分三种情况考虑：当时；当时；当时，利用等腰三角形的性质、勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：点与点重合时，，则； 【小问2详解】 解：如图，， ∴，， 由勾股定理得； 由旋转知， ∴， ∵， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴， 即， 此时； 【小问3详解】 解：如图，当时， 在中，，， ． 由旋转可知：， ， 如图，当时， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， 如图，当时， 在中，，， ∵， ， 在中，，， ， ； 故； 21. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 【答案】（1）4，3 （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； （2）过点作，垂足为H．由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分当点B在线段上时，当点B在线段外时，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即到的距离为3； 【小问2详解】 解：，证明如下： 过点作，垂足为H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：①当点B在线段上时， 在中，， ∴， 在中，． ②当点B在线段外时，过点作，垂足为H． ∵，，B共线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴在中，； 综上所述，长度为或． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点B，点P是该抛物线上的一点，其横坐标为，作轴，且点Q的横坐标为3m． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点Q在抛物线上时，求线段的长度； （3）当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，直接写出m的值； （4）已知，连接、、，当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为 （2） （3）m的值为或4 （4）或 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式配方为顶点式，或直接代入顶点坐标公式计算； （2）因为平行于x轴，所以P、Q纵坐标相等，将Q的横坐标代入抛物线解析式，结合P的纵坐标，建立关于m的方程，解出m后，计算两点横坐标差的绝对值得长度； （3）先确定点B的坐标，再根据m的取值范围，判断P和B之间的抛物线部分的最高点与最低点，分情况计算纵坐标差，令其等于，解方程后验证合理性； （4）先确定P、Q、M三点坐标，判断的区域范围，结合抛物线的对称轴，判断抛物线在三角形内部部分的单调性，分单调递增和单调递减两种情况，列不等式求解． 【小问1详解】 解：对抛物线配方得： ， ∴顶点坐标为 ； 【小问2详解】 由题意，坐标为， 轴， ∴纵坐标为， 且横坐标为， 故， ∵在抛物线上，代入抛物线解析式得： ，  整理得， 解得，， ∵，故， ∴； 【小问3详解】 抛物线与轴交点坐标为，对称轴， ① 当时：点和点之间的部分在对称轴左侧，随增大而减小， ∴最高点为，最低点为， ∴纵坐标之差为： ，  解得，（舍去）； ② 当：点和点之间的部分在对称轴左侧， ∴最高点为，最低点为， ∴纵坐标差： ， 化简得，无解； ③ 当时：对称轴在点和点之间，最低点为顶点， 时，最高点为， ∴纵坐标之差为，解得（舍去）， 时，最高点为， ∴纵坐标之差为， 解得，（舍去）， 综上，的值为 ​ 或 ； 【小问4详解】 ∵， ∴轴， 且轴， ∴为直角三角形， 此时，，， ①当时，在对称轴的左侧， 若抛物线在内部有点，则点在点的上方，如图所示， ∴， 解得， ∴， ②当时， ，此时点在点的上方， 由（2）得，当点在抛物线上时，， 此时， ∴只有当时，三角形内部才有图象，且图像单调，如图所示， 解得或（舍去）， ③当时， 若，此时点在点的上方，如图所示， 此时三角形内部的点随的增大而增大，满足题意， 若，此时点在点的下方，如图所示， 此时三角形内部没有图像，故舍去； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林松花江中学九年级数学期中质量检测 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6，2 B. 1，， C. 0，， D. 1，，2 2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 雪花也称银粟、玉龙、玉尘，是一种晶体，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，结构随温度的变化而变化，多呈六角形，像花，如图所示的雪花绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的最小值为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 6. 如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 8. 已知与点P在同一平面内，若的半径为5，线段的长为3，则点P在______（填“内、上或外”）． 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数是________ 10. 如图，是圆的弦，半径于点，且，．则半径的长为_____． 11. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 三、解答题(12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分) 12. 解方程： 13. 已知二次函数的图象的顶点坐标且图象过点，求该函数的解析式． 14. 某区大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造．2025年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的年平均增长率相同，预计2027年投资7.2亿元人民币，求每年投资的年平均增长率． 15. 如图，在中，，求∠2的度数． 16. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使四边形的顶点均在格点上． （1）在图①中作四边形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形且； （2）在图②中作四边形，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形且． 18. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （2）当时，的取值范围是                        ； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为                        ． 19. 小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定300N的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表； 点与点的距离 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小 300 200 150 120 100 （1）根据表中的数据，猜测拉力的大小与之间满足____________函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）； （2）求拉力与之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； （3）已知的长为8m，小亮想用40N的拉力汲水，小星能否成功？请说明理由． 20. 如图，，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动．当点与点和点不重合时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．设运动时间为秒，和重叠部分的图形面积为． （1）点与点重合时，            ； （2）当点在上时，            ； （3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 21. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点B，点P是该抛物线上的一点，其横坐标为，作轴，且点Q的横坐标为3m． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）当点Q在抛物线上时，求线段的长度； （3）当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，直接写出m的值； （4）已知，连接、、，当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $