28.2.1 中心对称及其性质-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 人教版九年级上册 28.2.1 中心对称及其性质 专项练习（约1800字） ## 一、知识要点梳理 ### 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点$O$旋转$\boldsymbol{180^\circ}$，如果它能够与**另一个图形**重合，那么就说这两个图形**关于这个点对称**或**中心对称**。 - 点$O$叫做**对称中心**； - 旋转$180^\circ$后重合的两个点叫做**关于对称中心的对称点**。 ### 2. 中心对称的性质（核心，重点记） ① 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过**对称中心**，并且被对称中心**平分**； ② 中心对称的两个图形是**全等图形**； ③ 对称中心是对称点连线的**中点**。 > 即：点$A$与$A'$关于$O$对称 ⟺ $O$是$AA'$的中点，$\(OA=\)OA'$，且$A、O、A'$三点共线。 ### 3. 中心对称作图（三步法） ① 连接：把图形每个关键点与对称中心$O$连接起来； ② 延长：延长到另一侧； ③ 截取：使延长部分等于原线段，得到对应点，再按原顺序连接。 ### \(\boldsymbol{4}\). 中心对称与轴对称的区别 - **轴对称**：沿一条**直线**翻折$180^\circ$重合，对称轴是直线； - **中心对称**：绕一个**点**旋转$180^\circ$重合，对称中心是点。 > 易错：成中心对称的两个图形，是**两个**图形关于一点对称；单个图形绕自身对称中心转$180^\circ$与自身重合叫**中心对称图形**（下一节内容），两者别混淆。 ### \(\boldsymbol{5}\). 在坐标系中求对称点坐标 点$\((x,y)\)$关于原点$\((0,0)\)$中心对称的对称点为$\boldsymbol{(-x,-y)}$（横纵坐标都变号）。 ## 二、选择题 1. 下列变换中，属于中心对称的是（） A. 沿直线翻折 B. 绕一点旋转$180^\circ$ C. 沿直线平移 D. 绕一点旋转$90^\circ$ 2. 若点$A$和点$A'$关于点$O$中心对称，下列说法错误的是（） A. $O$是$AA'$的中点 B. $\(OA=\)OA'$ C. 点$A、O、A'$在同一条直线上 D. $AA'$不一定经过$O$ 3. 点$P(3,-\(\boldsymbol{5}\))$关于原点中心对称的点的坐标是（） A. $(-3,\(\boldsymbol{5}\))$ B. $\((3,\(\boldsymbol{5}\))\)$ C. $(-3,-\(\boldsymbol{5}\))$ D. $(\(\boldsymbol{5}\),-3)$ \(\boldsymbol{4}\). 如图，$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$关于点$O$中心对称，下列说法正确的是（） A. $AB=A'B'$ B. $\(AO=OB\)$ C. $\angle A$与$\angle A'$不一定相等 D. $\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$不一定全等 \(\boldsymbol{5}\). 线段$AB$与$A'B'$关于点$O$中心对称，$AB$的中点$M$的对称点是（） A. 线段$A'B'$的中点 B. $O$ C. $A'$ D. $B'$ ## 三、填空题 6. 中心对称的定义：把一个图形绕着________旋转________°，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称。 7. 成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过________，且被它________。 8. 点$M(-2,6)$关于原点对称的点的坐标是________。 9. 若点$\(A(x,3)\)$与$B(-\(\boldsymbol{4}\),y)$关于原点对称，则$\(x=\)$____，$\(y=\)$____。 10. 已知$O$是$AA'$的中点，若$AA'=10$，则$\(OA=\)$____。 ## 四、解答题 11. 如图，已知$\triangle ABC$和点$O$，请用尺规作图画出$\triangle ABC$关于点$O$的中心对称图形$\triangle A'B'C'$，并写出作图步骤。 12. 在平面直角坐标系中，$\(A(2,3)\)$，$B(-1,\(\boldsymbol{4}\))$，$C(0,-2)$。 （1）分别写出它们关于原点$O$中心对称的点$A'、B'、C'$的坐标； （2）判断$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是否全等，并说明理由。 13. 已知点$P$和点$P'$关于点$O$对称，$\(OP=\(\boldsymbol{5}\)\)$。 （1）求$OP'$的长； （2）若$P、O、P'$共线，求$PP'$的长。 1\(\boldsymbol{4}\). 如图，四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$关于点$O$成中心对称。 （1）连接$AA'、BB'、CC'、DD'$，观察四条线段有什么关系？ （2）求证：$\triangle AOB\cong\triangle A'OB'$。 ## 五、综合拓展题 1\(\boldsymbol{5}\). 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$各顶点坐标$A(-3,2)$，$B(-1,0)$，$C(-2,3)$。 （1）画出$\triangle ABC$关于原点$O$中心对称的$\triangle A'B'C'$，并写出$A'、B'、C'$坐标； （2）若$D$是$AB$中点，求$D$关于原点的对称点$D'$的坐标。 --- # 参考答案与详细解析 1. **B** 解析：中心对称=绕一点旋转$180^\circ$。A是轴对称，D是普通旋转。 2. **D** 解析：成中心对称，$AA'$一定经过对称中心$O$，且被$O$平分，D错误。 3. **A** 解析：关于原点对称，横纵坐标都变号：$(-3,\(\boldsymbol{5}\))$。 \(\boldsymbol{4}\). **A** 解析：中心对称图形全等，对应边相等$AB=A'B'$；$AO=OA'$，不是$OB$；$\angle A=\angle A'$。 \(\boldsymbol{5}\). **A** 解析：对称中心对称对应：中点$M$的对称点是$A'B'$的中点。 6. **某一点（点O）；180** 7. **对称中心；平分** 8. $\boldsymbol{(2,-6)}$ 9. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{4}\)}$；$\boldsymbol{-3}$ 解析：关于原点对称，横纵坐标都变号，$\(x=\)\(\boldsymbol{4}\)$，$\(y=\)-3$。 10. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{5}\)}$ 解析：$O$是$AA'$中点，$\(OA=\)\dfrac12AA'=\(\boldsymbol{5}\)$。 11. 解：作图步骤： ① 连接$AO$并延长到$A'$，使$OA'=OA$； ② 同理作出$B'$、$C'$； ③ 顺次连接$A'B'、B'C'、C'A'$，$\triangle A'B'C'$即为所求。 12. 解：（1）$A'( -2,-3)$，$B'(1,-\(\boldsymbol{4}\))$，$C'(0,2)$； （2）全等。理由：中心对称的两个图形是全等图形，$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$。 13. 解：（1）$P$与$P'$关于$O$对称，$O$是$PP'$中点，$OP'=\(OP=\(\boldsymbol{5}\)\)$； （2）$PP'=OP+OP'=\(\boldsymbol{5}\)+\(\boldsymbol{5}\)=10$。 1\(\boldsymbol{4}\). 解：（1）四条线段$AA'、BB'、CC'、DD'$都经过对称中心$O$，且都被$O$平分； （2）证明：由中心对称性质，$\(OA=\)OA'$，$OB=OB'$，$\angle AOB=\angle A'OB'$（对顶角相等）， ∴$\triangle AOB\cong\triangle A'OB'$（SAS）。 1\(\boldsymbol{5}\). 解：（1）$A'(3,-2)$，$B'(1,0)$，$C'(2,-3)$，作图：连接各顶点与原点，延长一倍； （2）$AB$中点$D$坐标：$\left(\dfrac{-3+(-1)}{2},\dfrac{2+0}{2}\right)=(-2,1)$； $D$关于原点对称点$D'(2,-1)$。 ## 易错点总结 1. 中心对称与中心对称图形要分清：前者两个图形，后者一个图形； 2. 对称点连线必过对称中心，且被平分——这是核心性质，所有证明都靠它； 3. 坐标系中关于原点对称，横纵坐标都变号，注意别只变一个； \(\boldsymbol{4}\). 作图三步：连→延→截，保留作图痕迹； \(\boldsymbol{5}\). 求中点、求对称点坐标时注意符号。 下一课：**28.2.2 中心对称图形**，继续按这套格式出专项练习吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 28.2.1 中心对称及其性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/1 第二十八章 旋转 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 理解中心对称的定义. 探究中心对称的性质. 掌握中心对称的性质及其应用. 旋转 三要素 性质 旋转中心 旋转角 旋转方向 1.对应点到旋转中心的距离相等； 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3.旋转前、后的图形全等. 情境导入 新知探究 情境1 如图 ，把其中一个图案绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？ 其中一个图案绕某一点旋转 后，与另一个图形完全重合. 中心对称的概念 探究新知 4 新知探究 情境2 如图 ，线段 AC、BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD。把△OCD 绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？ 其中一个图案绕某一点旋转 后，与另一个图形完全重合. 探究新知 5 知识小结 思考 以上两个图案的变换有什么共同特点，你能否做出总结？ 像这样，一个图形绕着某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点。 点O是对称中心 ①点 C 与点 A 是对称点 ②点 D 与点 B 是对称点 注：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系，它是旋转的特殊情况. 探究新知 6 新知巩固 中心对称的定义 下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 解：根据中心对称的概念，知（2）（3）（4）都是中心对称． 故选：C． 【分析】把其中一个图形绕两点中点旋转180∘，若能够与另一个图形重合，则这两个图形成中心对称，据此逐一判断。 探究新知 7 新知探究 探究 中心对称的性质 中心对称作为特殊的旋转，首先具备旋转的所有性质，那么中心对称还有哪些独有的性质呢？ 如图， 和 关于点 对称. 对称中心 与对称点的连线 有什么关系？点 与 ， 呢？ 因为点 A' 是点 A 绕点 O 旋转 得到的，所以，即点 A、O、A' 三点在同一条直线上； 根据旋转的性质，，因此点 O 是线段 AA' 的中点。 同理可得，点 O 也是线段 和 的中点。 探究新知 8 中心对称的性质 思考 知识小结 结合以上探究，你能否归纳中心对称的性质？ 位置关系：对称点三点共线，连线经过对称中心； 数量关系：对称中心到两个对称点的距离相等，是对称点连线的中点。 成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分。 探究新知 9 知识点1 认识中心对称 1.下列图案中，点 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则 阴影部分的两个三角形关于点 对称的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 知识点2 中心对称的性质 2.如图，已知与关于点成中心对称，若，则 ___. 6 （第2题） 返回 举一反三 11 3.如图，与成中心对称，点 是对称中心，则下列结论不 正确的是( ) B （第3题） A.点，是对应点 B. C. D. 返回 举一反三 12 新知巩固 中心对称的性质 【分析】利用中心对称的性质得到两个三角形全等，对应角相等、对应线段相等、对称点到中心的距离相等，逐个判断选项选出错误结论. 如图，已知△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） ′ 解：和关于点O成中心对称， ， ， 故选项A，C正确， ，故选项B正确． 故选：D． 探究新知 13 中心对称的性质 教材例题 如图，选择点O为对称中心，作出与关于点O对称的． 解：如图，连接AO，在AO的延长线上截取 即可得到点A关于点O的对称点． 以同样的方法分别作出点B，C关于点O的对称点 依次连接，就得到与关于点O对称的． 分析：关键是利用中心对称的性质确定△ABC三个顶点的对称点． 探究新知 14 巩固训练1 中心对称的判断 【分析】按照中心对称判定方法，把其中一个三角形绕点O旋转180∘，可以与另一个三角形重合即为关于点O对称． 下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　） A． B． C． D． 解：由题可知，A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形图形． 故选：C． 探究新知 15 随堂练习 1.判断正误： （1）轴对称的两个图形一定是全等图形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形. （ ） （2）成中心对称的两个图形一定是全等图形.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形. （ ） （3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形. （ ） √ √ × 课后作业 2.分别作出已知图形关于点O对称的图形. 【选自教材第101页 练习 第2题】 O O 解：如图所示. 解：如图所示. 课后作业 3.如图，矩形的长为10，宽为4，已知点O是三角形①②、三角形③④、三角形⑤⑥的对称中心，则图中阴影部分面积和为______. 20 课后作业 4.如图，在△ABC中AB=5，AC=13，AD=6，△ADC和△EDB关于点D对称，求BC的长. 解：∵△ADC 与△EDB 关于点D对称，∴△ADC≌△EDB. ∴AC=EB=13，CD=BD，AD=ED=6.∴AE=AD+ED=12. 在△ABE中，AB2+AE2=52+122=169，EB2=132=169，∴AB2+AE2=EB2. ∴△ABE 是直角三角形，且∠BAD=90°.在Rt△ABD 中，BD===. ∴BC=2BD=2. 课后作业 4.［教材P 101练习T 1 变式］如图，在正方形网格 中，，，，，，，，，， 是网格线 交点，与 关于某点成中心对称，则其 对称中心是( ) C A.点 B.点 C.点 D.点 返回 举一反三 20 知识点3 利用中心对称的性质作图 5.［教材P 101练习T 2变式］如图，画出关于点对称的 . 解：如图， 即为所求. 返回 举一反三 21 6.如图，直线是正方形的一条对称轴，与， 分别交于点 ，，，的延长线相交于点，连接 .下列三角形中，与 成中心对称的是( ) D （第6题） A. B. C. D. 返回 举一反三 22 7.如图，是等腰三角形的底边的中线，， ， 与关于点成中心对称，连接，则 _____. （第7题） 返回 举一反三 23 本节课你学到了什么？ 课堂小结 24 谢谢观看 THANKS $