精品解析：天津市南开区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025—2026学年度第一学期九年级数学学科阶段性质量监测（一） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 硼、碳、氧、氟是化学元素周期表中第二周期的四种元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在⊙中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 若，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（） A. 图象的对称轴为直线 B. 图象顶点的坐标为 C. 图象与轴有两个交点 D. 图象与轴交点坐标为 8. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（ ） A. 与⊙相切 B. 点在⊙上 C. 点在⊙上 D. 点在⊙上 10. 如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线的部分图象如图所示，其顶点的坐标为，抛物线与轴的一个交点在和之间，有以下结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 点关于原点对称的点的坐标为_____． 14. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 15. 如图，分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连，若，则的度数为___________ ． 16. 将抛物线向上平移2个单位长度，平移后的新抛物线与轴交点的坐标为________． 17. 如图，点是边长为4的正方形外一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）的大小为________（度）； （2）点是的中点，连接，则的最小值为_______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （1）线段的长为________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O以及上的一点P，使得，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）：_________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1） （2） 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有实数根； （2）当方程有两个相等实数根时，求k的值及方程的根． 21. 抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，抛物线与y轴相交于点，其顶点为D． （1）求二次函数解析式，并直接写出顶点D，点A和点B的坐标； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出抛物线； （3）根据图象直接回答下列问题： ①若抛物线上有两点和，则____（从符号，，，，中选择一个填空）； ②当时，则y的取值范围是________； ③连接，过顶点D作直线l，使得，直线l与抛物线相交于点M，则点M的坐标为______，线段的长为______． 22. 如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图1，连接，若，求的大小； （2）如图2，延长交于点G，连接，若，的半径为5，求和的长． 23. 某水产品现在的售价为50元/千克，月销售量为500千克．市场调查反映：如果调整价格，这种水产品的售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，已知这种水产品的进价为40元/千克．若设这种水产品的售价为（单位：元/千克），月销售利润为（单位：元），且，月销售量为非负数． （1）填空： ①用含的代数式表示每月的销售量是______（千克）； ②的取值范围是______； （2）求与之间的函数关系式； （3）填空：若，则的值为______； （4）当售价定为多少元时会获得最大月销售利润？并求出月销售利润的最大值． 24. 在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰在轴上． （1）如图1，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图2，当时，连接，求的长和点的坐标； （3）若将点，，，组成的四边形的面积记为．当时，用含有的式子表示（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，，点为抛物线与轴的交点，点的坐标为． （1）当，时． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的值最大时点的坐标； （2）若点，点在抛物线对称轴上． ①当，且取得最小值为时，直接写出的值和抛物线解析式； ②当，且取得最小值为时，直接写出抛物线解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级数学学科阶段性质量监测（一） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 硼、碳、氧、氟是化学元素周期表中第二周期的四种元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形，而不是中心对称图形，故选项错误； B选项是轴对称图形，而不是中心对称图形，故选项错误； C选项即是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确； D选项不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项错误； 故选C． 2. 如图，在⊙中，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 3. 如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果． 【详解】解：把代入函数解析式， 得： 解得， 由图象得：开口向上， ， 故． 故选：A． 4. 若，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和等于是解决此题的关键． 先将一元二次方程变为一般式，然后根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：将变形为 根据根与系数的关系：， 故选：D． 5. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径所对的角为直角求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 6. 已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式， 一次函数的性质，先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 7. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（） A. 图象的对称轴为直线 B. 图象顶点的坐标为 C. 图象与轴有两个交点 D. 图象与轴交点坐标为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，可直接读出对称轴和顶点坐标，并通过计算判断与坐标轴的交点情况即可． 【详解】解：根据题意得，二次函数是顶点式， 则对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴为，说法正确； 选项B：顶点坐标应为，而非，说法错误； 选项C：令，则，即， ∴，无实数根，故与轴无交点，说法错误； 选项D：令，则，则与轴交点为，而非，说法错误； 故选：A． 8. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 设长为步，则宽为步，根据题意，列方程． 【详解】解：设长为步，则宽为步， 由题意可得：， 故选：A． 9. 如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（ ） A. 与⊙相切 B. 点在⊙上 C. 点在⊙上 D. 点在⊙上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点、直线与圆的位置关系，熟练掌握点、直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 根据两点间距离公式计算出、、的距离，分别与半径相比较，得出点是否在圆上；根据圆心到直线的距离等于半径，判断直线与相切即可． 【详解】解：由于点，，点为线段的中点， 那么点的坐标为，直线方程为：， 选项A、过点作于点，由题意得，，设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， ，即长等于半径， 则与相切，故结论正确； 选项B、，则点在外，故结论错误； 选项C、，则点在外，故结论错误； 选项D、，则点在外，故结论错误； 故选：A． 10. 如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查垂直平分线的作法，垂径定理的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，确定，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得：，故A选项正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 11. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据勾股定理得出，再根据旋转的性质得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 则， 故选：B． 12. 抛物线的部分图象如图所示，其顶点的坐标为，抛物线与轴的一个交点在和之间，有以下结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与轴的交点判断，然后利用二次函数的性质依次判断即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：由图象得：抛物线开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， ∵抛物线与轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴时，， ， 即，故②正确； 当时，，故③正确； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根，故④正确； 综上，②③④正确． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 点关于原点对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 14. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 15. 如图，分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连，若，则的度数为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵分别与圆O相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 将抛物线向上平移2个单位长度，平移后的新抛物线与轴交点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数图象的平移，与x轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 将抛物线向上平移2个单位，新抛物线方程为 ，再令求解与x轴的交点坐标即可． 【详解】解：将抛物线 向上平移2个单位长度，新抛物线的方程为 ， 令 ，得 ，即 ， 解得， ∴平移后的新抛物线与x轴交点的坐标为 ， 故答案为：． 17. 如图，点是边长为4的正方形外一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）的大小为________（度）； （2）点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及圆的性质，解题的关键是利用旋转性质构造全等三角形，确定点的运动轨迹． （1）通过旋转性质和正方形性质证明三角形全等，进而得出角的度数； （2）确定点的运动轨迹，利用圆的性质和勾股定理求出的最小值． 【详解】解：（1）线段绕点逆时针旋转得到线段， , 四边形是正方形， ，则， ，即; 在和中，; ; ; （2）由（1）知， 点在以为直径的圆上运动（直角所对的弦是直径）, 如图：设的中点为，则为圆心，， 点是的中点，正方形边长为4， ，且， 是等腰直角三角形． 根据勾股定理，， 当、、三点共线时，取得最小值， ， 的最小值为． 故答案为：（1）90（2）． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （1）线段的长为________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O以及上的一点P，使得，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）：_________． 【答案】 ①. ②. 取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心；取格点，，连接，与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． （1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据平行线分线段成比例得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：， 故答案为：． （2）解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，连接，与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为圆上的直线， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，连接，可得；连接与相交于点， ∴是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和直接开方法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据直接开方法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：， 整理得， 即， 解得：． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有实数根； （2）当方程有两个相等实数根时，求k的值及方程的根． 【答案】（1）见解析 （2）的值为2，根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程的解法，解题的关键是掌握①方程有两个不相等的实数根；②方程有两个相等的实数根；③方程没有实数根． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出无论取何值，该方程总有实数根； （2）根据题意得出，即可求出的值，再求解方程即可． 【小问1详解】 证明：在关于的一元二次方程中， ， 无论取何值，该方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵方程有两个相等实数根， ∴， 解得， ∴， 解得：， 所以的值为2，根为． 21. 抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A在点B的左侧，抛物线与y轴相交于点，其顶点为D． （1）求二次函数解析式，并直接写出顶点D，点A和点B的坐标； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出抛物线； （3）根据图象直接回答下列问题： ①若抛物线上有两点和，则____（从符号，，，，中选择一个填空）； ②当时，则y的取值范围是________； ③连接，过顶点D作直线l，使得，直线l与抛物线相交于点M，则点M的坐标为______，线段的长为______． 【答案】（1）；，， （2）见解析 （3）①；②；③点M的坐标为；线段的长为 【解析】 【分析】（1）先将点代入抛物线解析式求出，再令求解即可． （2）利用函数解析式以及描点法画出图像即可求解． （3）①比较两个点到抛物线的对称轴的距离即可求解； ②利用抛物线的图像与性质即可求解； ③利用两直线平行，那么一次项的系数相同求出直线l的解析式后，与抛物线的解析式联立，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入解析式得：， ∴， ∴； ∴， 当时， ∴，； 【小问2详解】 解：图象如图所示： 【小问3详解】 解：①若抛物线上有两点和，则； 理由：∵抛物线的对称轴为直线， 又∵， ∴点离对称轴更远， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远的点纵坐标越小， ∴． ②当时，则y的取值范围是； 理由：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值最小，此时； 当时，y的值最大，此时； ∴当时，则y的取值范围是． ③∵，， ∴直线的解析式为：， ∵直线， ∴设直线l的解析式为：， 将点代入解析式得：， ∴， ∴直线l的解析式为：， 与抛物线解析式联立得： ， 解得：或； ∴点M的坐标为 ∴． 【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的综合，涉及到了待定系数法求函数解析式，抛物线的图像与性质的运用等知识，解题关键是牢记函数图像的性质，并能准确计算． 22. 如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接． （1）如图1，连接，若，求的大小； （2）如图2，延长交于点G，连接，若，的半径为5，求和的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，属于圆的综合题型，解题的关键是掌握这些知识点． （1）连接，由于为的切线，为切点，推出，，然后可得，再根据，最后可求解； （2）连接，根据，，可推出，然后可得是等边三角形，最后可得，在中，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵为的切线，为切点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 连接，如图所示： ∵，， ∴． 与（1）同理，得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． ∵的半径为5， ∴． ∵是⊙O的直径， ∴， ∴在中，． 23. 某水产品现在的售价为50元/千克，月销售量为500千克．市场调查反映：如果调整价格，这种水产品的售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，已知这种水产品的进价为40元/千克．若设这种水产品的售价为（单位：元/千克），月销售利润为（单位：元），且，月销售量为非负数． （1）填空： ①用含的代数式表示每月的销售量是______（千克）； ②的取值范围是______； （2）求与之间的函数关系式； （3）填空：若，则的值为______； （4）当售价定为多少元时会获得最大月销售利润？并求出月销售利润的最大值． 【答案】（1）①；②； （2） （3）60或80 （4）当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程，求出相应的函数解析式，利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）①根据题意列代数式即可；②根据题意列出不等式求解即可； （2）根据题意可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式； （3）根据销售利润达到8000元，列出方程求解即可； （4）根据（2）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． 【小问1详解】 解：①根据题意得：每月的销售量是千克，即千克， 故答案为：； ②∵月销售量为非负数， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 由题意可得，， 即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是； 【小问3详解】 根据题意得：令， 解得， ∴的值为60或80 ， 故答案为：60或80； 【小问4详解】 ∵， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：当售价应定为70元时，可获得最大利润，最大利润是9000元． 24. 在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰在轴上． （1）如图1，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图2，当时，连接，求的长和点的坐标； （3）若将点，，，组成的四边形的面积记为．当时，用含有的式子表示（直接写出结果即可）． 【答案】（1）； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，确定，然后结合图形即可得出，过点A作，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可确定点的坐标； （2）过点A作，根据旋转及平行线的性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出，得出四边形是平行四边形，即可得出的长，再由勾股定理求解即可确定点的坐标； （3）根据题意得出点B在点右侧，确定，，利用勾股定理得出，再由等腰三角形的性质及勾股定理得出，结合图形求面积即可． 【小问1详解】 解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴， 过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 由（1）得， ∴， ∵， ∴点B在点右侧， 绕点逆时针旋转得到，，， ，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ， ∴． 25. 已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，，点为抛物线与轴的交点，点的坐标为． （1）当，时． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的值最大时点的坐标； （2）若点，点在抛物线对称轴上． ①当，且取得最小值为时，直接写出的值和抛物线解析式； ②当，且取得最小值为时，直接写出抛物线解析式． 【答案】（1）①，；②最大值为， （2）①② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标；②求出的解析式，进而表示出点的坐标，将的长转化为二次函数求最值即可； （2）①根据对称性得到，进行求解即可；②两点式写出解析式为，根据对称性得到，进而得到①，作点关于轴的对称点，连接，根据等边对等角，三角形的外角推出，进而得到②，求解即可. 【小问1详解】 解：①当，时，， 把代入，得：，解得， ∴， 当时，解得， ∴； ②∵， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； 【小问2详解】 ①∵，，， ∴， ∴当时，，即， ∵关于抛物线得对称轴对称， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∴，解得， ∴或（不合题意，舍去）； ②∵抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧， ∴点在轴的正半轴上，点在轴负半轴上， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵关于抛物线得对称轴对称， ∴， ∴当点在线段上时，，值最小， ∴①； 作点关于轴的对称点，连接， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②， 由①可知，，代入②，得， 解得或（舍去）， ∴，解得（负值舍去）； ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $