精品解析：广东省江门市恩平黄冈实验中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026—2027学年第一学期高二年级第一次月考 数学试卷 2026年10月 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知一组样本数据：8，9，7，9，6，该组数据的众数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若独立，则 C. 若独立，则 D. 若互斥，则 4. 已知数列的前项和，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程有三个不同且成等差数列的实数解，则（ ） A. 0 B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的单调递增函数，且恒有，其导函数为，其中是自然对数的底数．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 某学校有学生5000人，其中男生3000人，女生2000人，希望获得全体学生的身高信息，按照比例分配的分层抽样原则抽取了容量为500的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是（ ） A. 女生样本容量为2000 B. 每个男生被抽入到样本的概率均为 C. 所有样本的均值为166cm D. 所有样本的方差为 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件 “两个球颜色不同”， “两个球标号的和为奇数”， “两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 11. 已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设空间向量，，若，则的值为_____________． 13. 某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 14. 设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计样本的平均数； （2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率． 16. 正方体，，，分别为，，的中点． （1）在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知等差数列前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求； （3）设数列的前项和为，求． 18. 教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满足，这个数列被称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，，且数列满足 （1）求和； （2）证明数列是等比数列，并求； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期高二年级第一次月考 数学试卷 2026年10月 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在平行六面体中， 根据向量加法的三角形法则，可得：. 因为点 是 的中点，所以. 在平行四边形 中，由向量加法的平行四边形法则可知：. 又因为在平行六面体中，，， 所以. 从而 . 又因为， 所以. 2. 已知一组样本数据：8，9，7，9，6，该组数据的众数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数的定义求解. 【详解】给出的样本数据中出现了次，出现次数最多，故众数为. 3. 已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若独立，则 C. 若独立，则 D. 若互斥，则 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据相互独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率公式，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为独立，所以与也相互独立， 所以，故B正确； 对于C：若独立，根据并事件的概率公式得 ，故C正确； 对于D：互斥，由概率的加法公式可得，故D正确. 4. 已知数列的前项和，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】 当， 时，，也满足，所以。 令， 时，，故， 时，，故， 因此. 5. 已知曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算两条曲线在对应点处的切线斜率，结合两直线垂直斜率乘积为，列方程求解. 【详解】对函数求导，得， 将代入导函数，得的斜率， 对函数求导，得， 将代入导函数，得的斜率， 由，得两直线斜率满足，代入斜率得，解得. 6. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体  中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 7. 已知方程有三个不同且成等差数列的实数解，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知三次方程三根成等差数列，设三个解为，展开多项式，对比方程各项系数求出，再算出参数，最后验证根满足条件. 【详解】依题意，设三个解为， 故原方程可化为： 原方程为， 由二次项系数得 , 由一次项系数得 , 由常数项得，所以, 当，方程为 ， 三个解为，显然三个实数互不相等，成等差数列，完全满足题目的条件. 8. 已知函数是定义在上的单调递增函数，且恒有，其导函数为，其中是自然对数的底数．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由单调函数性质设内层为常数求出，变形不等式构造单调函数脱去外层，转化为在区间上恒成立，求的最大值得到的取值范围. 【详解】因为是上的单调递增函数，且为常数， 因此必为常数， 设 （为常数），则 ， 所以，结合， 得方程 ，得， 又函数单调递增，故是唯一解，因此 ， 所以，当时， 不等式恒成立， 得恒成立， 即恒成立， 构造函数，则， 可得， 所以，恒成立， 而， 设，，令得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以最小值为， 因此恒成立，在上单调递增， 由，可得，分离变形得， 即在上成立，只需， 令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 而，故，所以， 所以实数的取值范围是. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 某学校有学生5000人，其中男生3000人，女生2000人，希望获得全体学生的身高信息，按照比例分配的分层抽样原则抽取了容量为500的样本．经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为．下列说法中正确的是（ ） A. 女生样本容量为2000 B. 每个男生被抽入到样本的概率均为 C. 所有样本的均值为166cm D. 所有样本的方差为 【答案】CD 【解析】 【分析】分层抽样等比例性质求男女生样本容量，再由古典概型的概率求每个男生被抽入到样本的概率判断A、B；利用均值、方差公式，结合男、女的样本的均值和方差求样本总体均值方差判断C、D. 【详解】由题可知：男生身高样本均值，方差； 女生身高样本均值，方差. A：由人，故A错误； B：由人，故每个男生被抽入到样本的概率为，故B错误； C：所有样本的均值为，故C正确； D：所有样本的方差故D正确. 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件 “两个球颜色不同”， “两个球标号的和为奇数”， “两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先列出不放回摸2个球的所有等可能基本事件，计算各事件对应的概率，再结合互斥事件、相互独立事件的定义逐一判断选项. 【详解】样本空间，共6个等可能基本事件： ，； ，；  ，； 选项A：互斥事件要求交集为空，，A、B可同时发生，不互斥，A错误； 选项B：，，，满足独立事件判定条件，B正确； 选项C：，，C正确； 选项D：，，，等式成立，D正确. 11. 已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A： 当，则，所以在上单调递减，不存在最小值；对于B. 若，则，所以在上单调递增，不存在最小值；对于C. 结合AB及函数的最小值可知是极小值点，从而可判断其正误；对于D. 举反例，取，则，矛盾. 【详解】A.当，则，所以在上单调递减，不存在最小值，矛盾，A错误； B. 若，则，所以在上单调递增，不存在最小值，矛盾，所以，B正确； C. 由AB可得，故， 而， 因为为上的增函数，为上的增函数， 故为上的增函数， 当时，，当时，， 故在存在唯一的零点， 且时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数，故， 若，则，与题设矛盾； 若，则，与题设矛盾； 故，故，故正确； D. ，取，则，矛盾，D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设空间向量，，若，则的值为_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】由向量的坐标运算求得，然后通过向量垂直数量积为零建立方程，解得的值. 【详解】，， 所以， ∵， ∴，即，∴. 故答案为：8. 13. 某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再利用古典概型公式求解即可． 【详解】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即， 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，， 其中两人的成绩都低于的情况有6种， 分别为， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为. 故答案为：． 14. 设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目意思，将连续三项作为一个组块，然后根据分析某连续项的起点项，来进行分类讨论列出方程组求解. 【详解】由题知，令为数列的前项和，记， 当时，，当时，， 则，令连续三项作为一个组块， 设这连续项为，若这项正好为连续的三个组块， 则，可得，矛盾，无解； 若这项中只有两个完整的组块，当这项下标为， 则，相减可得， 当这项下标为，则， 两式相减得，所以， 所以当时，最小，且为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计样本的平均数； （2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率． 【答案】（1），68.5 （2）78.6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用所有矩形面积（频率）之和为1，列方程求出；每组用区间中点代表本组数据，用“中点 × 本组频率”再求和，得到样本平均数. （2）从低分段向上累加频率，得到分数线落在这一组，利用分位数公式列方程求解，最后精确到0.1. （3）两组分别抽取4人和2人；给6个人编号，列举法求出概率. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 则平均数为 ； 【小问2详解】 由题意可得：本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员， 即求第80百分位数， 又， ， 则分数线在内，且设分数线为x， 可得， 解得，即获奖分数线为78.6. 【小问3详解】 由题意得两组的频率之比为，现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则从中抽取4人，记为， 从中抽取2人，记为， 所有可能的情况为，，，，，，， ，，，，，，，，共15种， 其中至少有1人的分数在的情况有，，，， ，，，，，共9种， 故所求概率. 16. 正方体，，，分别为，，的中点． （1）在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）为线段的中点 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，在正方体中构造正六边形，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得到结果； （2）根据题意，由面面角的定义即可得到为平面与平面夹角，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 取的中点分别为，连接， 连接，而都经过正方体中心，两两相交，所以多边形为平面六边形，且边长相等，故为平面正六边形． 取的中点，记为，取的中点为，连接． ，，四边形为平行四边形，故， 面，面，面，故线段的中点满足题意． 【小问2详解】 延长相交于，过作，交于，连接， 面，，为平面与平面夹角， 设正方体边长为2，则，，， 故，平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知等差数列前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求； （3）设数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 设公差为，由，得，，解得， ∴； 【小问2详解】 由得， ∴； 【小问3详解】 ， . 18. 教材中介绍牛顿用“切线法”求方程的近似解时，给出一个数列，满足，这个数列被称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，，且数列满足 （1）求和； （2）证明数列是等比数列，并求； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 由（1）知，则， 所以， 故（非零常数），且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件可得，进而可得，再由等比数列的定义，即可求解； （3）由（2）可得恒成立，令，再分为奇数和偶数，求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又，则， 又，所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，则，由，得到， 即，也即， 令，则， 当时，，所以时，数列单调递减，且， 又不等式对任意恒成立， 所以当为奇数时，恒成立，所以，得到， 当为偶数时，恒成立，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）证明：当时，，则． 令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增， 所以，即． （2）（ⅰ） （ⅱ）证明：不妨设． 由（ⅰ）知，当时，有三个极值点，且1为其中一个极值点，则， 且，，等式两边取对数并整理得，，． 设，则， 则，则在上单调递减，在上单调递增， 先证，即证，因为，且在上单调递增，所以只需证，即证． 令，， 则， 则在上单调递减，所以，则，则，则． 再证，即证，因为，且在上单调递减，所以只需证，即证． 令，，则，则在上单调递增，所以，则，则，所以． 故 【解析】 【分析】 (1) 消去参数后转化为纯指数函数不等式证明，通过求导研究函数单调性求出最大值，完成不等式放缩证明； (2)(i) 问对原函数求导因式分解后，把三个极值点问题转化为方程有两个不等于 1 的实根，借助数形结合得到参数的取值范围； (ii) 问确定一个极值点为 1，剩余两根做极值点偏移，分别证明两根和大于 2、积小于 1，判断两个因式符号，从而证出乘积小于 0. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由，得或， 因为有三个极值点，所以有三个异号零点， 所以关于的方程有两个不等于1的解． 易知不是方程的解，设，则． 令，得或，在，上单调递减，令，得，在上单调递增． 当时，，若，则，若，则． 当时，，若，则，若，则． 所以，即的取值范围是． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $