28.1 图形的旋转（第2课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

28.1图形的旋转（第2课时） 第28章旋转 2026-2027学年人教版数学九年级上册 1 1．旋转三要素及旋转的性质． 旋转的性质： （1）旋转前后图形全等． （2）对应点到旋转中心的距离相等． （3）对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角． 旋转中心 旋转方向 旋转角 旋转三要素 （1）平移作图的一般步骤． ① 定：确定平移的方向与平移距离； ② 找：找出原图形的各个顶点（关键点）； ③ 移：过各个关键点沿指定方向作平行线，截取等长的线段，得到各关键点的对应点； ④ 连：按照原图形顶点的顺序，顺次连接全部对应点； ⑤ 写：标注所作图形，写出作图结论． 2．平移、轴对称作图的一般步骤． 2．平移、轴对称作图的一般步骤． （2）轴对称作图的一般步骤． ① 定：确定对称轴； ② 找：找出原图形的各个顶点（关键点）； ③ 作：过各个关键点向对称轴作垂线，截取等长的线段，得到各关键点的对应点； ④ 连：按照原图形顶点的顺序，顺次连接全部对应点； ⑤ 写：标注所作图形，写出作图结论． 类比平移、轴对称的作图思路，如果要画出一个图形旋转后的图形，又需要经历哪些作图步骤呢？ 接下来，我们就从最简单的点的旋转开始，依次研究线段的旋转、平面图形的旋转，归纳得到作图方法，再利用方法完成复杂图形的旋转作图． 如图，你能画出将点 A 绕点 O 按顺时针方向旋转 60°后的点吗？ 问题1 作法： （1）如图，连接 OA，以点 O 为圆心，OA 为半径画圆； （2）用量角器或含 60°角的三角尺画出∠AOB，与圆周交于点 B． 点 B 即为点 A 绕点 O 按顺时针方向旋转 60°后的点． A O B 60 ° 问题2 如图，已知线段 AB 和点 O，你能画出线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°后的线段 A′B′ 吗？ （1）如图，连接 OA，OB； （2）作射线 OD⊥OB，射线 OE⊥OA； （3）分别在射线 OD，OE 上截取 OB′＝OB，OA′＝OA； （4）连接 A′B′． 线段 A′B′ 即为所求线段． 作法： A B O A′ B′ D E 如图，△ABC 绕点 C 旋转后，顶点 A 的对应点为点 D． 试确定顶点 B 的对应点的位置以及旋转后的三角形． 问题3 作法：（1）如图，连接 CD； （2）以 CB 为一边，作∠BCE，使得 ∠BCE＝∠ACD； （3）在射线 CE 上截取线段 CF，使得 CF＝CB，点 F 即为点 B 的对应点； （4）连接 DF，则△DFC 即为旋转后的三角形． C A B D E F 旋转作图的一般步骤 归纳 （1）定：确定旋转中心、旋转方向和旋转角； （2）找：找出原图形上的各个关键点； （3）连：分别连接各关键点与旋转中心； （4）转：将上述连线绕旋转中心，按照指定方向分别旋转规定的角度（旋转角的度数）； （5）截：在旋转后所得的射线上截取线段，使截取长度等于关键点到旋转中心的距离，得到各关键点的对应点；　　 （6）作：按照原图形顶点的顺序，顺次连接所有对应点； （7）写：标注对应点的字母，写出作图结论． 例 如图，E 是正方形 ABCD 的边 CD 上任意一点，以点 A 为旋转中心，把△ADE 顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形． 分析：需要确定△ADE 三个顶点旋转后的对应点的位置． E 旋转中心 旋转方向 旋转角度 旋转后，点 A 的对应点是它本身； 旋转后，点 D 的对应点是点 B； 关键是找到旋转后点 E 的对应点． A B D C E′ 解：方法一 因为点 A 是旋转中心，所以它的对应点是它本身． 正方形 ABCD 中，AD＝AB，∠DAB＝90°，所以旋转后点 D 与点 B 重合． . A B D C E 设点 E 的对应点为点 E′． 因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以∠ABE′＝∠ADE＝90°，BE′＝DE． 如图，在 CB 的延长线上取点 E′，使 BE′ ＝DE， 连接 AE′ ，则△ABE′ 为旋转后的图形． gaol (authorId_gaol) - 修图：删掉图中的所有虚线。 E 方法二 如图，过点 A 作射线 AP⊥AE， E′ P 在射线 AP上取点 E′ ，使 AE′＝AE ， 连接 BE′，则△ABE′ 为旋转后的图形． A B D C E 方法三 如图，以点 A 为圆心，AE 为半径画弧，交CB 的延长线于点 E′ ， E′ 连接 AE′ ，BE′，则△ABE′ 为旋转后图形． A B D C 方法四 如图，过点 A 作射线 AP⊥AE， E E′ P 射线 AP 交 CB 的延长线于点 E′ ，则△ABE′ 为旋转后的图形． A B D C 四种作图方法形式虽然各不相同，但本质都是依托旋转的性质确定关键点的对应点，同时满足两个条件：（1）旋转角相等；（2）对应点到旋转中心的距离相等． 思考 旋转中心不变，将△ADE 逆时针旋转 90°，画出旋转后的图形． . E 分析：需要确定△ADE 三个顶点旋转后的对应点的位置． 旋转后点 A 的对应点是它本身； 关键是找到旋转后点 D 、点 E 的对应点． A B D C D′ . E E′ 解：因为点 A 是旋转中心，所以它的对应点是它本身． 设点 E 的对应点为点 E′． 根据旋转的性质，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，且对应点到旋转中心的距离相等，所以∠EAE′＝90°，AE′＝AE． 因此，过点 A 作 AE 的垂线，沿着逆时针方向，在垂线上截取 AE′＝AE， 在正方形 ABCD 中，AD＝AB，∠DAB＝90°， 连接 D′E′，则△AD′E′ 为旋转后的图形． 所以旋转后点 D 的对应点 D′ 在射线 BA 的延长线上，且 AD′＝AD＝AB． A B D C 问题4 利用旋转，可以设计美丽的图案，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图中的五角星图案． 需要旋转几次？每次的旋转角是多少？ 每次的旋转角： ＝72°． 需要旋转 4 次． 顺时针旋转 问题4 利用旋转，可以设计美丽的图案，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图中的五角星图案． 需要旋转几次？每次的旋转角是多少？ 逆时针旋转 最小旋转角为 ． 也可以是它的正整数倍， 但一般不超过360°． 每次的旋转角： ＝72°． 需要旋转 4 次． 当选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案时，会出现不同的效果． 例如，以下图为基本图形，选择不同的旋转中心、不同的旋转角分别进行旋转作图． α 问题5 O β O 旋转中心不变，旋转角改变了，产生了不同的旋转效果． 如图，按要求旋转图形 ． （1）选择不同的旋转角度，观察旋转的效果． 旋转角不变，旋转中心改变了，产生了不同的旋转效果． 问题5 γ γ O1 O2 如图，按要求旋转图形 ． （2）选择不同的旋转中心，观察旋转的效果． 问题5 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案． 问题5 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案． 图形旋转的三要素是旋转中心、旋转角和旋转方向，它们都会影响图形旋转的效果． 旋转同一个图形时，选择不同的旋转中心、不同的旋转角或不同的旋转方向可能产生不同的旋转效果． 新知 如图，将△ABC 绕点 O 顺时针旋转得到△A′B′C′，如何确定旋转中心 O 的位置呢？ 问题6 A B C A′ B′ C′ O 作法：（1）连接 AA′，作它的垂直平分线； （2）连接 BB′，作它的垂直平分线； （3）两条垂直平分线的交点即为旋转中心 O． 确定旋转中心的方法 归纳 （1）若旋转过程中存在位置不变的点，则该点为旋转中心； （2）若旋转过程中不存在位置不变的点，则两对对应点所连线段的垂直平分线的交点为旋转中心． 1．在△ABC 中，AB＝AC，P 是 BC 边上一点．以点 A 为旋转中心，取旋转角等于∠BAC，把 △ABP 逆时针旋转，画出旋转后的图形． 解：因为点 𝐴是旋转中心，所以它的对应点是它本身． A B C P 在△ABC 中，AB＝AC，旋转角等∠BAC， 所以将 AB 绕点 A 逆时针旋转∠BAC 后，点 B 的对应点为点 C． 设点 P 的对应点为 P′． 根据旋转的性质，对应点与旋转中心连线所成角等于旋转角，且对应点到旋转中心的距离相等， 所以∠PAP′＝∠BAC，AP′＝AP. 1．在△ABC 中，AB＝AC，P 是 BC 边上一点．以点 A 为旋转中心，取旋转角等于∠BAC，把 △ABP 逆时针旋转，画出旋转后的图形． A B C P P′ M 因此，以点 A 为顶点，在 AP 的逆时针方向作射线 AM，使∠PAM＝∠BAC，并在射线 AM 上截取 AP′＝AP，得到点 P′，连接 CP′，则△ACP′ 为旋转后的图形． 2．选择一个简单的基本图形，对它进行旋转： （1）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，观察旋转后的效果； 解：答案不唯一． （1）① 如图，以△ABC 为基本图形，分别以点 A ，点 B 为旋转中心， α 为旋转角，按逆时针方向旋转作图． A B C A B C C′ B′ α α C′ A′ 解：答案不唯一． （1）② 如图，以△ABC 为基本图形，点 A 为旋转中心，分别以 α ，β 为旋转角，按逆时针方向旋转作图． 2．选择一个简单的基本图形，对它进行旋转： （1）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，观察旋转后的效果； A B C C′ B′ β A B C C′ B′ α 2．选择一个简单的基本图形，对它进行旋转： （2）改变基本图形的形状，观察旋转后的效果． 解：答案不唯一． （2）① 如图，以 □ABCD 为基本图形，分别以点 A，点 D 为旋转中心，α 为旋转角，按逆时针方向旋转作图． A B C D A B C D α α C′ B′ D′ C′ B′ A′ 2．选择一个简单的基本图形，对它进行旋转： （2）改变基本图形的形状，观察旋转后的效果． 解：答案不唯一． （2）② 如图，以□ABCD 为基本图形，点 A 为旋转中心，分别以 α，β 为旋转角，按逆时针方向旋转作图． A B C D A B C D C′ B′ D′ C′ B′ D′ α β 旋转作图 旋转作图的 一般步骤 确定旋转中心的方法 存在位置不变的点：该点为旋转中心 不存在位置不变的点：两组对应点连线的 垂直平分线的交点为旋转中心 确定旋转中心、旋转方向和旋转角 找出原图形上的各个关键点 作出各关键点的对应点 顺次连接所有对应点，得到旋转后的图形 谢谢 $