专题11 导数压轴综合探究（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题11 导数压轴综合探究 常考题型·精准突破 题型1利用导数证明不等式（重） 题型2 利用导数研究不等式恒成立问题（重） 题型3 利用导数研究能成立问题（高频） 题型4 利用导数研究函数的零点（方程的根）（高频） 题型5 利用导数解决实际应用问题（重） 题型6 导数中的极值偏移问题（难） 题型7 导数新定义（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用导数证明不等式 1．（江西部分校2026-2027学年高三年级上学期10月供题训练数学试题）已知函数，．对任意，方程在区间上有唯一实根，记为． (1)由恒等式求的表达式（用表示），并证明在区间上严格递减； (2)证明：对任意，有且； (3)证明：对任意，，有． 【答案】(1)， 设， ， 当时，,且等号不能同时成立，故. 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 结合时，，可得当时，， 所以，，故， 且（，）， ， 因此， 所以函数，即在上严格递减， (2)设，， 则，所以在上单调递增， 所以对任意，， 所以对任意，由，又， 所以. 取，则， 故. 对任意，因为， 所以. 取，则， 即. 两边取对数,得. (3)令，. 则. 由（1）知在区间上严格递减，又， 故， 从而. 所以在区间上严格递减. 又, 因此当时，. 令，得， 即. 【分析】（1）对恒等式两边关于求导，结合的导数表达式，求解得到的表达式，令，对求导，根据导数符号以及的取值范围，判断的符号即可证明； （2）利用导数证明对任意，都有，由此证明，取，即可证明，再通过证明，证明； （3）令，，证明函数在区间上严格递减，由此证明当时，，令，即可证明结论. 【详解】（1）由题意， 对左右两边同时求导， 得，故. 证明略； （2）略 （3）略 2．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有3个零点，求实数的取值范围； (3)当时，对任意，，满足.证明：. 【答案】(1) (2) (3)先证明：当时，， 令， 则，当时，且， 所以，又因为，故， 而，因为，， 因此，对，，分别应用上式求和， 可得， 由，得，故不等式成立. 【分析】（1）先求切点函数值、再求该点导数值作为斜率，最后写出直线方程即可； （2）由判断单调性，再由极大值、极小值确定3个零点的条件； （3）证明时的单变量不等式，再对各求和. 【详解】（1）因为，， 故切线斜率为，切点为， 斜率，则，可得， 因为，所以 （2）由，若，则， 故只有一个零点，至多有2个零点，不合题意， 若，则函数单调递增，故不可能有3个零点， 因此只需考虑，此时，且或， 则当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为时，，时，， 故要有3个零点，只需满足，，计算可得， 因为，所以，故， 又，故实数的取值范围为. （3）略 3．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，． (1)若函数的最大值为，求实数的值； (2)当时，设是的极大值点，证明：． 【答案】(1) (2)当时， 当，单调递增 当，单调递减 为函数的极大值 即 因为，所以 令 令 因为，所以单调递减， 即在上单调递增， 当时， 【分析】（1） ，即，构造函数，求导可得，构造函数单调递减，； （2）对函数求导分析可得为函数的极大值，，整理得，令，求导可知，在上单调递增，. 【详解】（1），即， 设，， 当，单调递增，无最大值； 当，令，有， 当，单调递增；当，单调递减， 所以， 设，有， 关于的函数和在时都单调递减，可知在时单调递减， 所以. （2）略 4．（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数有两个极值点，（），证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减 (2)由已知，， 则，                    函数有两个极值点，， 即在上有两个不等实根， 只需，故，    又，，                                  所以 ， 要证，即证， 只需证，                             令，， 则， 在上单调递减，又，， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则， ∵由对勾函数知在上单调递增， ， ，即，得证． 【分析】（1）先确定函数定义域为，对求导后得到导函数的零点为和，根据与的大小关系以及的正负性分类讨论，即可得到在不同参数范围下的单调区间. （2）先化简得到的表达式，结合极值点的定义可知是方程的两个正实根，利用韦达定理将转化为关于的函数，再构造新函数研究其单调性与最大值，即可证明不等式成立. 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为， ， ①当时：对恒成立，时，单调递减； 时，单调递增  ；          ②当时，当时，单调递增； 当时，单调递增； 当时，单调递减；             ③当时：恒成立，在单调递增； ④当时：当时，单调递增； 当时，单调递增；时，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减 （2）略 【点睛】方法归纳：①含参函数单调性讨论的核心步骤：先确定函数定义域，求导后将导函数因式分解找到零点，再根据零点的大小、零点是否在定义域内对参数进行分类讨论，最终得到不同参数范围下函数的单调区间；②双极值点不等式证明的常用技巧：利用韦达定理将双变量的和、积用参数表示，将双变量表达式转化为关于单参数的函数，再通过构造新函数，利用导数研究新函数的最值完成不等式的证明. 5．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知定义在上的三个函数 ，，，其中的图象关于直线对称． (1)求的单调区间； (2)若对任意的 ，都有，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不等实根、，求证：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)证法一：由（2）知，即， 故． 不妨设，记的两根为， 则，， 故有． 现证和， 由，，故． 又，，均位于的单调递减区间上， 由知，同理可得， 故，，，命题得证． 证法二：由于函数的图象关于对称， 不妨设方程的两根、满足， 且，故． 由，要证， 即证． 即证， 由第（2）问，上式已成立，故原命题成立． 【分析】（1）由的图象关于直线对称可得，进而得到，可得关于对称，可得，进而得到，再分析单调性即可； （2）由题设及的对称性，只需要在上成立即可，令，得，进而证明时命题成立即可； （3）证法一：由（2）知，可得，设，记的两根为，分析可得，，，进而求证即可； 证法二：由于的对称性，设方程的两根，满足，且，可得，转化问题为证明，进而得到，再结合（2）求证即可. 【详解】（1）由的图象关于直线对称， 则有， 故，所以关于对称，故，即， 故， 由于与均在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）对任意的 ，都有， 即对任意的，都有成立， 而的图象关于直线对称， 因此，只需要在上成立即可， 令，得，即，现证时命题成立． 当时，，由，只需证即可． 令，，则， 设，，则， 由于在上单调递减，且，， 故存在使得， 则时，，单调递增， 时，，单调递减， 又，，则， 故存在，使得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增， 而，故，所以， 则实数的取值范围为. （3）略 ◆题型2 利用导数研究不等式恒成立问题 6．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)讨论的单调区间. (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； (3). 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，分、、，及求解即可； （3）由题意可得在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可得答案. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：， 即； （2）由题意可得， 又因为， 当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，令，得， 当时，， 所以当时，单调递增，当时，单调递减； 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减，当时，单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数的单调递增区间为； 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减，当时，单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则， 令，得， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的范围为. 7．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，且在处的切线斜率为． (1)求实数，的值，并求的单调区间； (2)若（）恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为， (2) 【分析】（1）利用切点与切线斜率条件求出参数，求导后根据导数符号得到单调区间； （2）对不等式化简换元，转化为函数恒成立问题，通过导数研究新函数单调性，确定新函数的取值范围，进而得到参数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，所以， 又，，          所以，所以.   ， 令，得， ，得或， 所以的单调递减区间为， 单调递增区间为，. （2）由，不等式即为： ， 即：， 令，，其中，则， ， 所以当或时，，在区间，内递减； 当时，，在区间内递增； 所以当时，，当且时，， 所以当时，， 所以，即， 所以实数的取值范围是． 8．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值． (2) (3)． 【分析】（1）利用导数法求出的单调性，利用单调性得到极值． （2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得到一个关于的等式，将切点代入得到另一个关于的等式，这两个等式相减得到的方程，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到所求. （3）由对任意的恒成立，得到，构造函数，利用恒成立得到，解得的范围．通过放缩法得到，构造函数，求导，构造函数，利用导数法得到的单调性，从而得到的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． （2）直线与曲线相切，设切点为， 因为，所以， 所以，解得，① 因为切点在上， 所以，即，② 由②-①并整理得：． 令，则，令，解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得． （3），， 因为对任意的恒成立， 所以， 因为，所以， 即， 即恒成立，则， 解得． 则， 令，则， 设， 则在恒成立，则在上单调递增， 又，则由，由， 所以在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即恒成立，所以的取值范围是． 9．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，． (1)若的最大值为，求的值； (2)若存在使得，求的取值范围； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导后按和分类讨论单调性，由最大值在处取得建立方程求出； （2）将不等式分离参数得，构造函数并求导找最大值，转化为小于该函数的最大值即可； （3）将不等式变形后利用函数的单调性去掉函数符号，转化为恒成立，再求的最大值即可确定的范围． 【详解】（1）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增，无最大值，不合题意； 当时，由，解得，由，解得，故在上单调递增，在上单调递减． 故的最大值为，则，得． （2）由可知，即存在满足， 令，则， 令，解得，即在上单调递增； 令，解得，即在上单调递减； 所以，因此即可满足题意，即的取值范围为． （3）由，可得，即， 令，易知单调递增， 由，可得，则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，得，因此的取值范围为． 10．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数． (1)求的定义域； (2)证明曲线是中心对称图形，并求其对称中心； (3)当时，恒成立，求实数a的最大值. 【答案】(1) (2)由（1）知，若曲线是中心对称图形，则其对称中心的横坐标必为． 因为， 所以曲线是中心对称图形，其对称中心为． (3)2 【分析】（1）根据解不等式即可得到定义域； （2）利用函数的对称性即可证明； （3）换元令，则原不等式等价于当时，，求导后分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）由，解得，故的定义域为． （2）略 （3）令，因为，所以， 则， 则． 当时，，故恒成立，故在上单调递减， 故，符合题意； 当时，则当时，， 故在上单调递增，故，不合题意，舍去． 综上所述，，即的最大值为2． ◆题型3 利用导数研究能成立问题 11．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）把代入函数解析式，对其求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合导数与单调性关系及有解条件即可求解. 【详解】（1）当 时，， ， ，， 因此切线过点 且斜率为0，即切线方程为 . （2），， 令，则或， 当，即时，，因此 在 上单调递增； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 当，即 时，由，得，由，得， 所以 在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减. （3） ，即，即， 所以 在上有解， 令 ，则 ， 令 ，则， 所以 在 单调递增且 ， 时，，，单调递减； 时，，，单调递增； 可得 的最小值为 ，因此只要 ，就存在 使得在上有解； 故的取值范围为. 12．（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求导后，判断导数正负即可得该函数单调区间； （2）由题意可得在上有解，即可构造函数，结合导数得到该函数最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由不等式，可得， 故当时，， 因为存在，使得成立， 即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 13．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3) 【分析】（1）根据导函数，分、讨论函数的单调性； （2）结合（1）中的单调性分类讨论最值； （3）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可． 【详解】（1）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 14．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，求得，结合题意，得到，列出方程，即可求解； （2）求得，分，和，三种讨论，得到函数的单调性，结合极值点的定义，即可求解； （3）由，得到，令，转化为存在，使得，求得，得到的单调性和最小值，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 因为是函数的极值点，可得，即， 可得，解得，所以实数的值为. （2）解：由函数，可得其定义域为， 且， 令，即，所以， 因为，解得或， 当时，即时，， 在上单调递增，无极值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，即时， 令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点； 综上可得，当即时，无极值点； 当时，是极大值点，是极小值点； 当时，是极大值点，是极小值点. （3）解：由，可得， 整理得，即， 令，则问题转化为，， 又由，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在或处取得最小值， 计算， 因为，所以， 因为存在，使得，所以， 所以实数的取值范围为 15．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，实数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）由已知不等式得出，令，由题意可知，可得出，再令，利用导数分析该函数的单调性与极值，结合题意可得出实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，， 由可得，由得， 所以函数的减区间为，增区间为. （2）由，得， 令，则， 因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以，存在，不等式成立， 则， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数的取值范围为. ◆题型4 利用导数研究函数的零点（方程的根） 16．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知函数 . (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：在区间上单调递增； (3)设函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2)证明：， ，， 令，， ，，在区间上单调递增， ，，在区间上单调递减， ， ， 在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）求切点坐标，切线斜率，写出切线方程； （2）求导，利用放缩法判断导函数符号，得出结论； （3）求的表达式及导函数，变形转化为的零点，求导分析单调性，结合零点存在性定理求的取值范围 【详解】（1）当时，， ， ，， 切线方程为，即. （2）略. （3）， ， 令， 有两个不同的零点等价于有两个不同的零点， ， 令， ， 则在上单调递减，， ，，，在区间上单调递增， ，，，在区间上单调递减， ， 要使有两个不同的零点，，； ，，，， 则， 所以的取值范围为. 17．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：（，）； (3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时， 在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增． (2)由（1）知当时，在上单调递减， 故当时，，所以， 令， 则， ， 故， 所以，原不等式得证． (3) 【分析】（1）求出的定义域，对求导，分，利用导数与单调性的关系求解即可； （2）由（1）可得时，，从而可得，令，利用放缩法可得，利用裂项求和法即可得证； （3）对化简可得，只有一个零点，令，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可求解． 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，则， 当时，，恒成立，在上单调递减； 当时，，方程的两根为，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述：当时， 在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增． （2）略. （3）， 易知在上单调递增， 且当时，，所以只有一个零点， 又当时，，故有三个不同的零点， 令，， 则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， ①当时，此时在上单调递减，显然不符合题意， ②当时， ，， 在上单调递减；在上单调递增． 因为，且，所以，所以， 由（2）知，时，， 所以，即， 所以， 所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的零点， 因为， 因为，所以， 所以时，存在三个不同的零点，1，， 故实数的取值范围是． 18．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)的极小值为，无极大值； (2)时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. (3)或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的极值点情况，进而得到极值情况； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，分类讨论，求出函数单调性； （3）先得到2为的一个零点，在（2）的基础上进行分类讨论，得到函数的零点个数. 【详解】（1）时，，定义域为， ， 令得， 令得，则在上单调递增， 令得，则在上单调递减 所以为函数的极小值点，且， 所以的极小值为，无极大值； （2），定义域为， ， 当时，恒成立，令得，令得， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，， 故的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）， 显然，故2为的一个零点， 当时，仅有一个零点2， 由（2）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 恒成立，当趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理可得上，存在一个零点， 故有2个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，， 故2为的唯一零点； 时，在上单调递增，，故有1个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 若，即时，共有2个零点，分别为1和2； 若，即时，共有1个零点，即2； 若，即时，若，即时，共有2个零点， 其中一个零点为2，另一个零点位于上， 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 综上，或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 19．（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：在区间单调递增； (3)当时，证明：有三个零点． 【答案】(1) (2)证明：函数的定义域为， 所以， 设函数，则， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 当时， 若，，所以函数在上单调递增， 若，，所以函数在上单调递减， 所以， 当时，，又，所以在上恒成立， 所以当时，函数在区间上单调递增. 综上所述，当时，函数在区间上单调递增. (3)证明：由（2）， 设函数，则， 因为，所以当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数的最小值为， 由， 则存在，使得， 又， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以当时，， 又，所以存在，使得， 当时，，则函数在区间上单调递增， 当时，，则函数在区间上单调递减， 当时，，则函数在区间上单调递增， 所以函数的极大值为，极小值为， 当时，，当，， 又， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以， 所以， 又，令， 则， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 由，且当时，，以及 根据零点存在性定理可得函数在上有1个零点， 由，根据零点存在性定理可得函数在上有1个零点， 当时，，且， 根据零点存在性定理可得函数在上有1个零点， 综上所述当时，函数有三个零点． 【分析】（1）根据函数求出切点和利用函数导数求出切线斜率，再利用点斜式求切线方程即可； （2）利用函数导数与单调性分析证明即可； （3）利用函数导数与单调性，零点存在性定理分析证明即可. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 所以， 所以曲线在点处的斜率为， 又，所以切点为， 所以曲线在点处的切线方程为：即. （2）略. （3）略. 20．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数 ． (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点，求的取值范围； (3)讨论在区间上的零点个数． 【答案】(1)由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行． (2) (3)当或时，在区间上没有零点； 当时，在区间上有且仅有1个零点． 【分析】（1）先对函数求导，再求出和的值，根据导数的几何意义得到切线方程，进而证明切线与直线平行. （2）对函数求导，根据函数在区间上存在极值点，分析导数在该区间上的正负变化，确定的取值范围. （3）结合（2）问，分类讨论可得函数在区间上的零点个数. 【详解】（1）略. （2）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点． 当时，在区间上递减，令，得． 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点． 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点． 综上，的取值范围是． （3）由（2）知，在区间上单调递减， 又，所以对恒成立， 所以在区间上没有零点； 由（2）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点； 由（2）知时，在区间上单调递增， 又，所以对恒成立， 所以在区间上没有零点； 综上所述：当或时，在区间上没有零点； 当时，在区间上有且仅有1个零点． ◆题型5利用导数解决实际应用问题 21．（25-26高二下·上海·阶段检测）如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成；已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2； (1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点在抛物线上；已知圆柱以为母线、矩形为其展开的侧面，求该圆柱的体积的最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上； 【答案】(1)封闭图形的边缘抛物线部分的方程为，线段部分的方程为. (2) (3)证明：当时，抛物线的切线为轴，没有与其垂直的切线. 所以可设抛物线上的点，且抛物线在处的切线互相垂直. 由，得，所以. 所以抛物线在处的切线方程分别为. 且，所以，代入， 得，化简得①. 由得②. 联立①②式，消去，可得，即. 因为所以. 所以抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上. 【分析】 （1）以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立坐标系，设抛物线的标准方程，即可求得抛物线方程，从而得到该封闭图形边缘的方程； （2）设，根据圆柱的体积公式，将圆柱的体积表示成的函数，利用导数求得其最大值； （3）设切点坐标，利用导数的几何意义，分别求出相应的切线方程，根据切线垂直得其坐标间的关系，用切点坐标表示切线的交点即可得交点都在同一直线上. 【详解】（1）如图，以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立坐标系，则抛物线的顶点为，. 设抛物线的标准方程为， 则，所以，所以抛物线的方程为. 所以图中封闭图形的边缘抛物线部分的方程为，线段部分的方程为. （2）由题意，设. 设题中圆柱的底面半径为，则，所以， 所以该圆柱的底面面积为， 所以该圆柱的体积为. 令，则. 因为，所以， 所以当时，；当时，. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 即该圆柱的体积的最大值为. （3）略. 22．（25-26高三上·安徽合肥·期中）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【答案】(1)； (2)（i），； （ii）时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 【分析】（1）由题设得，应用作差法比较大小； （2）（i）由（1）及球体、圆柱的表面积求法，写出函数表达式，注意定义域；（ii）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，进而确定区间单调性，即可得. 【详解】（1）由题设，则， 所以，而， 所以，则，故； （2）（i）由（1），，且， 所以，且； （ii）由（i）得，， 令， 所以，可得， 当时， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增， 此时时有； 当时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 综上， 时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 23．（25-26高三上·上海·阶段检测）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2) (3)当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【分析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积； （3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定点D的位置. 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 24．（25-26高二下·山东日照·期末）某公园有一个矩形地块（如图所示），边长千米，长4千米．地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线是以为顶点，以所在直线为对称轴的抛物线的一部分，现要经过曲线上某一点（异于，两点）铺设一条直线隔离带，点分别在边，上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点到边的距离为（单位：千米），的面积为（单位：平方千米）．    (1)请以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出关于的函数解析式； (2)是否存在点，使隔离出来的的面积超过2平方千米？并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由： 因为， 所以， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值， 所以不存在点，使隔离出来的的面积超过2平方千米. 【分析】（1）由题意设抛物线方程为，然后将点的坐标代入可求出，则可求得抛物线的方程，再利用导数的几何意义求出切线的方程，从而可求出两点坐标，进而可表示出的面积； （2）利用导数求出的最大值与2比较即可. 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，则， 由题意设抛物线方程为，代入点，得，解得， 所以抛物线方程为， 由题意知直线为抛物线的切线， 因为点到边的距离为，所以切点的坐标为， 由，得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 即    （2）略 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，然后表示出的面积，再利用导数求其最大值，考查数学计算能力和分析问题的能力，属于较难题. 25．（25-26高三上·山东泰安·期中）某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据：， 【答案】(1) (2)需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元. 【分析】（1）利用题中的已知条件设出需要建设桥墩的个数，进而表示出工程的费用即可； （2）利用（1）的结果，再利用导数研究函数的单调性即可求出最值. 【详解】（1）由已知两端的桥墩相距1200米，且相邻两桥墩相距x米，故需要建桥墩个， 则 所以y关于x的函数关系式为， （2）由（1）知 令，即，解得（舍）或 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 所以当时，y有最小值， 且 又 （万元） 所以需新建个桥墩才能使y最小，最小值为万元. ◆题型6 导数中的极值偏移问题 26．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数有两个零点 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数c的取值范围； (3)在（2）的条件下，设函数的两个零点为，证明． 【答案】(1) (2) (3)不妨设，则由（2）可知，则， 欲证，只需证， 因为在上单调递减，所以只需证， 令， 则， 因为，所以，则， 则在上单调递增，则，故， 故命题成立. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出； （2）利用导函数求出单调性以及极值即可求出； （3），求证即可. 【详解】（1）， 当时，，， 则函数在处的切线方程为，即； （2）若，则，则在上单调递增， 则至多有一个零点，不符合题意； 若，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 若函数有两个零点，则，得， 当或时，均有， 故函数有两个零点时实数c的取值范围为； （3）略 27．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若，且，求证：； (3)若方程有两个不同的实根，，且满足，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，，在上恒成立， 所以在上单调递增，由于，， ，又因为，所以不妨设， 令， 则在上恒成立，所以在上单调递增， 即，即， 又，所以，即， 又因为在上单调递增，所以，即. (3) 【分析】（1）先将问题转化成恒成立，再分离参数，转化求函数的最值即可. （2）先求导得到函数单调递增，再通过极值点偏移的对称，构造辅助函数把证明两个变量不等式问题转化为函数单调性问题. （3）先分离参数，由方程的解个数转化为两函数交点个数，得到第一个的取值范围，再通过换元，，，得到关于的函数，关于的函数，分别研究这两个函数的单调性，并求出最值，得到第二个关于的取值范围，最后得出结论即可. 【详解】（1）已知函数，定义域为，， 由于函数在定义域上单调递增，所以在上恒成立，即， 又因为，当且仅当时取等号，所以，即实数的取值范围为. （2）略. （3）方程可化简为，即，即， 令， 则方程有两个不同实根，等价于直线与曲线有两个不同交点， 由于，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值， 此外当时，；当时，， 所以与有两个不同交点，必须满足， 注意到，不妨设，令， 因为，所以，条件变为，即， 由得， 设，，则，，又， 所以，此时， ， 由于，则，令分子，则， 在时，，所以单调递减，，所以， 即在时单调递减，由于，当时，，所以对应， 由于，在内，，故随增大而增大， 当时，；当时，， 因此实数的取值范围. 28．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）设函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个不同零点，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) （i） （ii）由题意知，是的两个不同零点， 令，则是方程，即的两个不等实根． 令，，则， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增 不妨令， 要证明，只需证，即证， 即证， 令， 即，因为，当时，由基本不等式得， 因此，所以在上单调递减， 所以，故， 故，即 【分析】（1）求导后分类讨论求出函数单调区间即可； （2）（i）根据函数存在两个零点利用函数的单调性及零点存在定理求参数的取值范围即可； （ii）利用函数单调性及换元法可转化为证明，再由导数证明在上单调递减即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，，在单调递增； 当时，由得，由＜0得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由（1）知，当时，在上单调递增，至多有1个零点，不符合题意； 当时，要使得有两个不同零点，， 需要，解得 又所以在上存在唯一零点； 由于，所以， 取， 则当时，，所以在存在唯一零点： 所以 （ii）略 29．已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若且，，证明：. 【答案】(1)1 (2)证明如下： 由，可得， 两边取以为底的对数并整理得，，即， 因为，不妨设， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，， 即， 而，且当时，恒成立，得到， 记，， 则， 函数在上单调递增， ，即，于是， 又在上单调递减，， ，得证. 【分析】（1）利用导数讨论的单调性，即可求得最大值； （2）将已知条件变形得到，再利用（1）中函数的单调性，构造函数，，进而可以得证. 【详解】（1）当时，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以. （2）略. 【点睛】本题核心题型：极值点偏移，嵌套同构构造，是本题核心母函数.条件同构转化是关键一步，条件：，两边取对数化简，把陌生不等式转化为，即，再利用（1）中函数的单调性，得到与的关系，再通过放缩法证明不等式. 30．已知函数，记. (1)讨论函数的单调性； (2)已知，且，求证：. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增． (2)已知，且，由（1）知，， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 得， 得， 得， 要证，即证， 即证， 即证， 因为，所以， 即证， 即证， 即证， 令， 即证， 令， 得， 则函数在上单调递增， 得， 即得证， 故命题得证． 【分析】（1），对其求导，对实数进行分类讨论进行求解； （2）由，得，即证，，令，即证，讨论求证即可. 【详解】（1）， 则， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 综上知， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）略 ◆题型7 导数新定义 31．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作．类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数．若，则（    ） A．100 B．5049 C．5050 D．5052 【答案】C 【分析】先对函数进行多次求导，找到导数的规律，最后进行代值求和. 【详解】，， ，， 可得， 求和时每四项的三角函数值之和为0， 故. 32．（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为 “局部反比例对称函数”. 若的导函数是定义在区间上的 “局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导得到，根据新定义列出，利用的恒等式换元     并确定范围，将条件转化为方程在对应区间内有解，再结合判别式与函数单调性求的最大值. 【详解】，因为的导函数是定义在区间上的 “局部反比例对称函数”，所以存在，使得， 即，所以在有解. 令，设，则. 因为，所以，所以在上单调递增，所以当时，. 设，所以当时，有解. 当，即时，在上单调递增，所以，解得； 当，即，在上单调递减，上单调递增， 所以，解得，又，所以不存在符合条件的. 综上，，所以实数m的最大值与最小值之差为. 【点睛】新定义转化为方程有解，换元后利用二次函数零点分布，按对称轴分类讨论求参数范围. 33．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用．在初等数学中，若有三个互不相同的函数，当在某个区间上恒有成立时，可以作为和在该区间上的分离函数． (1)试判断是否可以作为和在区间上的分离函数； (2)对于函数和，找一个二次函数可以作为这两个函数在区间上的分离函数，找一个即可并给出其解析式． (3)若存在实数和，使得函数可以作为函数和函数在区间上的分离函数，且满足，求的最大值并说明其几何意义． 【答案】(1)可以 (2)函数为，取，可得一个函数为. (3)取得最大值，其几何意义为，当直线为水平线时， 作为分离函数的区间长度达到最大值，即直线与在两个交点的距离． 【分析】（1）根据分离函数的定义判断即可； （2）设函数和在上的分离函数为， 根据分离函数的定义结合已知条件求出参数的值（范围）即可； （3）利用函数的奇偶性，二次函数的单调性，以及利用函数导数求函数在某点处切线方程，韦达定理，结合分离函数的定义分析即可. 【详解】（1）可以．理由如下： 因为恒成立，且恒成立． 所以可以作为和在区间上的分离函数. （2）设是和在上的分离函数， 直线是的图像在处的切线， 所以直线也应该是的图像在处的切线， 因此，可得． 所以对一切实数x恒成立， 即且对一切实数x恒成立， 所以且，解得． 又因为当时，与为相同函数，不符合题意， 所以所求函数为， 取，则满足条件的一个函数为. （3）由各函数在区间上的函数值大小关系， 记，， 则根据函数形态可以画出草图如下． 由于和都是偶函数，图像关于y轴对称，要使为和在的某个子区间上的分离函数，且当时，恒成立， 所以存在使得直线与的图像相切，并且切点的横坐标, 在上，对求导得，， 则当时，的图像在处的切线方程为， 即，于是，． 设直线与的图像交于点，， 由得， 则，， 所以，， ． 由二次函数在时单调递减， 因此当时，取得最大值． 其几何意义为，当直线为水平线时， 作为分离函数的区间长度达到最大值，即直线与在两个交点的距离． 34．（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）对于函数，若存在，使得，则称为的不动点；若存在，使得，则称为的稳定点． (1)已知，求的不动点． (2)已知：若函数在定义域内严格单调递增，则“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充要条件．已知，试判断是否存在稳定点，若存在，求出稳定点个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)唯一不动点1 (2)当时，无稳定点；当时，有唯一稳定点； 当时，有两个稳定点. 理由如下： 当时，对求导得， 由于，又， 故恒成立，在严格单调递增，符合不动点与稳定点等价的前提, 依题意，函数的稳定点与的不动点等价，则只需研究的不动点即可． 令，求导得 函数在上单调递减， 当时，， 当趋近于正无穷大时，趋近于0，则存在，使得， 即存在唯一，使得，即 此时在上单调递增，在上单调递减， 于是 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于负无穷大， 设，则在上单调递增，且， 又在上单调递增， （ⅰ）当时，即， 此时，方程有一个解，即有唯一不动点 （ⅱ）当时，即， 此时，方程无解，即无不动点 （ⅲ）当时，即， 此时，方程有两个解，即有两个不动点 所以，当时，无稳定点；当时，有唯一稳定点； 当时，有两个稳定点. 【分析】（1）令函数，利用导数探讨单调性确定零点即可． （2）当时，确定函数单调性，把问题转化为函数的不动点个数求解，利用导数探讨函数的零点即可． 【详解】（1）令函数，求导得成立 所以函数在上单调递增，又, 因此函数在上有唯一零点1，所以函数有唯一不动点1. （2）略 35．（2026·江苏·模拟预测）对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． (1)若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； (2)设，，，求证：是的“从属函数”； (3)设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 【答案】(1)因为是偶函数，对于任意，都有， 因为是的“从属函数”，对于任意且，都有， 令，（其中），代入上式得， 因为，所以，而，故必有， 即对任意非零成立，当时，等式显然成立， 所以也是偶函数. (2)对于任意且， ，， 因为，所以，同理， 因此，所以， 故，即成立， 所以是的“从属函数”。 (3)因为是的“从属函数”， 对于任意且，都有， 已知是的两个零点，即，， 所以，故，即， 化简得，即， 令（且），则， 不妨设，令，则，且， 所以，即，解得， 要证明，需证，即， 因为，所以，得，即， 令，求导， 设，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，则，在上单调递减，而， 所以时，恒成立，即成立，故， 所以，得证. 【分析】（1）根据函数新定义及偶函数的性质得，即可证； （2）由题设，对于任意且，，，利用不等式性质及函数新定义即可证； （3）根据已知，对于任意且，有，从而有，令（且），，转化为证明时恒成立即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：第三问注意将问题转化为证明不等式恒成立，结合函数新定义及导数分析证明. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·北京东城·阶段检测）已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先将方程的根转化为函数图像交点，分区间讨论求出参数的范围 ，再解方程，分,两段统计零点总数. 【详解】方程有三个不同的实数根，等价于与的图象有三个交点. （1）当时，，，联立得，解得（舍）或， 若，则与有一个交点，若，则与无交点； （2）当时，，，联立得， 当时，方程无解，当时，可化为，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得最小值，又时，，时，， 所以当时，方程有且仅有一个解，即方程有且仅有一个实数根； 当时，方程有两个解，即方程有两个不同的实数根. 综上，若方程有三个不同的实数根，则. 求的零点，即求方程的根， 当时，由，解得，方程只有一个根； 当时，由整理得， 因为，且，所以方程有两个不同的负根， 综上，方程有三个不同的实数根，即的零点个数为. 2．（多选）（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由题意构造函数，说明其单调性，用导数得出其单调性，可将原不等式等价转换为，从而在上恒成立．通过进一步放缩结合导数求最值即可得解. 【详解】令，显然的定义域为全体实数， 则，所以为奇函数． 因为， 且，， 所以，所以在上单调递增． 因为等价于， 所以，所以， 即在上恒成立． 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以，． 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以． 对比选项可知，实数的值可以为和. 3．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，若关于的不等式至少有两个整数解，则实数的取值范围为____. 【答案】 【分析】根据题意，构造函数，利用导数得到的单调性，分类讨论实数的取值范围即可求解. 【详解】由，得，令，则， 不等式至少有两个整数解转化为至少有两个整数解 令，易知单调递增，且， 所以存在，使得， 当时，，即，所以单调递减； 当时，，即，所以单调递增； 所以，因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当时，单调递减，，当时，单调递增，， ①当时，此时有无穷多个整数解，符合题意； ②当，即时，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，此时不等式无整数解，不符合题意； ③当时，因为，显然是不等式的两个整数解，符合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 4．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知，，，若存在，使得，则m的最小值为_______． 【答案】 【分析】将问题转化为存在，使得，构造函数，结合导函数研究其最小值. 【详解】因为存在，使得， 即存在，使得， 所以存在，使得， 令，则， 则， 令，则， 则在上单调递增， 因为，， 所以存在使得， 则当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为，所以m的最小值为 5．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若方程在上有解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得， 即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增， 所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数 ，若 在 上恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可知，不等式无法直接分离出来，因此此种情况可采用分类讨论或利用单调性求解. 【详解】由定义域可知对恒成立，则. 由端点可知，则,. 令，则，故在 上单调递增，且. ，故存在唯一的，使得在处取得最小值. 由得，代入 整理得 . 令 ，，则在上单调递增，又，故由可得. 综上所述，的取值范围为. 7．（2027·湖南衡阳·一模）设函数，对任意，记． (1)求集合； (2)若，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，求实数的最大值，使得不等式恒成立，其中为自然对数的底数． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明：由，得；由，得，则， 即，于是， 令，则，，， 令，求导得，函数在上单调递增， 因此，即，所以. （ⅱ） 【分析】（1）利用导数求出函数的值域，再结合给定定义即可. （2）（ⅰ）利用给定条件可得，令并构造函数，利用导数推理证明；（ⅱ）由（ⅰ）的信息并等价变形不等式，构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 当时；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 由的定义，得，所以集合. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知，由，得， 则不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数， 令， 求导得，函数在上单调递增， ，函数在上单调递增， ，即，因此函数在上单调递增， ，则， 所以实数的最大值为. 8．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若，，求实数a的取值范围； (3)若当时，，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3) 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解极值； （2）设，，转化问题为利用导数分析的单调性，进而求解即可； （3）由当时，不等式成立得到，再验证其满足题意即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 而，令，可得． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以当时，取得极大值，且极大值为，无极小值. （2），，即，． 设，，只需． 而，令，可得． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以，所以，即， 所以实数a的取值范围为. （3）因为当时，，所以当时，成立， 即成立，则． 下证：时，且时，. 当时，有，所以． 记，，则．     记，，则． 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 而，所以． 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 而，所以， 即当时，． 综上所述，实数a的取值范围为. 9．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数，，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个不同零点，，且满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)令， 因为，同时除以得， 由题意得与有两个不同的交点， 得到， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以， 其中，所以，即， 即对恒成立， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，，当时， ， 要使有两个不同根，必须有，不妨设， 因为，且在上单调递减， 所以， 又因为，故只需证明对任意，都有， 可得， 分母部分由上知对于恒成立，对于恒成立， 所以的分母恒正，即只由分子部分决定正负， 分子部分整理得，令， 则， 令， 由有，因此， 得到， 因为，所以，又因为， 故，进而， 故，所以单调递减， 所以， 即，即，即， 因为在单调递减，所以，进而. 【分析】（1）利用导数公式求出切点处的斜率，直接代入点斜式得出切线方程. （2）用分离参数法将不等式恒成立转化为求函数最值，并通过构造分子函数即可求解. （3）构造将双变量极值点偏移转化为单变量问题，并结合对数不等式放缩技巧即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 令，则，即切点为， 得到，则切线斜率， 综上，切线方程为，化简得. （2）若对任意，恒成立，即对恒成立， 因为，则有，即， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以，故对恒成立， 因此对两边同时除以得， 令，原问题转化为， 令，则， 因为，则， 当时，，单调递减， 当时，， 单调递增， 所以，即恒成立， 从而，结合， 则有，当且仅当时取等号， 即，即，即实数的取值范围为. （3）略 10．（25-26高二下·北京东城·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)①若，在上单调递增，在上单调递减； ②若，在和上单调递增，在上单调递减； ③若，在上单调递增； ④若，在和上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）求导后因式分解得到，依据参数的不同取值，分类讨论导数的正负，进而确定单调区间；分类分界点由有无解确定，即与，当时再分出临界点与比较大小. （2）由第(1)问单调性结论，函数要有3个零点，需要函数存在极大值、极小值，且极大值大于0、极小值小于0.先锁定参数的范围，再代入极值点，建立不等式求解的取值范围，同时结合函数在无穷远处的趋势辅助判断零点个数. 【详解】（1）函数的定义域为， 则， 令，得或， ①若，则，的单调性如表： − 0 + ↘ 极小值 ↗ 故在上单调递增，在上单调递减； ②若，则，的单调性如表： + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故在和上单调递增，在上单调递减； ③若，则，易得在上单调递增； ④若，则，的单调性如表： + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故在和上单调递增，在上单调递减， （2）由（1）可知， 当时，在上单调递增，在上单调递减，至多有两个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 因为， 若使得有3个零点，则， 即，无解； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 若使得有3个零点，则， 即，解得且， 综上所述，的范围为且. 法二：由函数， 可得有一个零点，要使得有3个零点，即方程有2个实数根，又由方程，可化为， 令，即函数与图象有两个交点， 令，得， 的单调性如表： − − 0 + + ↘ ↘ 极小值 ↗ ↗ 所以函数在处取得极小值， 当时，，又，的大致图象如图， 由函数与图象有两个交点，根据图象可得， 所以要使得有3个零点，则实数的取值范围为. 11．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若且函数有两个不同的零点，，且，证明：． 【答案】(1)当时，恒成立，故的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为. (2)当时，，则， 由题意，，是方程的两个不同实根， 令，则. ，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 由，可知. ，等价于， 因为，所以，故只需证明. 要证，即证. 因为，，且在上单调递减， 故只需证，又，故只需证. ，， 所以在上单调递减，因此对任意，有 ，即，故. 因此，结合在上单调递减，得，即. 所以，即. 【分析】（1）求出导函数，就、分类讨论后可得函数的单调性； （2）先将零点问题转化为同一函数的函数值相等问题，构造辅助函数并分析其单调性，得到两根的分布范围；再对目标不等式作等价代数变形，将问题转化为证明；最后通过构造对称函数，利用导数判断新函数的单调性，结合单调性完成证明. 【详解】（1），其中， 当时，恒成立，故的增区间为，无减区间； 当时，若，则； 若，则； 故的减区间为，增区间为. 综上，当时，恒成立，故的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）略. 12．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：方程，有唯一解； (3)若函数和(其中)的零点分别为、，求的最大值． 【答案】(1) (2)，； 函数在上单调递增. 当时，；当时，； 对任意，方程有唯一解. (3)1 【分析】（1）先求的导函数，分别求出和，得到切点坐标，根据点斜式即可求出切线方程； （2）先求的导函数，判断的单调性；再分析和时，的取值趋势；根据单调函数的值域是连续区间，即可证得对于任意，方程有唯一解. （3）根据函数和函数的零点分别为，，得到关于，的等式，从而得到和的关系，结合（2）中的单调性得到与的等量关系，将转化为关于的单一变量的函数，再求该函数的最大值. 【详解】（1），； ，. 切线方程为，即. 曲线在点处的切线方程为. （2）略 （3）由函数，得函数的定义域为. 函数的零点为，，得，即. 由函数，得函数的定义域为. 函数的零点为，，即. ，. . ，函数在上单调递增， 由，得； ，. 令，则； 令，解得； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，函数取得最大值，即. 的最大值为. 13．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）设，，函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若方程有三个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，即为. 设，则， 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 而，， 故在上存在一个零点，且， 且当时，，时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，但，故， 故，因，故等号不可取， 故即. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义可求切线方程； （2）设，求出函数的导数，利用虚设零点结合基本不等式可证. （3），求出其导数，结合虚设零点及该函数有两个不同的极值点可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，故，故， 而，故曲线在处的切线方程为， 整理得. （2）略. （3）方程有三个实数解即为有3个不同的实数解， 令，则有3个不同的零点， 若， 当时， ，时，， 此时， 当时，，而，故， 当，，则， 故在上单调递减，，， 故存在，使得且： 当时，即，当时，即， 故在上单调递增，在上单调递减， 故此时至多两个不同的零点，不合题意，舍； 当时，因为当时，，故， 故仅在上讨论方程有三个实数解， 当时则在上有3个不同的零点. 注意到当时， ，时，， ， 令，，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， ， 当，即时，，故， 故在上单调递减，所以在上存在唯一零点； 当，即时， 存在，，使得， 当或时，，，故在，上单调递减， 当时，，，故在上单调递增， 因为，即，， 所以， 同理，令，， 则，故在上单调递增， 注意到，所以， ， 从而当时，有3个零点， 综上：当时，方程有三个实数解. 【点睛】对于导数背景下的零点问题，如果不能求出具体的极值点，则需结合虚设零点和零点存在定理判断零点的个数. 14．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，，． (1)若函数的导函数为，当时，试讨论的单调性； (2)当时，，求实数m的取值范围； (3)关于x的方程的两根，满足，且，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3) 【分析】（1）分为和两种情况，分别讨论的正负，从而得到的单调性； （2）分为和两种情况，结合导数证明时成立，时不成立，即可求出答案； （3）对方程进行转化得到，通过构造函数说明，令，即，构造函数求出的值域即可求出的取值范围. 【详解】（1）．①当时，由， 由， 在单调递减，在单调递增 ②当时，．由或，由， 在和上单增，在上单减 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）即， 1°当时，， 令，． 则，在单减． ，故恒成立． 即符合题意． 2°当时，令，． 则， 令在上单调递减． 又，是连续的， ，使得当时，有．在上单调递增． 当时，． 在上单调递增．故当时，．不符合题意． 综上，实数m的取值范围为． （3）等价于， 等价于， 由题意知， 令， 令，解得，令，解得， 在在单调递减，在在单调递增． ， 设， 在上单调递增， 所以． 于是． 令，则．，即． 令．则， 令． 则． 在单调递增． ．在上单调递增， ． 在上单调递增． 又．当时，． ．． 15．已知函数.若函数有两个零点. (1)求的取值范围； (2)求证：. 【答案】(1) (2)要证，只需证， 由于，且当时，单调递增， 故而只需证明， 由于，故而只需证明． 构造， ， 当时，， 则，故在区间单调递减， 因为，所以当时，． 因为，所以，即， 所以． 【分析】（1）求导，分类讨论求出函数的单调性，即可求得的取值范围； （2）要证，只需证，构造，求导，判断函数单调性后即可得证. 【详解】（1）由题意知：，所以， 易知为增函数，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 则， 若，则恒成立，没有零点，不符合题意； 若时，恒成立，且仅当时，，不符合题意， 若，则， 此时，， 令，则， 因为，所以，所以单调递增，所以， 所以，又因为，所以， 因此，存在，使得， 同时，，所以， 因此，存在，使得， 综上所述，的取值范围是. （2）略 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为；极小值为，无极大值； (2)证明：当时，；当时，； 当时，，再由其单调性和极值，作出函数的大致图象如图所示： 若，且， 则，，. 因为，则，又因为， 且函数在上单调递增，所以，则， 则， 又因为函数在上单调递减，所以，即； 要证：，又因为，即证. 由得：，两边同时取对数得：， 即， 即，即证，即证， 即证，令，因为，所以，即证. 令， 则，所以在上单调递增， 又因为，所以，所以成立； 因为且，所以. 【分析】（1）求定义域，求导，解不等式求出单调区间和极值情况； （2）作出的大致图象，数形结合，得到，，，要证，即证，换元后即证，构造函数，求导，得到在上单调递增，证明出结论. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 则， 令，得，当或时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为， 当时，函数取极小值，且极小值为，无极大值； （2）略 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 17．（26-27高三上·山西长治·开学考试）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)当，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减. 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)令，则，当时，， 所以在上单调递增.故，即. 因为，所以，即，所以得证. (3) 【分析】（1）对求导，导函数的分子为含参的二次函数，对参数进行讨论确定导函数的正负，进而得到的单调性. （2）要证明，即证明，要证，构造，对求导，判断导函数的正负确定单调性. （3）根据（1）问中的单调性讨论当时，，不符合题意，，不符合题意，当，构造讨论单调性，求出在上的最小值，确定的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，在上单调递减， 当时，，解得， 所以，，单调递减，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减. 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）略 （3）由（2）知，当时，. 若，当时 ，，不符合题意. 若，则，由（1）知，，单调递减， 所以，不符合题意. 若，令，. ，因为，所以. 又因为时，，即. 所以. 当时，， 故，所以在上单调递增. 又.所以当时，， 即恒成立，综上所述，的取值范围. 18．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2)（i）实数的取值范围是． 证明：取，则， 则， 令， 则，， 设， 则， 则在上单调递增， 则，即； （ii）证明：由（ⅰ）知，，， 要证， 只需证， 即证明， 令， 则， 则在上单调递增， ，即， ； 又因为，且， 故． 要证， 只需证， 令， 则且， 只需证明． 令， 则， 在上单调递减， ， 即，从而得证． 综上所述，． 【分析】（1）先对函数求导，因式分解导数，再分类讨论分析函数的单调性． （2）（ⅰ）由第（1）问，时最多有一个零点，排除这种情况，计算时的极小值，接着构造函数得到的取值范围；把代入，换元化简，利用的单调性，证得． （ii）先借助极小值点，构造关于的函数证明，结合，可证出；再用（ⅰ）的找点结果做桥梁，换元转化变量，构造函数求导判断单调性，证明，即可得证． 【详解】（1）由， 得， 当时，，则在上单调递减； 当时，若，，则在上单调递减， 若，，则在上单调递增． （2）（ⅰ）由（1）知，若函数有两个零点，则， 且当时，取得极小值，也即为最小值， 又∵当时，，当时，，所以， 即，即， 由于，则函数在上是增函数，且， ∴不等式的解为， ∴实数的取值范围是； （ⅱ）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 导数压轴综合探究 常考题型·精准突破 题型1利用导数证明不等式（重） 题型2 利用导数研究不等式恒成立问题（重） 题型3 利用导数研究能成立问题（高频） 题型4 利用导数研究函数的零点（方程的根）（高频） 题型5 利用导数解决实际应用问题（重） 题型6 导数中的极值偏移问题（难） 题型7 导数新定义（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用导数证明不等式 1．（江西部分校2026-2027学年高三年级上学期10月供题训练数学试题）已知函数，．对任意，方程在区间上有唯一实根，记为． (1)由恒等式求的表达式（用表示），并证明在区间上严格递减； (2)证明：对任意，有且； (3)证明：对任意，，有． 2．（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有3个零点，求实数的取值范围； (3)当时，对任意，，满足.证明：. 3．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，． (1)若函数的最大值为，求实数的值； (2)当时，设是的极大值点，证明：． 4．（26-27高三上·湖北荆州·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数有两个极值点，（），证明：． 5．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知定义在上的三个函数 ，，，其中的图象关于直线对称． (1)求的单调区间； (2)若对任意的 ，都有，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不等实根、，求证：． ◆题型2 利用导数研究不等式恒成立问题 6．（26-27高三上·天津河东·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)讨论的单调区间. (3)若恒成立，求的取值范围． 7．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，且在处的切线斜率为． (1)求实数，的值，并求的单调区间； (2)若（）恒成立，求实数的取值范围． 8．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 9．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，． (1)若的最大值为，求的值； (2)若存在使得，求的取值范围； (3)若，恒成立，求的取值范围． 10．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数． (1)求的定义域； (2)证明曲线是中心对称图形，并求其对称中心； (3)当时，恒成立，求实数a的最大值. ◆题型3 利用导数研究能成立问题 11．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若在上有解，求实数的取值范围． 12．（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 13．（25-26高二下·天津静海·期中）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 14．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，，其中． (1)若是函数的极值点，求实数的值： (2)当时，讨论函数的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点； (3)若存在（e为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 15．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，实数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. ◆题型4 利用导数研究函数的零点（方程的根） 16．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）已知函数 . (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：在区间上单调递增； (3)设函数，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 17．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：（，）； (3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 18．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 19．（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：在区间单调递增； (3)当时，证明：有三个零点． 20．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数 ． (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点，求的取值范围； (3)讨论在区间上的零点个数． ◆题型5利用导数解决实际应用问题 21．（25-26高二下·上海·阶段检测）如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成；已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2； (1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点在抛物线上；已知圆柱以为母线、矩形为其展开的侧面，求该圆柱的体积的最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上； 22．（25-26高三上·安徽合肥·期中）如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 23．（25-26高三上·上海·阶段检测）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 24．（25-26高二下·山东日照·期末）某公园有一个矩形地块（如图所示），边长千米，长4千米．地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线是以为顶点，以所在直线为对称轴的抛物线的一部分，现要经过曲线上某一点（异于，两点）铺设一条直线隔离带，点分别在边，上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点到边的距离为（单位：千米），的面积为（单位：平方千米）．    (1)请以为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出关于的函数解析式； (2)是否存在点，使隔离出来的的面积超过2平方千米？并说明理由． 25．（25-26高三上·山东泰安·期中）某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据：， ◆题型6 导数中的极值偏移问题 26．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数有两个零点 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数c的取值范围； (3)在（2）的条件下，设函数的两个零点为，证明． 27．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若，且，求证：； (3)若方程有两个不同的实根，，且满足，求实数的取值范围. 28．（26-27高三上·湖北黄冈·开学考试）设函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个不同零点，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 29．已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若且，，证明：. 30．已知函数，记. (1)讨论函数的单调性； (2)已知，且，求证：. ◆题型7 导数新定义 31．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作．类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数．若，则（    ） A．100 B．5049 C．5050 D．5052 32．（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为 “局部反比例对称函数”. 若的导函数是定义在区间上的 “局部反比例对称函数”，则实数的最大值与最小值之差为（     ） A． B． C． D． 33．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）分离函数的思想在现代数学的不少分支如凸分析、拓扑学等中有很多体现，在应用数学如信号理论、数据聚类与分类分析等分支中也有不少运用．在初等数学中，若有三个互不相同的函数，当在某个区间上恒有成立时，可以作为和在该区间上的分离函数． (1)试判断是否可以作为和在区间上的分离函数； (2)对于函数和，找一个二次函数可以作为这两个函数在区间上的分离函数，找一个即可并给出其解析式． (3)若存在实数和，使得函数可以作为函数和函数在区间上的分离函数，且满足，求的最大值并说明其几何意义． 34．（26-27高三上·安徽安庆·开学考试）对于函数，若存在，使得，则称为的不动点；若存在，使得，则称为的稳定点． (1)已知，求的不动点． (2)已知：若函数在定义域内严格单调递增，则“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充要条件．已知，试判断是否存在稳定点，若存在，求出稳定点个数；若不存在，请说明理由． 35．（2026·江苏·模拟预测）对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． (1)若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； (2)设，，，求证：是的“从属函数”； (3)设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·北京东城·阶段检测）已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选）（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数，若关于的不等式至少有两个整数解，则实数的取值范围为____. 4．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知，，，若存在，使得，则m的最小值为_______． 5．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若方程在上有解，则实数的取值范围是_____． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数 ，若 在 上恒成立，求的取值范围. 7．（2027·湖南衡阳·一模）设函数，对任意，记． (1)求集合； (2)若，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，求实数的最大值，使得不等式恒成立，其中为自然对数的底数． 8．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若，，求实数a的取值范围； (3)若当时，，求实数a的取值范围． 9．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数，，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个不同零点，，且满足，求证：． 10．（25-26高二下·北京东城·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个零点，求的取值范围. 11．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若且函数有两个不同的零点，，且，证明：． 12．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：方程，有唯一解； (3)若函数和(其中)的零点分别为、，求的最大值． 13．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）设，，函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若方程有三个实数解，求实数的取值范围． 14．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，，． (1)若函数的导函数为，当时，试讨论的单调性； (2)当时，，求实数m的取值范围； (3)关于x的方程的两根，满足，且，求的取值范围． 15．已知函数.若函数有两个零点. (1)求的取值范围； (2)求证：. 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，证明：. 17．（26-27高三上·山西长治·开学考试）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)当，，求的取值范围． 18．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恰有两个零点，（其中）， （ⅰ）求实数的取值范围，并证明； （ⅱ）求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $