精品解析：天津市滨海新区天津外大附属生态城海博学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

天津外国语大学附属生态城海博学校 2026-2027学年第一学期教学质量调查九年级数学 （时间：100分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题要求的．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得，再向上平移1个单位，得，即． 3. 如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x方程是一元二次方程， ∴，且， 解得， 故选：A． 4. 某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率的意义，列方程解答即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， ∵5月产值为2500万元， ∴6月产值为万元， 7月产值为万元， ∵7月产值为9100万元， ∴. 5. 已知、、是反比例函数的图象上的三点，则，、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将三点横坐标分别代入： 得，，， ∵， ∴. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是5 D. 当时，y随x 的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该函数有最小值，最小值是，故B、C选项错误，不符合题意； ∴函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x 的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 7. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y随x的增大而增大 C. 图象与坐标轴不相交 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】从反比例函数的值符号入手，结合其图象与性质判断各选项，注意增减性的适用范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数图象位于第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，图象与坐标轴不相交，故A、C正确，B错误． ∵当时，图象在第二象限， ∴，故D正确． 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴与开口方向，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，开口向上． ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 9. 如图绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，则根据等腰三角形的性质得，即可解答． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ． 10. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题关键．先移项变为，再将等式两边同时加上一次项一半的平方即可． 【详解】解： ． 故选A． 11. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，售价为多少时利润最大？（ ） A. 55 B. 57 C. 58 D. 59 【答案】A 【解析】 【分析】根据总利润单件利润销售量列函数，结合二次函数性质与选项范围求解． 【详解】解：设售价为元，总利润为元， 由题意得，销售量为件， ∵销售量非负， ∴， ∴， ∵现在的售价为每件60元，且要高于进价才有利润， ∴， ∴总利润为， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，有最大值， 即售价55元时利润最大． 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据是关于x的一元二次方程的一个根得，解出即可得的值. 【详解】解：∵ 是一元二次方程的根， ∴ ，整理得：，解得： ， ∴. 14. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．则这个抛物线的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知抛物线顶点坐标，设顶点式解析式，代入已知点坐标求解待定系数，即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为∴设抛物线的解析式为（）． ∵抛物线经过点 ∴将，代入解析式，得 整理得 解得 ∴抛物线的函数解析式为． 15. 若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题意，易知对称轴是直线，抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点， ，解得． 故答案为： ． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 17. 已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差是______． 【答案】4 【解析】 【分析】先将二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合给定的x取值范围，找到区间内的最大值与最小值，计算两者的差值即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数为 ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 ∵ 顶点横坐标在给定区间内， ∴ 当时，函数取得最大值， 开口向下的抛物线，离对称轴越远的点函数值越小，因此需计算区间端点到对称轴的距离及对应函数值， 当时，，该点到对称轴的距离为 当时，，该点到对称轴的距离为 ∵ ，即对应的点离对称轴更远 ∴ 当时，函数取得最小值0， ∴ 最大值与最小值的差为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，轴，，抛物线与正方形始终有交点，则h的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键．根据题意确定正方形四个顶点坐标，再结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为2，轴，， ∴点， 将点代入得， 解得：； 将点代入得， 解得：； 对称轴为直线， 当抛物线顶点在线段上时，，解得； ∵抛物线的图象与正方形始终有交点，故的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题：（本题共7大题，共66分） 19. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴ 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得，． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，原方程都有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为 ∴，， ∴根的判别式 ∵无论取何值， ∴，即 ∴无论取何值，原方程都有两个不相等的实数根. （2）的值为或. 【解析】 【分析】计算判别式，本题把配方成，利用完全平方式非负证明其恒大于，与的取值无关； 先由一元二次方程根与系数的关系写出两根之和与两根之积，再用转化为已知量，得到关于的一元二次方程并求解．求出的需结合中判别式恒正确认取舍． 【小问1详解】 证明过程详见答案 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系， 利用完全平方公式变形： 代入已知条件： 解得，． 由知恒成立，两个值均满足题意． m的值为或． 【点睛】本题是一元二次方程的综合题，把判别式与一元二次方程根与系数的关系放在一起考查．证明“无论参数取何值都有两个不等实根”，核心是把判别式配成完全平方式+正数，如，利用平方非负性；一元二次方程根与系数：两根和，两根积，要先化成一般式再套用；两根平方和要想到恒等变形：，是高频考点；涉及根与系数的关系求参数，解出后注意结合判别式检验取舍． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转90°所得到的； （3）在y轴上有一点Q，使得，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2）如图所示：即为所求； （3）， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，关键是根据轴对称变换和旋转变换得到变换后的对应点． （1）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，，，再顺次连接即可得； （2）分别作出点，，，绕点O逆时针旋转后所得对应点，，再顺次连接可得； （3）根据平行线间距离处处相等即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，点，即为所求． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． （1）求反比例函数的解析式及n的值． （2）根据图象回答： 当时，的取值范围为______． 不等式的解为______． 【答案】（1）； （2）；或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得一次函数解析式可解决第一空；再结合图象可求得第二空． 【小问1详解】 解：把代入， 可得， 所以反比例函数的解析式为， 把代入，可得； 【小问2详解】 解：把，代入， 可得， 解得， 所以一次函数的解析式为， ， ∴当时，的取值范围为； 结合图象可得不等式的解为或． 23. 如图是某抛物线形拱桥横截面的示意图，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为，求拱桥最高点到的距离． 【答案】拱桥最高点到的距离为 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性建立平面直角坐标系，设顶点式解析式，结合已知的水面宽度与水位差列方程组求解． 【详解】解：以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 正常水位时水面宽为， ，． 设抛物线顶点坐标为，h为拱桥最高点到的距离． 抛物线对称轴为y轴， 设抛物线解析式为． 将代入解析式，得， 水位上升时，水面宽为， 此时水面纵坐标为2， ∴点D坐标为． 将代入解析式，得， 联立①②，解得，． 答：拱桥最高点到的距离为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点．直角三角形纸片的边位于x轴上，，．C为边上的动点，过C作交于点D，将三角形沿着折叠，得到，点O的对应点为点E． （1）点的坐标为______． （2）设，折叠后重叠部分的面积记为S． ①如图1，当时，点D的坐标为______，重叠部分的面积为______． ②如图2，当折叠后重叠部分为四边形时，与的交点为F，试用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并直接写出t的取值范围． ③当______时，重合部分面积最大． 【答案】（1） （2）①，；②，；③ 【解析】 【分析】（1）在中，，，由含角直角三角形的性质和勾股定理可得点的坐标； （2）①在中，，可求出点D的坐标，此时点在点的左侧，即重叠部分的面积为整个的面积，据此即可求出重叠部分的面积；②先求出点，，，折叠后重叠部分为四边形即要点在点的右侧，据此求出t的取值范围，然后根据可求出的表达式；③当时，时，重叠部分的面积的最大值为；当时，时，重叠部分的面积的最大值为；当或时，重叠部分的面积为；据此即可得出当时，重叠部分的面积最大． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：①如图1所示，当时，在中，，， ∴，， ∴在中，，即， ∴，解得：（负值舍去）， ∴点的坐标为， ∵点，点O的对应点为点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点在点的左侧，即重叠部分的面积为整个的面积， ∴重叠部分的面积为． ②如图2所示，在中，，， ∴点，点O的对应点为点， ∴， ∵折叠后重叠部分为四边形，， ∴，解得：， 又∵C为边上的动点， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴在中，，解得：（负值舍去）， 在中，，解得：（负值舍去）， ∴ ． ③当时，， ∴当时，重叠部分的面积的最大值为； 当时，重叠部分的面积为整个的面积， ∴ ∴当时，重叠部分的面积的最大值为； 当或时，重叠部分的面积为； 综上：当时，重叠部分的面积的最大值为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标； （3）如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）代入和，直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，得到的解析式，作交于点，轴交轴于点，交于点，通过证明是等腰直角三角形，得出，再设点P的坐标为，表示出的长度，解方程求出的值即可解答； （3）将绕点顺时针方向旋转至，可得，，则，进而得到的解析式，结合图形和题意可知直线上存在符合题意的点，联立抛物线和直线的解析式得到一个点的坐标；连接、，过点作交于点，通过证明得到，结合图形和题意可知直线上也存在符合题意的点，再根据点在抛物线上可知点与点重合，得到另一个点的坐标，即可得出结论． 【小问1详解】 解：代入和，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， ， ， ， ， 又， ， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， 直线的解析式为； 作交于点，轴交轴于点，交于点， 轴， 轴， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由题意得，， ， 设点P的坐标为，则点N的坐标为， ， 解得：， ， 点P的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 令，则， 解得：，， ， 如图，将绕点顺时针方向旋转至，则，， ， 由（2）中的结论得，， ， ， 直线上存在符合题意的点， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； 如图，连接、，过点作交于点， ，， 轴， ，， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ，， 又， ， ， ， ， 直线上也存在符合题意的点， 又点在抛物线上， 点与点重合，即； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，学会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外国语大学附属生态城海博学校 2026-2027学年第一学期教学质量调查九年级数学 （时间：100分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题要求的．） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 1或 4. 某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、、是反比例函数的图象上的三点，则，、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最大值是5 D. 当时，y随x 的增大而增大 7. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y随x的增大而增大 C. 图象与坐标轴不相交 D. 当时， 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，售价为多少时利润最大？（ ） A. 55 B. 57 C. 58 D. 59 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则_______ 14. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．则这个抛物线的函数解析式为______． 15. 若抛物线经过和两点，则______． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 17. 已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差是______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，轴，，抛物线与正方形始终有交点，则h的取值范围是_______． 三、解答题：（本题共7大题，共66分） 19. 解下列一元二次方程 （1） （2） 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，原方程都有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转90°所得到的； （3）在y轴上有一点Q，使得，请直接写出点Q的坐标． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． （1）求反比例函数的解析式及n的值． （2）根据图象回答： 当时，的取值范围为______． 不等式的解为______． 23. 如图是某抛物线形拱桥横截面的示意图，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为，求拱桥最高点到的距离． 24. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点．直角三角形纸片的边位于x轴上，，．C为边上的动点，过C作交于点D，将三角形沿着折叠，得到，点O的对应点为点E． （1）点的坐标为______． （2）设，折叠后重叠部分的面积记为S． ①如图1，当时，点D的坐标为______，重叠部分的面积为______． ②如图2，当折叠后重叠部分为四边形时，与的交点为F，试用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并直接写出t的取值范围． ③当______时，重合部分面积最大． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标； （3）如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $