专题01 第五章 一元函数的导数及其应用（思维导图+知识清单+四大易错点总结）（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题01 第五章 一元函数的导数及其应用（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 5.1 导数的概念及其意义 【知识点1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【知识点2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 5.2 导数的运算 【知识点1 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 5.3.1 函数的单调性 【知识点1 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识点2 导数中函数单调性的应用】 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 【知识点1 函数的极值】 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识点2 函数的最值】 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 5.4 导数在研究函数中的应用 【知识点1 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【知识点2 导数中的不等式证明】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 【知识点3 导数中的恒（能）成立问题】 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识点4 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【知识点5 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【易错点1 复合函数求导错误】 易错点分析：对复合函数进行求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元，避免遗漏中间变量的导数.常见错误是未正确识别内外层函数，导致求导顺序混乱或漏乘导数因子，从而导致结果错误. 【注】：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数 等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【典例1】（25-26高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高二·全国·单元测试）下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练1.4】（25-26高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【易错点2 混淆两类切线的概念】 易错点分析：混淆了“在曲线上一点处的切线方程”和“过一点的切线方程”的概念，从而导致计算错误. 【注】：“曲线在点P处的切线”说明P为切点且P在曲线上；而“过点P的切线”仅能说明点P在曲线的切线上. 【典例2】（2026·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（25-26高三上·河北·阶段检测）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【跟踪训练2.4】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【易错点3 “导数值为0”与“有极值”不等价】 易错点分析：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，这时不能确定所求的点是极值点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，否则容易导致错误. 【典例3】（25-26高二下·山东济宁·期中）函数的极值点为（   ） A． B． C．或 D． 【跟踪训练3.1】（25-26高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·湖南长沙·期末）设函数，曲线在点处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数的极值点. 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 【易错点4 看不出隐藏结构，不会合理构造函数】 易错点分析：对于需要构造函数进行求导计算的题目，看不出所给不等式（方程）的隐藏结构，不会合理变形，构造函数，从而导致计算错误. 【注】：含有两个变量的不等式(方程)，可以考虑对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，进行求导，从而解决问题. 【典例4】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.2】（2026高三上·宁夏·专题练习）已知定义在上的函数的导数为，且有，若 ，，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.3】（2026·青海·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【跟踪训练4.4】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，． (1)求在处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)已知函数有3个零点p，q，r，求证：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 第五章 一元函数的导数及其应用（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 5.1 导数的概念及其意义 【知识点1 导数的概念】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【知识点2 导数的几何意义】 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 5.2 导数的运算 【知识点1 导数的运算】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 5.3.1 函数的单调性 【知识点1 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 函数值减小得越来越快 函数值减小得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【知识点2 导数中函数单调性的应用】 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 【知识点1 函数的极值】 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【知识点2 函数的最值】 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 2．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 3．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 5.4 导数在研究函数中的应用 【知识点1 导数中的函数零点（方程根）问题】 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【知识点2 导数中的不等式证明】 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 【知识点3 导数中的恒（能）成立问题】 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【知识点4 导数中的双变量问题】 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【知识点5 导数在解决实际问题中的应用】 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【易错点1 复合函数求导错误】 易错点分析：对复合函数进行求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元，避免遗漏中间变量的导数.常见错误是未正确识别内外层函数，导致求导顺序混乱或漏乘导数因子，从而导致结果错误. 【注】：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数 等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 【典例1】（25-26高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的运算法则及复合函数的导数计算即可判断. 【解答过程】，故错误； ，故错误； ，故正确； ，故错误. 故选：C. 【跟踪训练1.1】（25-26高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用复合函数的求导规则计算即可. 【解答过程】． 故选：D. 【跟踪训练1.2】（25-26高二·全国·单元测试）下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数的四则运算和复合函数的导数，即得解 【解答过程】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D错误． 故选：B． 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据复合函数求导法则及商的求导法则计算可得； （2）根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； （3）首先利用诱导公式及二倍角公式化简，再根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； 【解答过程】（1）∵， ∴ ． （2） ． （3）∵ ， ∴ ． 【跟踪训练1.4】（25-26高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解题思路】（1）利用复合函数求导运算求解即可； （2）利用复合函数求导运算求解即可； （3）利用复合函数求导运算求解即可； （4）诱导公式和二倍角公式先化简，再直接求导； （5）利用复合函数求导运算求解即可； （6）利用复合函数求导运算求解即可. 【解答过程】（1）由， 则. （2）由， 则. （3）由， 则. （4）由 ， 则. （5）由， 则. （6）由， 则. 【易错点2 混淆两类切线的概念】 易错点分析：混淆了“在曲线上一点处的切线方程”和“过一点的切线方程”的概念，从而导致计算错误. 【注】：“曲线在点P处的切线”说明P为切点且P在曲线上；而“过点P的切线”仅能说明点P在曲线的切线上. 【典例2】（2026·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【解答过程】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：A. 【跟踪训练2.1】（25-26高三上·河北·阶段检测）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【解答过程】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 【跟踪训练2.2】（25-26高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【解答过程】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C. 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【解答过程】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 【跟踪训练2.4】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【解答过程】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 【易错点3 “导数值为0”与“有极值”不等价】 易错点分析：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，这时不能确定所求的点是极值点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，否则容易导致错误. 【典例3】（25-26高二下·山东济宁·期中）函数的极值点为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】对求导，得到，令，得到或，再利用极值点的定义，即可求解. 【解答过程】因为，则， 令得到或，易知时，，当时，， 所以不是极值点，的极小值点为， 故选：B. 【跟踪训练3.1】（25-26高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【解答过程】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 【跟踪训练3.2】（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）    A．有2个极值点 B．在处取得极小值 C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减 【答案】C 【解题思路】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【解答过程】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极值大点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·湖南长沙·期末）设函数，曲线在点处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数的极值点. 【答案】(1) (2)极大值点为2，极小值点为 【解题思路】（1）对函数求导，代入极值使导函数等于0，求实数，最后验证. （2）代入第一问，对函数求导，令导函数等于0，根据单调性验证极值. 【解答过程】（1）函数的定义域为，导函数， 因为在点处取得极值， 所以，所以，解得， 当时，，， 当时，，当时，， 所以为函数的极值点，满足题意，， 所以. （2）由（1）可知，，则， 当时，，函数在区间上单调递减； 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 故的极大值点为2，极小值点为. 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为32，极小值为0 (2)最大值为32，最小值为0 【解题思路】（1）根据导函数的正负可确定的单调区间；根据单调性可知极大值为，极小值为，代入求得结果； （2）根据（1）可得极大值和极小值，再求端点值对应函数值，可得最大值和最小值. 【解答过程】（1）函数的定义域为， ， 令，解得或. 当或时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为：，； 单调递减区间为：； 当时，函数取极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； （2）由（1）知，在区间上， 当时，函数有极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； 又因为，. 所以函数在区间上的最大值为32，最小值为0. 【易错点4 看不出隐藏结构，不会合理构造函数】 易错点分析：对于需要构造函数进行求导计算的题目，看不出所给不等式（方程）的隐藏结构，不会合理变形，构造函数，从而导致计算错误. 【注】：含有两个变量的不等式(方程)，可以考虑对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，进行求导，从而解决问题. 【典例4】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 【跟踪训练4.1】（25-26高二下·河南驻马店·期末）定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用构造偶函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【解答过程】根据题意可构造函数， 则， 因为当时，，则， 所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 则在区间上为减函数， 又，即， 所以，解得或， 则不等式的解集为. 故选：A. 【跟踪训练4.2】（2026高三上·宁夏·专题练习）已知定义在上的函数的导数为，且有，若 ，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性，再根据结合的单调性可判断出大小关系. 【解答过程】设，所以， 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，，， 且，所以，所以， 故选：A. 【跟踪训练4.3】（2026·青海·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (3) 【解题思路】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【解答过程】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 【跟踪训练4.4】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知函数，． (1)求在处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (3)已知函数有3个零点p，q，r，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由函数求导，计算切线的斜率以及切点，根据点斜式方程，可得答案； （2）利用参变分离整理不等式，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，可得答案； （3）根据零点的定义，建立方程，求出零点以及构造函数，根据新函数的性质，等价消元整理不等式，可得答案. 【解答过程】（1）由，求导可得， 则函数在处的曲线斜率为， 切点的纵坐标为， 所以切线方程为，整理可得. （2）当时，等价于. 令，则，. ①当，时，， 故，在上单调递增，因此， 即不等式恒成立； ②当时，令，得，， 由及得，故当时，，在上单调递减， 因此，不满足题意. 综上，的取值范围是. （3）证明：由，令， 易知，由题意可得， 当时，由，整理可得， 令，易知为方程的两个不同的根， 由（2），且，则易知函数在上单调递减， 在上单调递增，且， 由，，且，，则，，， 由，则， 由，则，易知， 由函数在上单调递减，则， 不等式，可等价整理为，即， 令，求导可得， 当时，，则函数在上单调递增，， 由，则，所以，即恒成立. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $