精品解析：天津市南开区2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级 数学学科 本试卷分为第1卷（选择题）、第2卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第1卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是中心对称图形．下列4个汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（　　） A. ﹣4 B. ﹣2 C. 2 D. 4 3. 下列各点中，抛物线经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 近视镜的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示，现有一副500度的近视眼镜，则该眼镜的镜片焦距为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 对称轴为直线 8. 如图，函数的图象与函数的图象相交于点和点，函数的图象与函数的图象相交于点和点则四边形的形状一定是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 9. 如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，点的对应点为，点的对应点为，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使彩条所占面积是整个图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？若设每个竖彩条的宽度均为，则依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别以点，点为圆心，以的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点；连接，；分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线，与相交于点．若将点绕点逆时针旋转得到点，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线（为常数）的顶点为．给出下面三个结论： ①点始终在直线上； ②若抛物线与轴有两交点和，则存在一个的值，使得为等腰直角三角形； ③点和点均在抛物线上，若，且，则．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第2卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 点关于原点的对称点的坐标是________． 14. 正比例函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象有一个交点的纵坐标为2，则的值为__________． 15. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 16. 将抛物线向下平移个单位长度，若平移后的新抛物线与轴有交点，则的值可以为__________（写出一个即可）． 17. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转（）得到，点和点的对应点分别为点和点．若，且． （1）线段的长为__________； （2）线段的长为__________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，菱形的顶点，在格点上，顶点，在格线上，且，若点也为格点． （1）线段的长为__________； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点．作射线，在射线上的一点，满足．当时，若．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）____________________________________________________________________________________________________________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 已知点在反比例函数的图象上．请根据所给信息完成下面填空． （1）常数的值为__________； （2）反比例函数的图象位于第__________象限； （3）点，和都在反比例函数的图象上，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为______ （4）当时，反比例函数的函数值的取值范围是________ 20. 解下列方程 （1） （2） 21. 二次函数的图象与轴相交于，两点，其中点在点的左侧，图象与轴相交于点，图象的顶点为点，图象的对称轴为直线． （1）求二次函数的解析式： （2）直接写出点，点和点的坐标； （3）请在给出的平面直角坐标系中，描出点，，，，并画出二次函数的图象； （4）根据图象直接回答下列问题： ①若抛物线上有两点和则（从符号，，中选择一个填空）； ②当时，则的取值范围是__________． ③的面积为__________． 22. 在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接并延长，射线与相交于点． （1）如图1，当时，求和的大小； （2）如图2，当，，时，求的长和的面积． 23. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，即汽车开始刹车到完全停止所行驶的距离就是刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟该款汽车在公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．若用（单位：）表示汽车开始刹车到完全停止所行驶的距离，用（单位：）表示汽车开始刹车到完全停止所用时间，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 汽车开始刹车到完全停止所用时间（单位：） 0 1 汽车开始刹车到完全停止所行驶的距离（单位：） 0 9 发现：①与之间成二次函数关系；②汽车开始刹车到完全停止所行驶的距离随汽车开始刹车到完全停止所用时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）填空：①当时，__________； ②模拟实验中，该款汽车开始刹车到完全停止所用时间为__________（），所行驶的距离为__________（）； ③当时，__________． 24. 矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，点在第一象限．点为矩形对角线的交点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点． （1）如图1，点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边，边向终点运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点．设点运动的时间为，并记由，，三点组成的三角形的面积为． ①如图2，当时，用含有的式子表示点的坐标； ②当时，直接写出的值． 25. 在平面直角坐标系中，点，点，点，抛物线（，，为常数，且）过，两点．点和点均在此抛物线上，其中，且轴．，两点关于原点的对称点分别为点和点． （1）若． ①求抛物线的解析式和其顶点坐标； ②求四边形周长的最大值，及此时的值； （2）平面内动点和（点在点左侧），满足轴，且．若，当取得最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级 数学学科 本试卷分为第1卷（选择题）、第2卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第1卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是中心对称图形．下列4个汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐项判断各汉字绕中心旋转后是否与自身重合． 【详解】解：A、B、C选项的汉字均绕中心旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意； D、“一”字绕中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形，符合题意． 2. 已知2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（　　） A. ﹣4 B. ﹣2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先把x＝2代入方程x2﹣c＝0可求出c＝4，然后利用直接开平方法解方程得到该方程的另一个根． 【详解】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，解得c＝4， 方程为x2﹣4＝0， 所以x2＝4， 解得x1＝2，x2＝﹣2， 即该方程的另一个根是﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采取直接开平方的方法解一元二次方程． 3. 下列各点中，抛物线经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：当时，，故A不符合； 当时，，故B符合； 当时，，故C不符合； 当时，，故D不符合． 4. 近视镜的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示，现有一副500度的近视眼镜，则该眼镜的镜片焦距为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【详解】解：设反比例函数解析式为． 图象过点， ． 函数解析式为． 当时，， 解得． 5. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出旋转角 ，利用角的和差关系 求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 将，代入得， 即，解得． 7. 对于抛物线，以下说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 对称轴为直线 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接获取开口方向、对称轴与顶点坐标等关键信息． 【详解】解：抛物线解析式为， ，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小， A选项正确，B、C、D选项错误． 8. 如图，函数的图象与函数的图象相交于点和点，函数的图象与函数的图象相交于点和点则四边形的形状一定是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】正比例函数与反比例函数图象都关于原点中心对称，若一个点在函数图象上，它关于原点的对称点也一定在该函数图象上，因此两个函数的交点必然关于原点对称，、两点关于原点对称，、两点关于原点对称，四边形对角线互相平分，由此可以判定该四边形是平行四边形；再结合坐标计算得到线段关系，排除矩形、菱形、正方形． 【详解】解：联立， 解得或， ，． 联立， 解得或， ，． 正比例函数、反比例函数的图象都关于原点中心对称，图象上的点关于原点的对称点仍在图象上， 点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ，，对角线，互相平分． 四边形是平行四边形． 矩形要求对角线相等，，， ，则，，可得． 菱形要求一组邻边相等，四边形顶点顺序为，邻边为、． ， ， ，可得． 正方形既是矩形又是菱形，本题中对角线不相等、邻边不相等，因此该四边形不是矩形、菱形、正方形． 综上，四边形一定是平行四边形． 9. 如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，点的对应点为，点的对应点为，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接，如图： 在中，，，， ∴， 由旋转可得，，，，， ∴， 在中，， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 10. 如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使彩条所占面积是整个图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？若设每个竖彩条的宽度均为，则依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设竖彩条宽，则横彩条宽，利用平移法将彩条移至边缘，表示出剩余空白部分的长和宽，根据空白面积占总面积的四分之三列方程． 【详解】解：设竖彩条的宽度为， 横、竖彩条的宽度比为， 横彩条的宽度为， 利用平移法，将两横两竖彩条分别平移至矩形的边缘， 剩余空白部分可合成为一个长方形， 其长为，宽为， 彩条所占面积是整个图案面积的四分之一， 空白部分面积是整个图案面积的四分之三， ． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别以点，点为圆心，以的长为半径画弧，两弧在第一象限相交于点；连接，；分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点；作直线，与相交于点．若将点绕点逆时针旋转得到点，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图痕迹判断  为等边三角形，直线  为线段  的垂直平分线，从而确定点  的位置及  的长，结合旋转性质确定点  的位置． 【详解】解：由作图可知，   是等边三角形  直线  是线段  的垂直平分线  为  的中点，   将点  绕点  逆时针旋转  得到点  ，  点  在  轴正半轴上，且距离原点  个单位长度，   点  的坐标为 ． 12. 抛物线（为常数）的顶点为．给出下面三个结论： ①点始终在直线上； ②若抛物线与轴有两交点和，则存在一个的值，使得为等腰直角三角形； ③点和点均在抛物线上，若，且，则．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，得到顶点坐标与对称轴，再逐一判断三个结论． 【详解】解：将抛物线解析式配方，得，故顶点． ①将代入直线，得，与点纵坐标相等，故点始终在直线上，①正确． ②令，则，即． ∵抛物线与轴有两交点， ∴，即． 解得，故． ∵在的垂直平分线上， ∴，若为等腰直角三角形，则直角顶点为，此时到的距离等于． ∵到轴的距离为， ∴，即． 设（），则，解得（舍去）， 故， 此时，即存在这样的，②正确． ③ ． ∵， ∴， 又， ∴， 故，即，③错误． 第2卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 点关于原点的对称点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 14. 正比例函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象有一个交点的纵坐标为2，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用交点同时在两个函数图象上的性质，先结合已知的交点纵坐标，通过正比例函数解析式求出交点横坐标，得到完整交点坐标，再代入反比例函数解析式计算k值 【详解】解：∵两函数图象的交点在正比例函数上，且该交点的纵坐标为． ∴将代入，得． 解得． ∴该交点的坐标为． ∵该交点同时在反比例函数的图象上． ∴将代入，得． 解得． 15. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入待求代数式计算即可． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个根， ∴ ，， ∴ ． 16. 将抛物线向下平移个单位长度，若平移后的新抛物线与轴有交点，则的值可以为__________（写出一个即可）． 【答案】 5（答案不唯一，任意满足的实数均可） 【解析】 【分析】先依据抛物线平移规律得到新抛物线的解析式，再结合抛物线与x轴有交点的条件求出n的取值范围，选取范围内的一个值作答即可． 【详解】解：将向下平移个单位长度后，新抛物线的解析式为 ∵抛物线与轴有交点， ∴有实数根 ∴ ∵ ∴ ∴， 故的值可以为． 17. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转（）得到，点和点的对应点分别为点和点．若，且． （1）线段的长为__________； （2）线段的长为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用旋转的性质得出，，，；在等腰直角中利用勾股定理求出的长即为的长；通过角度计算得出，构造直角三角形利用勾股定理建立方程求出的长，进而求出的长； 【详解】解：①将绕点顺时针旋转得到， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ； ②是等腰直角三角形， ， ， 过点作交的延长线于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ， 解得， ， ． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，菱形的顶点，在格点上，顶点，在格线上，且，若点也为格点． （1）线段的长为__________； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点．作射线，在射线上的一点，满足．当时，若．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）____________________________________________________________________________________________________________． 【答案】 ①. ②. 取格点R、S，连接交格线于点T，连接并延长交的延长线于点M，连接交格线于点O，连接并延长交格线于点N，则点M和点N即为所求． 【解析】 【分析】（1）求出，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）取格点R、S，连接交格线于点T，连接并延长交的延长线于点M，连接交格线于点O，连接并延长交格线于点N，则点M和点N即为所求；连接 ，易证明四边形是平行四边形，则，则，故，可证明；可证明垂直平分，则，故是等边三角形，则，则，则，可证明是等腰直角三角形，则，则，即D、M、N三点共线，故点M和点N即为所求．． 【详解】解：（1）由网格的特点可知， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 已知点在反比例函数的图象上．请根据所给信息完成下面填空． （1）常数的值为__________； （2）反比例函数的图象位于第__________象限； （3）点，和都在反比例函数的图象上，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为______ （4）当时，反比例函数的函数值的取值范围是________ 【答案】（1） （2）一、三 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入反比例函数解析式，计算得到k的值； （2）根据k的符号判断反比例函数图象所在象限； （3）利用反比例函数的增减性，结合各点所在象限比较横坐标大小； （4）先求出当时和当时的y值，进而即可求y的取值范围． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得 解得； 【小问2详解】 解：， 反比例函数的图象位于第一、三象限； 【小问3详解】 解：由（1）得，反比例函数解析式为， ∴， 在每个象限内，y随x的增大而减小． 点的纵坐标， 点A在第三象限，， 点、的纵坐标均大于0， 点B、C在第一象限，，． ， ， ； 【小问4详解】 解：当时，，对应图象在第三象限， ∴当时，， 当时，， ． 20. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得． 21. 二次函数的图象与轴相交于，两点，其中点在点的左侧，图象与轴相交于点，图象的顶点为点，图象的对称轴为直线． （1）求二次函数的解析式： （2）直接写出点，点和点的坐标； （3）请在给出的平面直角坐标系中，描出点，，，，并画出二次函数的图象； （4）根据图象直接回答下列问题： ①若抛物线上有两点和则（从符号，，中选择一个填空）； ②当时，则的取值范围是__________． ③的面积为__________． 【答案】（1） （2）的坐标为、点的坐标为、点的坐标为 （3） （4）① ② ③ 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式求出b，再将代入函数得到c，即可写出二次函数解析式． （2）把对称轴代入函数求得顶点D纵坐标；令解一元二次方程，结合点的左右位置，得到A、B的坐标． （3）根据求出的A、B、C、D坐标在坐标系描点，再结合抛物线开口方向，平滑连接各点画出抛物线图象． （4）①计算两点横坐标的平均值，恰好等于抛物线对称轴，说明两点关于对称轴对称，因此函数值相等． ②抛物线开口向下，对称轴落在给定区间内，先得到区间内函数最大值，再计算区间端点处函数值，结合开区间条件写出y的范围． ③可通过“铅锤法”求解． 【小问1详解】 解：由二次函数中，，对称轴为， 则由对称轴公式可得，即，解得， ∵图像与y轴交点为点， ∴， 故二次函数解析式为． 【小问2详解】 ∵点D为顶点， ∴， ∴， ∴点D坐标为， 令，即，解得、， ∵点在点的左侧， ∴、， 综上点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为． 【小问3详解】 略． 【小问4详解】 解：①计算点和点的对称轴，， 为抛物线的对称轴， 则． ②函数图像开口向下，且对称轴直线，在内， 则在这范围内y的最大值为， 再分别计算区间端点函数值，当时，， ∵， ∴当时，， 故y的取值范围为． ③如下图： 过点D作x轴的垂线交与点M， ∵直线过点， ∴设直线解析式为， ∵直线过点， 有，解得， ∴直线的解析式为， 取，有， ∴， ∴ ． 22. 在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接并延长，射线与相交于点． （1）如图1，当时，求和的大小； （2）如图2，当，，时，求的长和的面积． 【答案】（1）， （2）,的面积为12 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知：，，旋转角，可得是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质计算底角，最后由计算即可； （2）过作于，由旋转的性质可知：，，旋转角，可以得到两个等腰三角形的底角都相等，进而可以得到，可得，再根据勾股定理求得的长，计算面积即可． 【小问1详解】 由旋转的性质可知：，，旋转角， ∵， ∴  ∵， ∴ ， ∵, ∴， 在中，由内角和定理：  【小问2详解】 过作于， 由旋转性质得，， ∴， 由（1）可得，, ∵， ∴, ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，即汽车开始刹车到完全停止所行驶的距离就是刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟该款汽车在公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．若用（单位：）表示汽车开始刹车到完全停止所行驶的距离，用（单位：）表示汽车开始刹车到完全停止所用时间，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 汽车开始刹车到完全停止所用时间（单位：） 0 1 汽车开始刹车到完全停止所行驶的距离（单位：） 0 9 发现：①与之间成二次函数关系；②汽车开始刹车到完全停止所行驶的距离随汽车开始刹车到完全停止所用时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）填空：①当时，__________； ②模拟实验中，该款汽车开始刹车到完全停止所用时间为__________（），所行驶的距离为__________（）； ③当时，__________． 【答案】（1） （2） ①②，；③  【解析】 【分析】（1）由题设二次函数的解析式，再根据表格找到对应的值代入计算即可； （2）①把代入计算即可； ②根据题意，刹车距离最远时汽车完全停止，也就是二次函数的最大值点，求其最值点即可； ③把​代入解析式计算即可． 【小问1详解】 ∵是关于的二次函数， ∴设， 由表格可知时，和， 代入得, 解得， ∴； 【小问2详解】 ①把代入得： ； ②根据题意，刹车距离最远时汽车完全停止，也就是二次函数的最大值点： 在二次函数中，抛物线开口向下，顶点为最大值点， 顶点横坐标（完全停止的时间）：， 顶点纵坐标（总刹车距离）：代入​，得； ③把代入解析式得： ​， 整理得， 解得​，， 结合题意，刹车过程中随增大而增大，有效时间范围是，但， 此​时汽车早已停止，不符合“刹车过程中行驶距离为”的实际场景， ∴． 24. 矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，点在第一象限．点为矩形对角线的交点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点． （1）如图1，点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边，边向终点运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点．设点运动的时间为，并记由，，三点组成的三角形的面积为． ①如图2，当时，用含有的式子表示点的坐标； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）；； （2）①；②或5或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和点A和点C的坐标可求出点B的坐标，再由题意可得点M为的中点，由中点坐标公式可得点M的坐标；过点M作轴于点E，过点N作，交的延长线于点F，证明，得到，据此可得点N的坐标； （2）①连接并延长交x轴于点R，证明，得到；可证明轴，得到，则点Q的坐标为； ②当时，由（2）①可知点Q的坐标为，根据建立方程求解即可；当时，过点M作轴，过点P作于点H，过点Q作于点G，证明，推出点Q的横坐标为，根据建立方程求解即可；当时，过点M作轴，过点P作于点H，过点Q作于点G，证明，推出点Q的横坐标为，根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，点，点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点B的坐标为； ∵点为矩形对角线的交点， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为，即； 如图1所示，过点M作轴于点E，过点N作，交的延长线于点F， ∴，， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴点N的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边，边向终点运动， ∴当时，点P在上，且； 如图2所示，连接并延长交x轴于点R， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴点Q的坐标为； ②当时，点P在上，且，则， 由（2）①可知点Q的坐标为， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 当时，如图所示，过点M作轴，过点P作于点H，过点Q作于点G， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴点Q的横坐标为， ∵， ∴， ∴或， 解得，，（舍去） 当时，如图所示，过点M作轴，过点P作于点H，过点Q作于点G， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴点Q的横坐标为； ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 综上所述，t的值为或5或． 25. 在平面直角坐标系中，点，点，点，抛物线（，，为常数，且）过，两点．点和点均在此抛物线上，其中，且轴．，两点关于原点的对称点分别为点和点． （1）若． ①求抛物线的解析式和其顶点坐标； ②求四边形周长的最大值，及此时的值； （2）平面内动点和（点在点左侧），满足轴，且．若，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】（1）①，其顶点坐标为；②四边形周长的最大值为37，此时的值为 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②由题意得，，，，利用坐标与图形性质得四边形周长，然后利用二次函数的图象与性质求解即可； （2）先得到，进而可得点M、N、P、Q的坐标，则有四边形是矩形，且，轴，，，，根据题意，画出草图如下：作平行四边形，将绕点Q逆时针旋转得到，连接，，由平行四边形性质、旋转性质和等边三角形的判定与性质得到，，，，则，当点M、E、、H共线时取等号，此时的值最小，最小值为的长，则，过作交延长线于G，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①将，，代入中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为，其顶点坐标为； ②由得抛物线的对称轴为y轴， ∵点和点均在此抛物线上，，且轴， ∴M、N关于y轴对称，且在x轴的下方，则，， ∵，两点关于原点的对称点分别为点和点， ∴，，且P、Q在x轴的上方， ∴四边形周长 ， ∵，， ∴当时，周长最大，最大值为37； 【小问2详解】 解：将，代入中， 得，解得， ∴， ∵， ∴，，，， ∴四边形是矩形，且，轴，，， ∵轴，即轴， ∴， 根据题意，画出草图如下：作平行四边形，则，，将绕点Q逆时针旋转得到，连接，， 则，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，当点M、E、、H共线时取等号，此时的值最小，最小值为的长，则， 过作交延长线于G，则， ∵， ∴， ∴，则， 在中，由得， 解得，， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $