精品解析：广东肇庆市德庆县香山中学2026-2027学年高二上学期11月阶段检测数学试题

2026-2027学年高二年级11月段考数学学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项是符合题目要求. 1. 如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是（ ） A. 相交直线 B. 异面直线 C. 平行直线 D. 相交或异面直线 2. 如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，四棱锥的体积为，线段的长是（ ） A. 3 B. C. D. 6 7. 在四面体中，，，，G为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分. 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若为直线的方向向量，则也是直线的方向向量 C. 若，则，，，一定共面 D. 平面，的法向量分别是，，平面，的夹角为，则 10. 在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点B到平面的距离为 D. 直线BO与直线的夹角为 11. 在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（ ） A. B. 直线与平面所成角为 C. 四面体的体积为4 D. 二面角的正弦值为 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为__________. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______． 14. 如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则______，三棱锥的外接球体积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知空间中三点，，.设，. （1）求､； （2）若与互相垂直，求实数的值. 16. 如图，在四面体中，平面，. 是的中点，是的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）证明：平面. 17. 如图所示，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 18. 如图(1)所示，AD是△BCD中BC边上的高线，且AB＝2AD＝2AC，将△ACD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，如图(2)． （1）求证：AB⊥CD； （2）图(2)中，E是BD上一点，连接AE、CE，当AE与底面ABC所成角的正切值为时，求直线AE与平面BCE所成角的正弦值． 19. 如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级11月段考数学学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项是符合题目要求. 1. 如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是（ ） A. 相交直线 B. 异面直线 C. 平行直线 D. 相交或异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间两条直线的位置关系可得答案. 【详解】如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是相交直线、异面直线， 不可能是平行直线. 故选：D. 2. 如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜二测画法得到原图矩形中，，从而求出面积. 【详解】平行四边形，由斜二测画法得，在原图矩形中，，为正方形， 故该图形的面积为． 故选：A. 3. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可. 【详解】由点,得, 所以点到平面的距离为. 故选：B. 4. 底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图求圆锥的母线长，进而求侧面积. 【详解】因为圆锥的底面半径为，则侧面展开图的弧长为， 又因为侧面展开图的圆心角为，可得圆锥母线长， 所以圆锥的侧面积. 故选：A. 5. 已知空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四点共面得出，再分类结合基本不等式计算求解. 【详解】因为四点共面，且任意三点不共线，得出，都不是0， 当时，，计算可得，的最大值为， 当且仅当时取最大值， 当时，， 所以的最大值为， 故选：C. 6. 在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，四棱锥的体积为，线段的长是（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，作出四棱锥的高，并用求出高，再用体积解出即可. 【详解】 如图所示，设，则矩形的面积， 取中点，连接， 因为是等边三角形，，所以，且, 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即是四棱锥的高， 所以四棱锥的体积 所以解得，，所以. 故选：D. 7. 在四面体中，，，，G为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由向量加、减法，以及向量的线性运算法则即可求解. 【详解】， . 故选：D. 8. 圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得为等边三角形，且其外接圆的圆心即为圆锥的外接球的球心，代入计算，即可得到结果. 【详解】 设圆锥底面圆的圆心为，底面圆的半径为，外接球的半径为， 做出圆锥的轴截面，可知为等腰三角形，又， 则为等边三角形，所以圆锥的外接球的球心即为外接圆的圆心， 且，， 则球的半径为， 所以外接球的表面积为， 故选：B 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分. 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若为直线的方向向量，则也是直线的方向向量 C. 若，则，，，一定共面 D. 平面，的法向量分别是，，平面，的夹角为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的知识和平面的法向量逐一判断即可. 【详解】若，则，故A错误； 若为直线的方向向量，则当 时才有是直线的方向向量，故B错误； 若，则 所以，即，所以，，，共面，故C正确； 平面，的法向量分别是，，平面，的夹角为，则，故D正确. 故选：CD 10. 在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 点B到平面的距离为 D. 直线BO与直线的夹角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理证明平面，可判断A; 连接BD,交AC于E,连接，证明，根据线面平行的判定定理，可判断B;利用等体积法，求得点B到平面的距离，判断C;采用作平行线的方法，求出直线BO与直线的夹角，可判断D. 【详解】对于A，如图，连接 ,则交于点O, 正方体中， 平面 平面 , 故 ,而 平面 , 故平面,故平面，而平面, 故，即，故A正确； 对于B，连接BD,交AC于E,连接 ,则 , 故四边形是平行四边形，故平面不在平面, 故平面，故B正确； 对于C，设点B到平面的距离为d,因为 , 故 ，解得 ，故C正确； 对于D,连接 ,则即为直线BO与直线的夹角或其补角， 在 中， , 所以 ,则 ,故D错误， 故选：ABC 11. 在边长为4的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（ ） A. B. 直线与平面所成角为 C. 四面体的体积为4 D. 二面角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，即可判断A，由线面角的定义即可判断B，由等体积法即可判断C，由二面角的定义即可判断D. 【详解】 对于A，由题意，，又，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 对于B，平面，平面，所以平面平面， 且面面，因为为等边三角形，在平面内过作， 则平面，所以和平面所成角为，故B错误； 对于C，，所以面积为， 因为平面，所以四面体， 故C正确； 对于D，过作交于，因为平面，平面， 所以，且，平面， 所以平面，且平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在等腰三角形中，由等面积法可得 即，在中，，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量的单位化公式，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】取直线的方向向量为， 因为，， 所以，，，， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式,结合空间向量的坐标表示求解. 【详解】向量在向量上的投影向量等于， 故答案为：. 14. 如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则______，三棱锥的外接球体积为______. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】由题意可知：二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解；根据题意可证平面，进而求外接球的半径和体积. 【详解】由题可知：，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 因为，，，，平面， 可知平面， 且，所以平面， 因为外接圆半径， 则三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知空间中三点，，.设，. （1）求､； （2）若与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出，2，，，1，，由此能求出，． （2）求出的坐标，由与互相垂直，则，利用向量垂直的性质能求出实数． 【详解】解：（1）因为，，.，. 所以， （2） ∵ ∴ ∴ ∴ 16. 如图，在四面体中，平面，. 是的中点，是的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）证明：平面. 【答案】（1）因为⊥平面，平面， 所以. 又，且平面，， 所以平面. 又平面， 所以. （2）取的中点，在线段上取点，使得，连接 因为、分别是的中点，所以为的中位线 所以 ，且，即，且. 在中， 所以，且 所以，且 故四边形为平行四边形. 所以，平面，平面内， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判断定理及线面垂直的性质定理证明即可； （2）构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图所示，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为，，，所以， 如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，， 所以，，即. （2）在上存在点使得平面，且为的中点． 【解析】 【分析】（1）本题首先以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出、，最后根据即可证得； （2）本题可假设点存在，则，然后通过得出，最后求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若存在点使平面，则，， ，，，， 因为平面，所以存在实数、，使成立， 则，解得， 故在上存在点使平面，此时点为中点. 18. 如图(1)所示，AD是△BCD中BC边上的高线，且AB＝2AD＝2AC，将△ACD沿AD翻折，使得平面ACD⊥平面ABD，如图(2)． （1）求证：AB⊥CD； （2）图(2)中，E是BD上一点，连接AE、CE，当AE与底面ABC所成角的正切值为时，求直线AE与平面BCE所成角的正弦值． 【答案】（1）由图（1）知，在图（2）中，， 平面平面，平面平面，平面，平面， 又平面，； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，即可证明； （2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，由与底面所成角的正切值为，可得，再求出平面的法向量，利用向量夹角公式即可求直线与平面所成角的正弦． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意可得，，两两垂直， 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 设，由，，可得， 又平面的一个法向量为， 由与底面所成角的正切值为，可得， ，解得， ， 设平面的法向量为，，， 由，可取， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】 19. 如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取中点，连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以， 又因为平面平面，所以平面， 因为点分别是中点，所以， 又因为平面平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明, （2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到面面角，利用三角形知识求两平面的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：因为，所以， 由（1）知平面平面， 所以， 所以两两相互垂直， 如图，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由， 得，即，解得， 取，得， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 方法二：因为平面平面，所以平面和平面的夹角即二面角. 如图，过点作，垂足为点，过点作交于点， 则为二面角所成平面角. 在中，， 在中，， 在直角梯形中，因为，,所以， 所以 在中，， 所以， 利用三角形等面积可得， 所以， 因为，所以， 过点作于，则， 所以， 在中，， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $