专题4.5.3 函数模型的应用（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题4.5.3 函数模型的应用（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 2 【题型2 指数函数模型的应用】 3 【题型3 对数函数模型的应用】 6 【题型4 利用给定函数模型解决实际问题】 8 【题型5 建立拟合函数模型解决实际问题】 12 考点1 函数模型的应用 知识点1 函数模型的应用 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢? 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型1 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【例1】（2026高一·全国·专题练习）下列函数中，在上增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】运用各个函数的增长规律特点判定. 【解答过程】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】按照基本函数的性质即可求解. 【解答过程】依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数，故随着x的增长，增长速度最快. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【解答过程】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·江苏苏州·期末）若三个变量、、，随着变量的变化情况如下表. 2 则关于分别呈函数模型：、、变化的变量依次是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【解题思路】根据表中数据，结合函数的变化率，即可求解. 【解答过程】解：由表可知，随着的增大而迅速的增大，是指数函数型的变化， 随着的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型的变化， 相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化. 故选：B. 【题型2 指数函数模型的应用】 【例2】（25-26高一上·河北承德·期中）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 【答案】D 【解题思路】先将，代入题设求出，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式即可求解. 【解答过程】由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 【变式2-1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【解答过程】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某种生物的数量与时间（单位：天）之间的关系为：，其中表示该生物的初始数量，已知经过天后，种群数量变为初始数量的倍.那么要使该生物数量变为初始数量的倍，至少需要经过（）（参考数据：） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】C 【解题思路】运用代入法，结合对数与指数互化公式、换底公式、对数的运算性质进行求解即可. 【解答过程】因为经过天后，种群数量变为原来的倍， 所以有，即，得，解得，即. 设至少经过天，该生物数量变为初始数量的倍， 所以有，即，得， 即， 因为，且天数为正整数， 因此至少需要经过54天，该生物数量变为初始数量的倍. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）某水果仓储中心的水果保鲜量（单位：千克）与储存天数（单位：天，）满足指数型衰减模型（均为参数）.已知该水果仓储中心的水果储存第2天的保鲜量为640千克，储存第5天的保鲜量为80千克.若要使保鲜量维持在不少于160千克，储存天数最多不能超过天，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可得储存2天与储存5天时的保鲜量，列出方程后可依次解得参数，确定函数模型，再使函数模型的函数值大于等于，即可解出最大天数，即可判断. 【解答过程】由题可知，①，②， 将①式除以②式，可得，解得，代入①式， 得，解得， 故. 由，得，解得，故. 综上，. 故选：D. 【题型3 对数函数模型的应用】 【例3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月12日我国汶川发生里氏级地震，它所释放出来的能量大约是2025年12月4日15时44分新疆克州阿合奇县发生里氏级地震所释放能量的多少倍（   ） A． B． C．1000 D．3165 【答案】C 【解题思路】分别设里氏级地震和里氏级地震所释放出来的能量为和，通过给定的式子求出和，再求比值可得答案. 【解答过程】设里氏级地震所释放出来的能量为，里氏级地震所释放出来的能量为， 则，所以， ，所以， 所以． 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 【答案】D 【解题思路】结合题意，借助对数运算法则计算即可得. 【解答过程】由题意可得， 即有， 即. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·广东·阶段检测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？ (2)现有甲､乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？ 【答案】(1)个单位 (2)20秒 【解题思路】（1）利用指对互化解方程即可； （2）求出、时的速度，再根据距离差即可求出. 【解答过程】（1）当 时，，即， 则，得个单位； （2）当时，. 当时，， 即乙鲑鱼的速度为 ，甲鲑鱼的速度为 ，速度差为 ， 因为两鱼相差10米，所以乙鲑鱼将在20秒后追上甲鲑鱼. 【变式3-3】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为火箭发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比. (1)已知某型号单级火箭发动机的喷射速度为2千米/秒，当该型号单级火箭的质量比为4时，求该单级火箭的最大理想速度； (2)在（1）的条件下，该型号单级火箭经过材料更新和技术改进后，其火箭发动机的喷射速度变为原来的2倍，若使该型号火箭的最大理想速度增加2千米/秒，求改进后该火箭的质量比； (3)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10，如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.（参考数据：，无理数） 【答案】(1)千米/秒 (2) (3)不能超过，理由见解析 【解题思路】（1）用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）运用对数的运算性质，结合（1）的结论进行求解即可； （3）利用对数的运算性质，结合对数函数的单调性进行判断证明即可. 【解答过程】（1）因为某型号单级火箭发动机的喷射速度为2千米/秒，该型号单级火箭的质量比为4， 所以该单级火箭的最大理想速度千米/秒； （2）在（1）的条件下，该型号单级火箭经过材料更新和技术改进后， 其火箭发动机的喷射速度变为原来的2倍，该型号火箭的最大理想速度增加2千米/秒， 所以 ， 因此改进后该火箭的质量比为； （3）不能超过，理由如下： 设该单级火箭的最大理想速度为千米/秒，该单级火箭的质量比为， 该单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒， 所以该单级火箭的最大理想速度， 由题意可知，所以， 因为第一宇宙速度7.9千米/秒， 所以有，所以，即， 所以该单级火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒. 【题型4 利用给定函数模型解决实际问题】 【例4】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过（　　）分钟才能达到排放标准．（） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【解题思路】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可． 【解答过程】由题意得，，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为， ， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 从现在起至少经过分钟才能达到排放标准． 故选：C． 【变式4-1】（25-26高一上·安徽·阶段检测）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不含0.3）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【解题思路】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【解答过程】由于，所以， 依题意，则， 则,由， 两边同时取对数可得，，， ， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为15次． 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一条经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． (1)求这个抛物线的解析式； (2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由； (3)某运动员按（1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？ 【答案】(1) (2)会，理由见解析 (3)米 【解题思路】（1）设出抛物线的方程，再由抛物线经过的点即可计算作答. （2）利用（1）的结论求出运动员在空中调整好入水姿势时距离水面的高度即可判断作答. （3）设调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m米，利用(1)的结论及给定条件列出不等式，解不等式即可作答. 【解答过程】（1）依题意，设抛物线方程为，而抛物线必过，两点， 则有，解得，即有， 所以这个抛物线的解析式为； （2）会，理由如下： 当运动员在空中距池边的水平距离为米，即时，， 所以此时运动员距水面距离为， 所以此次跳水会出现失误. （3）设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m(m>2)， 则有，解得， 所以运动员此时距池边的水平距离最大为米. 【变式4-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）基本再生数与世代间隔T是流行病学衡量某疾病传染性强弱的基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．一地区去年冬季突发某传染性肺炎疫情，经统计可用指数模型： 描述疫情初始阶段累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，其中表示时累计感染病例数．指数增长率r与和T近似满足 ，已知 ．（参考数值:） (1)根据上述数据，请估计在疫情初始阶段，累计病例数增加1倍需要的时间大约是多少天?（结果保留整数） (2)疫情之后，人们防护意识增强，日常医用防护用品需求增大，某服装厂决定进入该领域，现有A、B两种医用产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，纵坐标表示利润，单位均为万元）．该厂拟投入万元用于 A、B两种产品的生产，问：怎样分配这万元资金，才能使该厂利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)2 (2)对产品投资4万元，对产品投资万元时利润最大； 【解题思路】（1）利用已知函数模型结合已知条件，运用指数、对数运算法则计算求解； （2）先分析利润、投资比例系数，列出利润函数，再根据二次函数的性质求解． 【解答过程】（1），， ， 累计病例数增加1倍，即， ，即，， 大约需要2天． （2）设对产品投资万元，则对产品投资万元，总利润为万元， 由图①可知，产品的利润与投资成正比，当投资为2万元时，利润为1万元， 比例系数为，故产品的利润为， 由图②可知，产品的利润与投资的算术平方根成正比，当投资为4万元时，利润为4万元， 比例系数为，即产品的利润为， 总利润函数为：， 令，则，原函数转化为：， 函数图象开口向下，最大值在顶点处，顶点横坐标为， ，即对产品投资4万元，对产品投资万元， 最大利润为万元． 【题型5 建立拟合函数模型解决实际问题】 【例5】（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③. (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)6 【解题思路】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得； （2）由，利用对数的运算可得，进而可得. 【解答过程】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将代入，得，解得， 所以函数为. （2）令，则， 则，即， 则平台成立的第6年就能实现该目标. 【变式5-1】（25-26高一上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，， (2)该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 【解题思路】（1）根据函数的单调性排除②，再利用待定系数法即得； （2）分和两种情况，结合二次函数以及函数单调性分别求耗电量的最小值，即可得结果. 【解答过程】（1）对于②：因为在定义域内单调递减，不符合题意； 故选①：， 由题意可得：，解得， 所以，. （2）当时，设该车在国道的耗电量为， 则 当且仅当时，等号成立， 当时，设该车在高速的耗电量为， 则， 可知在内单调递增，则； 综上所述：该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 【变式5-2】（2025高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【答案】(1)最符合实际的函数模型是模型①，理由见解析 (2)； (3)第16个月. 【解题思路】（1）由给定数据表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出，即可求得解析式. （3）将（2）中模型函数，由，求出值即可. 【解答过程】（1）最符合实际的函数模型是模型①，理由： 由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. （3）当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 【变式5-3】（25-26高一上·广东东莞·期中）东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示： 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9的日销售收入为552元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值. 【答案】(1) (2)比较合适， (3)元 【解题思路】（1）根据日销售收入等于日销售数量与日销售单位的乘积进行求解即可； （2）根据所给函数的单调性与的单调性进行判断选择即可； （3）根据基本不等式、函数单调性的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【解答过程】（1）因为第9的日销售收入为552元， 所以有； （2）由函数、、 的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有递增的情况， 而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减， 由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适， 把代入，得， 显然也满足函数的解析式； （3）由题意可知：， 当时，， 当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时； 当时，， 显然此时函数单调递减，此时， 综上所述：函数的最小值元. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5.3 函数模型的应用（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 2 【题型2 指数函数模型的应用】 2 【题型3 对数函数模型的应用】 3 【题型4 利用给定函数模型解决实际问题】 5 【题型5 建立拟合函数模型解决实际问题】 6 考点1 函数模型的应用 知识点1 函数模型的应用 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢? 1．指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 3．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型1 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【例1】（2026高一·全国·专题练习）下列函数中，在上增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·江苏苏州·期末）若三个变量、、，随着变量的变化情况如下表. 2 则关于分别呈函数模型：、、变化的变量依次是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【题型2 指数函数模型的应用】 【例2】（25-26高一上·河北承德·期中）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 【变式2-1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某种生物的数量与时间（单位：天）之间的关系为：，其中表示该生物的初始数量，已知经过天后，种群数量变为初始数量的倍.那么要使该生物数量变为初始数量的倍，至少需要经过（）（参考数据：） A．天 B．天 C．天 D．天 【变式2-3】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）某水果仓储中心的水果保鲜量（单位：千克）与储存天数（单位：天，）满足指数型衰减模型（均为参数）.已知该水果仓储中心的水果储存第2天的保鲜量为640千克，储存第5天的保鲜量为80千克.若要使保鲜量维持在不少于160千克，储存天数最多不能超过天，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 对数函数模型的应用】 【例3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月12日我国汶川发生里氏级地震，它所释放出来的能量大约是2025年12月4日15时44分新疆克州阿合奇县发生里氏级地震所释放能量的多少倍（   ） A． B． C．1000 D．3165 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 【变式3-2】（25-26高一上·广东·阶段检测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？ (2)现有甲､乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？ 【变式3-3】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为火箭发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比. (1)已知某型号单级火箭发动机的喷射速度为2千米/秒，当该型号单级火箭的质量比为4时，求该单级火箭的最大理想速度； (2)在（1）的条件下，该型号单级火箭经过材料更新和技术改进后，其火箭发动机的喷射速度变为原来的2倍，若使该型号火箭的最大理想速度增加2千米/秒，求改进后该火箭的质量比； (3)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10，如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.（参考数据：，无理数） 【题型4 利用给定函数模型解决实际问题】 【例4】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过（　　）分钟才能达到排放标准．（） A．17 B．18 C．19 D．20 【变式4-1】（25-26高一上·安徽·阶段检测）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不含0.3）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式4-2】（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一条经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． (1)求这个抛物线的解析式； (2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由； (3)某运动员按（1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？ 【变式4-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）基本再生数与世代间隔T是流行病学衡量某疾病传染性强弱的基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．一地区去年冬季突发某传染性肺炎疫情，经统计可用指数模型： 描述疫情初始阶段累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，其中表示时累计感染病例数．指数增长率r与和T近似满足 ，已知 ．（参考数值:） (1)根据上述数据，请估计在疫情初始阶段，累计病例数增加1倍需要的时间大约是多少天?（结果保留整数） (2)疫情之后，人们防护意识增强，日常医用防护用品需求增大，某服装厂决定进入该领域，现有A、B两种医用产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，纵坐标表示利润，单位均为万元）．该厂拟投入万元用于 A、B两种产品的生产，问：怎样分配这万元资金，才能使该厂利润最大?最大利润是多少? 【题型5 建立拟合函数模型解决实际问题】 【例5】（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③. (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：，，） 【变式5-1】（25-26高一上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【变式5-2】（2025高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【变式5-3】（25-26高一上·广东东莞·期中）东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示： 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9的日销售收入为552元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型： ①；②；③；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $