精品解析：广东仲元中学2026-2027学年高二第一学期10月阶段测试数学试题

广东仲元中学2026-2027学年第一学期高二数学10月阶段测试 一、单选题 1. 点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若点到直线的距离是，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 5. 已知直线：，：，若与关于直线对称，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在三棱柱中，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线的方程为：，下列结论正确的为（ ） A. 曲线关于坐标轴对称 B. 曲线围成的图形面积大于48 C. 曲线上任意两点的距离不超过 D. 若，为曲线与轴的交点，点在曲线上，则的面积最大为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 D. 当点P与重合时，三棱锥的外接球的体积为 三、填空题 12. 已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 13. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是__________. 14. 已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________ 四、解答题 15. （1）已知圆的方程为．求实数的取值范围； （2）已知圆：与圆关于直线对称．求圆的标准方程． 16. 已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的平分线所在直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）设为线段上一点（不包含端点），若直线与平面所成角的正弦值为，求． 18. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 19. 如图所示，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东仲元中学2026-2027学年第一学期高二数学10月阶段测试 一、单选题 1. 点关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于轴的对称点的坐标：不变，变相反数，所以点关于轴的对称点的坐标为. 2. 若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 3. 若点到直线的距离是，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】点到直线的距离， 解得或. 4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 5. 已知直线：，：，若与关于直线对称，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线关于的对称性求出直线的对称方程，对比求解即可. 【详解】直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 6. 在三棱柱中，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求平面的法向量，再求点到平面的距离，以及的面积，即可求解三棱锥的体积． 【详解】设平面的一个法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量， 点到平面的距离， 点到的距离，且， 所以的面积, 则三棱锥的体积． 7. 在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由及得到点在线段上，即直线与线段相交，整理直线的方程得到直线经过定点，算出临界值斜率，确定直线斜率的取值范围，进而求解. 【详解】由题可知， 因为，所以点在线段上， 直线的方程可化为，所以直线经过定点， ，， 又点在直线上，所以直线与线段相交， 所以直线的斜率或， 即或，解得或 所以的取值范围为. 8. 已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求点的轨迹方程，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【详解】设点，又，所以，整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上. 点在圆上运动，圆心为，半径为，点在直线上运动，如图， 圆与圆关于直线对称，则，所以， 即当，，三点共线时，取得最小值. 设，则，解得. 因此. 二、多选题 9. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 10. 已知曲线的方程为：，下列结论正确的为（ ） A. 曲线关于坐标轴对称 B. 曲线围成的图形面积大于48 C. 曲线上任意两点的距离不超过 D. 若，为曲线与轴的交点，点在曲线上，则的面积最大为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件利用方程的特征，将分别换成可判断A正确，画出图象，分别求出四边形面积和半圆面积可得B错误，由数形结合并利用圆的对称性可知C正确，再根据圆上点到直线距离的最值问题可判断D正确. 【详解】在中，由，得或，由，得或， 则直线与坐标轴有5个公共点， 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线右侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径； 当时，曲线：是直线左侧半圆，圆心，半径， 对于A，将表达式中替换成，可得，即，因此曲线关于轴对称； 同理将表达式中替换成也满足表达式，即曲线关于轴对称； 综上可知曲线关于坐标轴对称,A正确； 对于B，曲线围成的图形面积，B错误； 对于C，曲线上的任意点到原点距离的最大值为， 因此曲线在圆及内部，则曲线上任意两点的距离不超过，C正确； 对于D，点到轴距离最大值为，而，则的最大面积为，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的范围为 D. 当点P与重合时，三棱锥的外接球的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，可判定A不正确；根据正方体的结构，得出截面为正，可判定B正确；由正方体的结构特征和性质，以及线面角的定义与求法，可判定C正确； 设的中点为，得到 得出三棱锥的外接球的半径，结合体积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形平面， 此时三角形为边长为的等边三角形，其面积为，所以B正确；对于C中，由正方体的结构特征和性质，可得点P到平面的距离为， 当点P在线段上运动时，（P为端点时），， 设直线与平面所成角为，则，所以C正确； 对于D中，当点P与重合时，此时三棱锥为， 设的中点为，因为，可得 所以三棱锥的外接球的球心为的中点，其半径为， 所以三棱锥的外接球的体积为，所以D正确. 故选BCD. 【点睛】1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积. 2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值； 3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； 三、填空题 12. 已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可得参数，进而可得平行线间距离. 【详解】由已知直线，，且， 则，解得或， 当时，直线，，即， 此时两平行线间距离； 当时，直线，，即，此时与重合，与题意不符， 综上所述，两平行线间距离. 13. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是__________. 【答案】10 【解析】 【分析】由题意、，与垂直，利用基本不等式即可得解. 【详解】过定点，过定点，且与垂直. ， ，当且仅当时，等号成立. 的最大值为10. 故答案为：10. 【点睛】本题考查了直线方程的应用和基本不等式的应用，属于中档题. 14. 已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜； ③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果． 解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论． 【详解】解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1， 由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0）， 由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0， 故﹣≤0，故点M在射线OA上． 设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）． ①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，）， 把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=． ②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间， 由题意可得三角形NMB的面积等于， 即=，即 =，可得a=＞0，求得 b＜， 故有＜b＜． ③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a． 设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，）， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|=， 即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|． 由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ． 两边开方可得 （1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣， 故有1﹣＜b＜． 再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ， 解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边， 由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小． 由于a＞0，∴b＞1﹣． 当a逐渐变大时，b也逐渐变大， 当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜． 综上可得，1﹣＜b＜， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题． 四、解答题 15. （1）已知圆的方程为．求实数的取值范围； （2）已知圆：与圆关于直线对称．求圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆的一般方程表示圆的充要条件列不等式求解； （2）先确定圆的圆心与半径，再求圆心关于直线的对称点作为的圆心，半径与相等，即可写出的标准方程. 【详解】（1）圆的一般方程表示圆的充要条件为， 对于方程，对应系数，，， 代入条件得： 化简得，即，解得. （2）由圆的标准方程，得的圆心为，半径， 因圆与关于直线对称，故半径与相等， 且的圆心是关于该直线的对称点， 满足：①线段的中点在直线上； ②直线与直线垂直，斜率乘积为， 直线的斜率为，故， 列方程组得， 整理得，解得，即的圆心为，半径为， 故的标准方程为. 16. 已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标； （3）求的平分线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线得到直线的斜率，再结合点的坐标即可求解； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式得到的坐标，联立方程即可求解； （3）由（2）得到的坐标，根据角平分线上的点到角两边的距离相等列出方程，结合图形即可求解. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为，斜率为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 因此边所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 设点的坐标为， 因为边上的高所在直线方程为，所以， 又因为点是边的中点，根据中点坐标公式，可得的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，解得，所以点的坐标为． 【小问3详解】 由（2）可得点的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的平分线所在的直线斜率为，其中任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为，则， 所以，即或， 化简得或， 又因为，，所以， 所以结合图形可知的平分线所在直线的方程为． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）设为线段上一点（不包含端点），若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意直线两两垂直，建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，利用夹角公式求解； （2）设，，利用线面角的坐标公式求解. 【小问1详解】 因为底面，底面， 则， 所以直线两两垂直， 以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面APC的一个法向量为， 于是有令，得，， 所以平面APC的一个法向量为， 同理可得平面PCD的一个法向量为， 设平面APC与平面PCD的夹角为，则， 故平面APC与平面PCD夹角余弦值为. 【小问2详解】 ，因为Q在线段PC上（不含端点）， 所以设，， 故. 由（1）可知平面PCD的一个法向量，设直线AQ与平面PCD所成角为， 故， 解得（舍）或，故. 18. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 【答案】（1）2； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由离散曲率的定义求、、、，即可得； （2）由线面垂直的性质和判断得，结合求得，过点作于点，证明平面，则点到平面的距离为线段的长，根据已知求长度即可； （3）过点作交于点，连接，则为直线与平面所成的角，根据已知求得、，设，则、，再应用余弦定理及列方程，即可得. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得，， ，， 所以． 【小问2详解】 由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，即， 又，即，解得， 过点作于点， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 因此点到平面的距离为线段的长， 在中，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 过点作交于点，连接，如图． 由平面，则平面，故为直线与平面所成的角， 依题意，，，， 则，， 设，则，， 在中，， 由，得，， 因此，而，解得， 所以． 19. 如图所示，在四棱锥中，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为. （ⅰ）求平面与平面的夹角的正弦值； （ⅱ）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标. 【答案】（1）如图（1）所示，连接，取的中点为，因为，所以， 又因为，所以，所以B，O，D三点共线， 即，所以； 又因为，为中点，所以，，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）（ⅰ）（ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得到平面平面； （2）（ⅰ）建立空间坐标系，得到法向量,,根据二面角向量公式：,计算可得； （ii）根据确定球心位置为，点到平面距离的最大值转化为半径与点到平面距离的和，得到平面，根据点到平面的距离的向量公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，则即为二面角的平面角，即. 因为，，为中点，所以，又因为，在中，由余弦定理得：，所以，即，因为，所以. 因为，，，所以， 又因为，则. 又因为，，，所以，即. 记过点且与平面垂直的直线为轴，因为平面平面，所以轴在平面内.再以，为，轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示. 则，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，则； 设平面的一个法向量为，，， 由，令，则，，则. 设平面与平面的夹角为，则， 则，即平面与平面的夹角的正弦值为； （ii）由上分析可知，，所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为2. 因为，平面的一个法向量为， 则点到平面的距离， 所以点到平面距离的最大值为：，并且此时平面. 设，所以有，且，则有①，②， 令，即，，， 代入①得：，即，所以或. 所以或. 当时，， 此时点到平面的距离为：，所以不符合题意，舍； 当，， 此时点到平面的距离为：，所以符合题意， 所以点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $