第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三单元自测·培优卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【解题思路】根据题意，化简得到，结合导数的定义，转化为的值，即可求解. 【解答过程】因为， 则. 故选：C. 2．（5分）（25-26高二上·重庆·期末）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据导数的几何意义以及割线斜率结合图形可判断. 【解答过程】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B. 3．（5分）（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【解答过程】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 4．（5分）（25-26高三上·河北张家口·期末）已知函数，则函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【解答过程】因为，所以， 又，故函数在点处的切线方程为，化简得. 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【解答过程】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 6．（5分）（25-26高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得在时恒成立，在时恒成立，且在时的值小于在时的最小值，从而计算即可得. 【解答过程】当时，， 则在时恒成立， 则与共零点， 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增， 则，解得， 综上可得. 故选：B. 7．（5分）（25-26高二下·吉林四平·期中）已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用求导得到导函数的零点和，就参数分类讨论，判断函数的单调性，即可分析判断，确定参数的范围. 【解答过程】由题意得，， 由可得，或， ① 若，即时，，显然不合题意； ② 若，即时，当或时，，即在和上单调递增； 当，，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意； ③ 若，即时，当或时，，即在和上单调递增； 当，，在上单调递减，故在处取得极大值，不符题意. 综上所述，当时，在处取得极小值，故的取值范围是. 故选：A. 8．（5分）（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数得出，进而得出，可得出，令，，其中，则，结合导数求解即可. 【解答过程】令，，其中， 则，， 当时，，， 当时，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即， ，即， 故当时，，则， 因为不等式对任意恒成立，则， 令，，其中，则， ，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，，所以， 因此实数的取值范围是. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项． 【解答过程】选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B正确； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D正确． 故选：BCD. 10．（6分）（25-26高三上·河北·期末）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】当为切点时，根据的值和直接求解出切线方程；当不是切点时，设出切点，然后根据斜率的表示求解出的坐标，则切线方程可求. 【解答过程】因为，所以； 若A点是切点，则， 则切线方程为，即，故C正确； 若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为， 又因为直线AB的斜率为， 则，， 化简可得，所以或（舍去，此时重合）， 所以点B为，故切线斜率为， 则切线方程为，即，故D正确． 故选：CD． 11．（6分）（2026高三上·江苏无锡·专题练习）设函数，则下列说法正确的有（   ） A．不等式的解集为 B．函数在单调递增，在单调递减 C．当时，总有恒成立 D．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解题思路】对于A：求导得和，解不等式即可判断选项； 对于：对求导得，令，可分别求出的单调区间； 对于C：求得在上单调递增，且，，，即可比较与的大小关系； 对于D：求导得，令，化简得，再根据函数图象的交点来计算的取值范围. 【解答过程】由得，，则，，， 对于A：因为，所以等价于，解得，所以选项正确； 对于B：由，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减，所以选项错误； 对于C：当时，，所以， 因为，且在上单调递增，所以此时， 又因为，所以时，总有恒成立，所以选项正确； 对于D：，， 若函数有两个极值点，则有两个不同的零点， 令，化简得：， 所以直线与函数的图象有两个不同的交点； 的图象如图所示： 当直线与函数的图象有两个不同的交点时，，解得，所以选项D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·广东河源·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则____________. 【答案】 【解题思路】根据导数的定义计算即可. 【解答过程】因为是定义在上的可导函数，， 则. 故答案为：. 13．（5分）（2026高二·全国·专题练习）若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则____________． 【答案】 【解题思路】分别设出直线与两曲线的切点坐标，利用导数求得切线方程，由斜率及在轴上的截距相等列式求得切点，代入切线方程求解值． 【解答过程】设直线与曲线相切于， 则直线方程为 ； 设直线与曲线相切于点， 则直线方程为 ． 得， 得， 该直线与曲线相切于， 即，得． 故答案为：． 14．（5分）（25-26高二上·陕西西安·期末）已知是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为____________. 【答案】 【解题思路】设，对函数求导，判断时的单调性，然后将不等式进行转化为，从而得出此时不等式的解集，然后根据函数奇偶性得出时不等式的解集，最后将解集求并集即可. 【解答过程】设，则， 当时，，则， 所以函数在上单调递减， 因为是定义在上的偶函数，所以， 又，所以， 当时，， 当时，不等式等价于即， 由函数在上单调递减，所以， 解得：，又，所以不等式的解集为：， 当时，令，则， 所以要使即，所以的解集为： 即， 所以当时，的解集为， 综上所述：的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据题意，结合导数的运算法则及复合函数求导发法则，计算即可求解. 【解答过程】（1）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （2）解：由函数，根据导数的四则运算法则，可得； （3）解：由，根据导数的四则运算法则， 可得； （4）解：由函数，根据导数的四则运算法则， 可得. 16．（15分）（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为. 【解题思路】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解. 【解答过程】（1）因为函数的定义域为，且， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 17．（15分）（25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在和上单调递增． (2) 【解题思路】（1）对函数求导并因式分解，结合的条件，讨论与的大小关系，根据导函数的正负确定函数的单调区间. （2）化简不等式，构造辅助函数判断的符号，将问题转化为恒成立，通过导数求解的最大值，即可得到的取值范围. 【解答过程】（1）求导得， 令，解得或， 当时，，则由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则由，得或，由，得， 则在区间上单调递减，在和上单调递增． （2）由，可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 18．（17分）（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)； (3)． 【解题思路】（1）利用导数法求出的单调性，利用单调性得到极值． （2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得到一个关于的等式，将切点代入得到另一个关于的等式，这两个等式相减得到的方程，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到所求. （3）由对任意的恒成立，得到，构造函数，利用恒成立得到，解得的范围．通过放缩法得到，构造函数，求导，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到的取值范围． 【解答过程】（1）因为，所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． （2）直线与曲线相切，设切点为， 因为，所以， 所以，解得，① 因为切点在上， 所以，即，② 由②-①并整理得：． 令，则，令，解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得． （3），， 因为对任意的恒成立， 所以， 因为，所以， 即， 即恒成立，则， 解得． 则， 令，则， 设， 则在恒成立，则在上单调递增， 又，则由，由， 所以在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即恒成立，所以的取值范围是． 19．（17分）（25-26高二下·天津·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，已知有两个极值点，． ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)； (2)①； ②证明见解析 【解题思路】（1）先求导，求出切线斜率及切点坐标，利用点斜式求出切线方程； （2）①对求导，得，再令，再求导，对分情况讨论，根据在上有两个零点，确定的取值范围；②根据为的两个零点，得，，作差、变形分离出，得，将要证明的，转化为证明，通过换元，构造函数证明. 【解答过程】（1），可得， 又，所以切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即． （2） ，则， ①因为有两个极值点，所以在上有两个零点，且在零点两边异号． 令，， 当时，，从而在上单调递增， 即在上单调递增，不满足有两个极值点， 当时，令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以只需， 解得；综上所述； ②证明：由①可知，， 作差，得，即 不妨设，又， 要证明，只需证明， 只需证明，即， 令，， 只需证明函数， 因为，所以在上单调递增， 从而得证， 所以成立． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知，的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D．16 2．（5分）（25-26高二上·重庆·期末）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（   ）    A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高三上·河北张家口·期末）已知函数，则函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二下·吉林四平·期中）已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高三上·广西柳州·阶段检测）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高三上·河北·期末）过点与函数相切的直线为（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（2026高三上·江苏无锡·专题练习）设函数，则下列说法正确的有（   ） A．不等式的解集为 B．函数在单调递增，在单调递减 C．当时，总有恒成立 D．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·广东河源·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则____________. 13．（5分）（2026高二·全国·专题练习）若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则____________． 14．（5分）（25-26高二上·陕西西安·期末）已知是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·重庆·阶段检测）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 16．（15分）（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 17．（15分）（25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 18．（17分）（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 19．（17分）（25-26高二下·天津·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数，已知有两个极值点，． ①求的取值范围； ②求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $