4.5.3函数模型的应用（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数模型的应用核心知识点，系统梳理一次、二次、指数、对数、幂函数等常见模型及分段、对勾函数综合模型，构建从模型概念到实际问题分析的学习支架。 资料以真实情境问题（如猪肉价格波动、手机电量衰减）为载体，通过典例与变式分层训练，引导学生用数学眼光抽象模型、用数学思维分析问题，培养模型观念与应用意识。课中助力教师高效授课，课后便于学生巩固提升，弥补知识盲点。

第07讲 4.5.3函数模型的应用 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点一：常见函数模型 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 第三部分 题型精讲 题型01指数、对数、幂函数模型的增长差异 【典例1】（24-25高一上·全国·周测）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数、幂函数、对数函数及一次函数的性质即可判断. 【详解】根据题意，四个函数分别对应指数函数、对数函数、幂函数和一次函数，且都是增函数， 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快． 故选：A． 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）当x充分大时，下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断. 【详解】为指数函数，为二次函数，是对数函数， 是一次函数， 因为当足够大时，指数函数增长速度最快. 故选：A 【变式1】图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（   ） A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快 B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快 C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢 D．以上均错误 【答案】B 【详解】由图易知C错误；函数的图象增长速度越来越快，的图象增长速度一直不变，均匀增长，故A错误，B正确． 【变式2】（24-25高一上·陕西汉中·阶段检测）当x充分大时，下列函数中，增长速度最慢的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数，对数函数，幂函数，一次函数的增长差异，对数函数增长速度最慢， 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当底数大于1，指数函数呈爆炸增长． 【详解】由四个选项可知，四个函数都在定义域内单调递增， 而充分大时，指数函数呈爆炸式增长． 故选：A. 题型02根据实际问题增长率选择合适的模型 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生，采取宏观调控，对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价（单位：元/斤）与时间x（单位：月）的数据如下： x 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：；；，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为（　　） A．28元/斤 B．25元/斤 C．23元/斤 D．21元/斤 【答案】A 【分析】根据函数的单调性进行选择，并由此进行估计. 【详解】第二组数据近似为，第四组数据近似为， 根据四组数据， 可得的图象先增后减，而和都是单调函数， 故不符合要求，所以选. 由第二组数据和第四组数据， 可得的图象关于直线对称，故时，. 故选：A 【典例2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据表中数据，得到西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数判断. 【详解】解：根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是， 故选：B 【变式1】（24-25高一上·河南新乡·阶段检测）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不同函数模型的增长速度可知指数函数符合题意. 【详解】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快， 即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的数据变化情况，逐项判断得解. 【详解】观察表中数据，知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快， 而选项A，B中的函数增长速度越来越慢，AB不正确； 对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18，误差偏大，C最佳. 故选：C 【变式3】（2024高二下·黑龙江·学业考试）变量随变量变化的数据如下表： 1 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 现有三种函数模型：①，②，③最符合上表变化规律的函数模型序号是__________. 【答案】① 【分析】观察表中数据分别判断三个模型的规律可得结论. 【详解】根据表格数据可知最符合变量随变量变化规律. 故答案为：① 题型03利用二次函数模型解决实际问题 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）某制药厂研制出一种新型药物，根据市场调研，药品利润（万元）与投放市场后其广告投入（万元）满足关系式：，已知去年投入广告费用为2万元，药品利润为12万元，若今年的广告投入相较于去年增加3万元，则今年的药品利润预计相较于去年将会增加（    ） A．2万元 B．3万元 C．5万元 D．7万元 【答案】B 【分析】根据已知求函数解析式中的参数，再将求函数值，即可得答案. 【详解】当时，，解得，则， 今年的广告投入为，则今年的药品利润（万元）， 所以今年的药品利润预计相较于去年将会增加（万元）． 故选：B 【典例2】（25-26高一上·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为730000元 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. 【详解】（1）由， 得， 解得或，因为，所以； （2）生产该产品获得的利润为，． 令，则， 所以当时，利润取得最大值，最大值为730000， 故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元． 【变式1】（24-25高一上·北京·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】B 【分析】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为，由题意得到与的函数关系，借助二次函数即可求解. 【详解】设每箱苹果的售价为，每天获得的利润为， 由题意，则有， 因为，所以当时，取到最大值为. 故选：B 【变式2】（25-26高一·全国·寒假作业）某商店按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件______元，最大利润为______元． 【答案】 190 60500 【分析】设定销售价为变量，建立利润的二次函数模型，利用二次函数的性质求得正确答案. 【详解】设销售价为每件元，利润为元. 销售量为件，每件利润为元. 则. 由二次函数性质，当元时，最大. 将代入，得元. 故答案为：； 【变式3】（24-25高一上·安徽·期中）某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用年后所需要的各种维护费用总计为万元，2024年为第一年 (1)写出该套医疗设备的利润函数的表达式，并求的最大值； (2)第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？ 【答案】(1)，最大值56 (2)第6后年平均利润最大 【分析】（1）利润为收入减去维护费用和购入成本，列出解析式，根据二次函数的性质可计算最大值； （2）年平均利润为总利润比上年数，写出表达式，根据基本不等式计算可求出结果. 【详解】（1）， 因为，所以当时，取最大值56. （2）年平均利润为 ， 当且仅当，即时取等号， 故第6后年平均利润最大. 题型04分段函数模型的应用 【典例1】（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程即可. 【详解】因为茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式， 且喝茶的最佳口感水温大约是， 当时，由可得，合乎题意； 当时，由，解得，舍去. 综上所述，. 因此，需要等待的时间为. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·吉林·阶段检测）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【分析】（1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； 【详解】（1）由题意可得， ，所以 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【变式1】（24-25高一上·江苏淮安·期中）某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，该地卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为55万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 【答案】(1) (2)90万件 【分析】（1）根据已知条件求得年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）利用二次函数的性质和基本不等式来求得最值. 【详解】（1）当时， ， 当时，． 故. （2）时，， ∴当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当，即时取到等号， 由，得时，取得最大值. 答：年产量为90万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大. 【变式2】（24-25高一上·广东·期中）几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. (1)求实数的值； (2)预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入函数值即可求出参数值； （2）列出利润函数，分段列出不等式，求得解集即为所求范围. 【详解】（1）因为当时，， 所以，解得. （2）设公司所获得的利润为（单位：万元），所以 当时，，即， 解得，， 当时，， 综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元. 【变式3】（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 【答案】(1) (2)游客为30万人时利润最大，最大为205万． 【分析】（1）根据计算可得； （2）分别求出函数在各段的范围（最大值），即可得解. 【详解】（1）依题意， 又， 所以， 即； （2）当时，单调递增，且当时， 所以， 当时，， 则在上单调递增，所以， 当时，， 当且仅当即时等号成立，故， ， 综上，游客为万人时利润最大，最大为万． 题型05指数模型的应用 【典例1】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量（单位：只）与监测时间（单位：年，）近似满足函数关系.已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为（    ） A．2.5年 B．3年 C．3.5年 D．4年 【答案】B 【详解】由题意知，所以，解得， 所以.令，解得. 【典例2】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）有人喜欢喝茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是，环境温度是，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好的茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是．则的值为______；经验表明，当室温为时，该种茶刚泡好的茶水温度，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置______分钟才能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1；参考值：，） 【答案】 / / 【分析】先根据指对数转化求出，再根据所得解析式可求茶水需放置的时间. 【详解】由题意得，代入可得， 整理得，取对数得． 由题意得 令，可得， 解得分钟． 【变式1】（25-26高一上·山西吕梁·期末）汾酒产自山西省汾阳市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存年的此种品牌酒整箱的收藏价值为元，则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】根据求出的值，再求即可. 【详解】由题意可得，即， 则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为元. 故选： 【变式2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 【变式3】（25-26高一上·广东·阶段检测）算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时间复杂度随输入规模呈指数型增长.记最终所需算力为，由硬件导致的规模系数为（可视为常数），则有.当输入规模增加1时，所需算力变为原来的4倍，则________. 【答案】2 【分析】由题意列式，并结合指数的运算性质计算即可. 【详解】由题意可得， 因为， 所以，解得. 故答案为：2. 题型06对数模型的应用 【典例1】（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 【答案】D 【详解】若，则，则， 若，则，则， 则，得， 故30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的100倍. 【典例2】（25-26高一上·广东·阶段检测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？ (2)现有甲､乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？ 【答案】(1)个单位 (2)20秒 【分析】（1）利用指对互化解方程即可； （2）求出、时的速度，再根据距离差即可求出. 【详解】（1）当时，，即， 则，得个单位； （2）当时，. 当时，， 即乙鲑鱼的速度为，甲鲑鱼的速度为，速度差为， 因为两鱼相差10米，所以乙鲑鱼将在20秒后追上甲鲑鱼. 【变式1】（25-26高三上·辽宁·期末）5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离 （单位：km）与5G信号 （单位：W）的关系为 其中 为发射器发出的5G初始信号 为衰减系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50 km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的 则传输距离为（    ） A．100 km B．150 km C．200 km D．250 km 【答案】C 【分析】将数据代入所给的关系式，即可求解. 【详解】由题意可知解得所以 将代入得. 故选：C 【变式2】（25-26高一上·河北保定·期中）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．假设在某次火箭发射任务中，在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：kg）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式为，则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A．134 B．269 C．539 D．540 【答案】B 【分析】将函数值代入求解即可. 【详解】由题意可得，则． 故选：B. 【变式3】（26-27高三上·北京房山·开学考试）图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 【答案】 【分析】应用新定义结合对数运算律计算求解. 【详解】由，可得， 即，解得. 题型07幂函数模型的应用 【典例1】（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 【典例2】一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本（    ） A．18% B．20% C．24% D．36% 【答案】B 【分析】设平均每年降低成本x，由题意可列方程(1－x)2＝0.64，解方程可得答案 【详解】设平均每年降低成本x， 解得或（舍去）， 故选：B 【变式1】2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【详解】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 【变式2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 【变式3】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林，假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年． （1）求森林面积的年增长率； （2）为使森林面积达到亩至少需要植树造林多少年？（结果精确到1年） （参考数据：，） 【答案】（1）；（2）至少需要植树造林年． 【分析】（1）本题可设年增长率为，根据题意得出，通过计算即可得出结果； （2）本题可设至少需要植树年，然后列出方程，通过计算即可得出结果. 【详解】（1）设年增长率为， 则，，，. （2）设至少需要植树年， 则，， 即，，， 故至少需要植树造林年. 题型08利用给定函数模型解决实际问题 【典例1】某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本（单位：元/）与上市时间（单位：10天）的数据如下表： 上市时间 5 11 25 种植成本 15 10.8 15 (1)根据上表数据，从下列函数：中（其中），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系，并简要说明理由； (2)利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本. 【答案】(1)，理由为： 由表格数据知，种植成本随着上市时间先减后增，显然只有合适； (2)上市时间为150天时，种植成本最低为10元/. 【分析】（1）根据表格数据的变化趋势确定函数模型； （2）根据数据有，则，再把数据代入求参数，应用二次函数性质求结果. 【详解】（1）略 （2）由题设是的对称轴，则， 所以，且，可得， 所以， 所以上市时间为150天时，种植成本最低为10元/. 【典例2】（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【答案】(1)选择更合适 (2)2031年 【分析】（1）根据数据量随年份增长呈爆炸增长判断即可； （2）将2009年和2020年的数据量代入可得，再设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算求解即可. 【详解】（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适. （2）依题意，，故，即，代入可得，故. 设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则， 即，解得，此时为2031年. 即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍. 【变式1】某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 【答案】(1) ，在区间上单调递减， 与表中数据矛盾，该模型不合适, ，则函数在处无意义, 与表中数据矛盾，该模型不合适, 故选择是最合适的模型. (2)；千件 【分析】（1）可利用特殊点与单调性，排除不合适的函数模型； （2）可将表中数据代入（1）中所选函数模型，求出函数，则每件的广告费用为,继而求其最值即可. 【详解】（1）略 （2）将表中的数据代入可得， 解得 所以； 设每千件的广告费用为， 则 ， 所以当时，最小值为， 故销售量增加达到千件时，才能使每千件的广告投入费用最少. 【变式2】某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加．我们收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡产量如下： 月份（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量（W） 1.0207 2.0000 2.5782 2.9974 3.3139 3.5789 3.8041 4.0000 4.1736 4.3294 产量W（万只）和月份m之间可能存在以下四种函数关系：①；②；③；④．（各式中均有，）． （Ⅰ）请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由； （Ⅱ）请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好． 【答案】（1）④；（2）见解析； 【解析】（1）根据数据判断出函数为增函数，但模型④是减函数，所以判断出该函数模型不符合题意；（2）分别列方程组代入求解即可，然后分别计算，再与实际比较选择相差最小的. 【详解】（1）去掉④，函数模型④是减函数，根据所给数据可推断函数为增函数，所以模型④不符合题意； （2）由题意，点坐标，①，得，所以，所以， ②，得 所以，所以， ③，得，所以，， 因为与实际作差比较发现，选①与实际差距最大，选③与实际差距最小，所以如果选①③或者②③时，③模型更好；如果选①②时，②模型更好. 【变式3】（25-26高一上·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 【答案】(1)选择模型③，理由： 是一次函数，增长速度恒定，与图象的递增趋势越来越缓不符； 是指数函数，增长速度会越来越快，与图象的增长趋势不符； 是对数函数，增长速度越来越缓，与图象的增长趋势一致，故选择模型③， ； (2)分钟. 【分析】（1）根据图象增长趋势排除一次函数和指数函数，选择对数函数模型，再代入已知点求解参数并验证边界条件，得到函数解析式； （2）根据得分不少于分的要求列出不等式，利用对数函数的单调性求解不等式，得到锻炼时间的最小值. 【详解】（1）由题可知，图象经过点和，代入解析式得，解得， 所以函数解析式为； （2）由题意可得，即， 因为是增函数，所以， 所以，解得， 即小张每天课外锻炼时间不少于分钟. 题型09建立拟合函数模型解决实际问题 【典例1】（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 【答案】(1)选择模型③，，100千人． (2)4． 【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值. 【详解】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适， 由表格中的数据可得，解得 所以，函数模型的解析式为， 令，预测2024年年末的会员人数为100千人． （2）由题意可得， 令，则， 令，，则函数的定义域上单调递增， 又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，， 即．所以的最小值为4． 【典例2】（2025高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【答案】(1)最符合实际的函数模型是模型①，理由： 由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. (2)； (3)第16个月. 【分析】（1）由给定数据表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可. （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出，即可求得解析式. （3）将（2）中模型函数，由，求出值即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. （3）当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 【变式1】（25-26高一上·广东清远·期末）据调查，某次全运会特许商品专卖店销售的吉祥物挂饰的情况如下：在过去的一个月内（30天），第天每件挂饰的销售价格为（单位：元），满足为常数），且日销售量（单位：件）与第天的关系部分数据如下表所示： 5 10 15 25 30 960 1110 1260 960 810 已知第16天的销售价为49元/件. (1)求的值，并根据表格数据画出的散点图；（散点图是一种在平面直角坐标系中通过点的分布来展示两个变量之间关系的统计图表） (2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请根据上表数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（件）与第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用（2）中的结论，求该吉祥物挂饰的日销售收入（元）在过去一个月内的最小值. 【答案】(1)； 散点图如下： (2) (3) 【分析】（1）代入求，再画散点图即可； （2）根据散点图判断，再利用待定系数法求解析式即可； （3）由，再分、两种情况，结合基本不等式及函数单调性求最值即可． 【详解】（1）解：已知第16天的销售价为49元/件， ，解得， 散点图如下： （2）由散点图可知，整体先增后减，故选②， ，解得， 则； （3），， 当时， 则 ， 当且仅当，即，（）时等号成立； 当时，， 则 ， 因为在上单调递减，在上也单调递减，所以在上单调递减。 所以当时，取得最小值，； ， 日销售收入在过去一个月内的最小值为元． 【变式2】（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③. (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得； （2）由，利用对数的运算可得，进而可得. 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将代入，得，解得， 所以函数为. （2）令，则， 则，即， 则平台成立的第6年就能实现该目标. 【变式3】（2026高一·上海·专题练习）某科技企业通过加大科技研发投资，提高了企业的技术竞争力，也提高了收入．下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位：亿元)，2017年记为1，后面的年份依次类推． x/年 1 2 3 4 5 6 y/亿元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30 (1)给出以下两个函数模型：①；②．试问：用哪个模型更适合模拟该企业的收入? (2)该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据：） 【答案】(1)用模型②更适合模拟该企业的收入； (2)大约在2025年该企业的收入超过100亿元. 【分析】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象，并在此坐标系内描出表格提供数据的对应点，观察即可； （2）由题设，求解即可得. 【详解】（1）在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象， 并在此坐标系内描出表格提供的数据对应的点如图所示． 观察图象知，这些点基本上都落在函数的图象上或附近， 所以用模型②更适合模拟该企业的收入； （2）当时，，因此=≈， 而，则，所以大约在2025年该企业的收入超过100亿元. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 2．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】P与t的函数关系式为． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 4．（25-26高一上·安徽合肥·期末）Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．21h B．36h C．35h D．32h 【答案】B 【分析】根据题意可确定，继而将代入公式，即可求得答案. 【详解】根据题意，，当时，，代入公式，得， 所以当时，（h）． 故选：B. 5．（25-26高一上·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【分析】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案. 【详解】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 故选：D 6．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好，若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】由， 因为经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15， 所以. 故选：D 7．（多选）（2026高二·全国·专题练习）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（    ） A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 【答案】ABD 【分析】根据图中的信息分析解决实际问题情况判断各个选项. 【详解】对于A，从题图的持续期可以得出，服用药物后10分钟到5.5小时之间，血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，A正确． 对于B，服药1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次服药1小时后，体内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药，B正确． 对于C，服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首次服药4小时后，即第2次服药1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，C错误． 对于D，第一次服药10分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1次服药5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计的最大值，不会超过最低中毒浓度，D正确． 故选：ABD． 8．（多选）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BD 【分析】依次判断函数是否满足条件. 【详解】函数①图象的对称轴为， 所以，超出了值域范围，A不符合题意． 函数时，， 且在上单调递增， ，即，B合题意． 函数③在上单调递减，在上单调递增，C不符合题意． 函数④为增函数，且时，， ，又， 所以，则，即，D符合题意． 故选：BD 9．（25-26高一上·广东汕头·期末）在金平区第二届高中数学建模比赛中，某参赛队围绕“基于无障碍的WIFI信号平面传播模型”，发现WIFI信号y（单位：dBm）与距离x（单位：m）的关系可拟合为对数函数模型若某两个设备分别位于距离发射源2m和6m的位置，则这两个位置的信号差的值为___________ 【答案】8.6 dBm 【分析】根据给定的函数模型，结合对数运算即可得解. 【详解】依题意，这两个位置的信号差的值为 （dBm）. 故答案为：8.6 dBm 10．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意可得当时，， 所以. 故答案为：. B能力提升 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间. （参考数据：，） 【答案】(1)选模型②， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，所以选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为， 所以当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 2．（25-26高一上·河南濮阳·期末）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米．容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元． (1)写出总造价关于沼气池的长的函数关系式； (2)请问设计沼气池的长为多少时，能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】(1) (2)长为4时，最低总造价是9240元 【分析】（1）依题意建立起关于的函数关系式； （2）利用基本不等式可得答案. 【详解】（1），由题意得：沼气池的宽为， 总造价：， . （2）因为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. 万元) 4 9 16 25 万元) 28 33 40 49 万元) 30 42 54 66 (1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由） (2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【答案】(1)选①作为，选③作为； (2)， (3)甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元 【分析】（1）根据表格数据判断函数类型即可； （2）直接代入前两个值求解表达式系数即可； （3）设乙产品的研发投入为x万元，列出总利润和x的关系，利用换元法转化为二次函数即可求解． 【详解】（1）因为关于成线性关系，关于成线性关系，所以选①作为，选③作为； （2），代入得， 代入得，解得， 验证时，，符合，时，，符合； 所以. ，代入得， 代入得，解得， 验证时，，符合，时，，符合； 所以. （3）设乙产品的研发投入为万元（），则甲产品的研发投入为万元， 总利润， 当且仅当，即时取等号，则甲产品的研发投入为（万元）， 所以甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元. 4．（25-26高一上·安徽宣城·期末）随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入． (1)请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式； (2)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值． （附：年利润年收入变动成本固定成本） 【答案】(1)， (2)投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元 【分析】（1）根据利润与成本关系是利用分段函数写出表达式即可； （2）利用二次函数性质以及基本不等式计算可得利润最大化时的民宿栋数. 【详解】（1）由题意可得， 当时， 当时， 所以； （2）当时， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为70， 当时， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为130>70，所以当时，的最大值为130， 所以投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元． 5．（25-26高一上·四川德阳·期末）某企业生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知该企业的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？（利润=总收入－总成本） 【答案】(1) (2)300台，最大利润为25000元． 【详解】（1）当时，. 当时，. 故． （2）由（1）知，当时． 所以，当时，； 当时，为减函数，所以． 所以，当月产量为300台时，该企业获得利润最大，最大利润为25000元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 4.5.3函数模型的应用 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点一：常见函数模型 1、一次函数模型（，为常数） 2、反比例函数模型（） 3、二次函数模型（） 4、指数函数模型（且，） 5、对数函数模型（且，） 6、幂函数模型（，） 7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合 8、对勾函数模型： 第三部分 题型精讲 题型01指数、对数、幂函数模型的增长差异 【典例1】（24-25高一上·全国·周测）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·全国·课后作业）当x充分大时，下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（   ） A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快 B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快 C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢 D．以上均错误 【变式2】（24-25高一上·陕西汉中·阶段检测）当x充分大时，下列函数中，增长速度最慢的是（   ） A． B． C．D． 【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C．D． 题型02根据实际问题增长率选择合适的模型 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨．因此，国家为保民生，采取宏观调控，对猪肉价格进行有效的控制．通过市场调查，得到猪肉价格在8～11月的市场平均价（单位：元/斤）与时间x（单位：月）的数据如下： x 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：；；，找出你认为最适合的函数模型，并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为（　　） A．28元/斤 B．25元/斤 C．23元/斤 D．21元/斤 【典例2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段检测）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】（24-25高一上·河南新乡·阶段检测）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 3 5 7 9 11 13 21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）有一组实验数据如表： x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这些数据的最佳函数模型是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2024高二下·黑龙江·学业考试）变量随变量变化的数据如下表： 1 2 3 4 5 6 2 4 8 16 32 64 现有三种函数模型：①，②，③最符合上表变化规律的函数模型序号是__________. 题型03利用二次函数模型解决实际问题 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）某制药厂研制出一种新型药物，根据市场调研，药品利润（万元）与投放市场后其广告投入（万元）满足关系式：，已知去年投入广告费用为2万元，药品利润为12万元，若今年的广告投入相较于去年增加3万元，则今年的药品利润预计相较于去年将会增加（    ） A．2万元 B．3万元 C．5万元 D．7万元 【典例2】（25-26高一上·陕西·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． (1)要使生产该产品获得的利润为7200元，求． (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 【变式1】（24-25高一上·北京·期中）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（   ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【变式2】（25-26高一·全国·寒假作业）某商店按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件．若要获得最大利润，销售价应定为每件______元，最大利润为______元． 【变式3】（24-25高一上·安徽·期中）某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用年后所需要的各种维护费用总计为万元，2024年为第一年 (1)写出该套医疗设备的利润函数的表达式，并求的最大值； (2)第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？ 题型04分段函数模型的应用 【典例1】（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·吉林·阶段检测）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1】（24-25高一上·江苏淮安·期中）某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，该地卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为55万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 【变式2】（24-25高一上·广东·期中）几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. (1)求实数的值； (2)预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 【变式3】（24-25高一上·福建泉州·阶段检测）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 题型05指数模型的应用 【典例1】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量（单位：只）与监测时间（单位：年，）近似满足函数关系.已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为（    ） A．2.5年 B．3年 C．3.5年 D．4年 【典例2】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）有人喜欢喝茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是，环境温度是，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好的茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是．则的值为______；经验表明，当室温为时，该种茶刚泡好的茶水温度，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置______分钟才能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1；参考值：，） 【变式1】（25-26高一上·山西吕梁·期末）汾酒产自山西省汾阳市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存年的此种品牌酒整箱的收藏价值为元，则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·广东·阶段检测）算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时间复杂度随输入规模呈指数型增长.记最终所需算力为，由硬件导致的规模系数为（可视为常数），则有.当输入规模增加1时，所需算力变为原来的4倍，则________. 题型06对数模型的应用 【典例1】（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，音量的计算公式是，这里常数是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB时的声音强度I是10dB时声音强度的（    ） A．2倍 B．4倍 C．10倍 D．100倍 【典例2】（25-26高一上·广东·阶段检测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？ (2)现有甲､乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？ 【变式1】（25-26高三上·辽宁·期末）5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离 （单位：km）与5G信号 （单位：W）的关系为 其中 为发射器发出的5G初始信号 为衰减系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50 km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的 则传输距离为（    ） A．100 km B．150 km C．200 km D．250 km 【变式2】（25-26高一上·河北保定·期中）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．假设在某次火箭发射任务中，在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：kg）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式为，则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A．134 B．269 C．539 D．540 【变式3】（26-27高三上·北京房山·开学考试）图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 题型07幂函数模型的应用 【典例1】（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【典例2】一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本（    ） A．18% B．20% C．24% D．36% 【变式1】2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【变式2】异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林，假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年． （1）求森林面积的年增长率； （2）为使森林面积达到亩至少需要植树造林多少年？（结果精确到1年） （参考数据：，） 题型08利用给定函数模型解决实际问题 【典例1】某种蔬菜从1月1日起开始上市，通过市场调查，得到该蔬菜种植成本（单位：元/）与上市时间（单位：10天）的数据如下表： 上市时间 5 11 25 种植成本 15 10.8 15 (1)根据上表数据，从下列函数：中（其中），选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本与上市时间的变化关系，并简要说明理由； (2)利用你选取的函数模型，求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本. 【典例2】（23-24高一上·贵州安顺·期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示： 年份 2008 2009 2010 2011 … 2020 数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80 (1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）； (2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍? 【变式1】某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 【变式2】某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加．我们收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡产量如下： 月份（m） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产量（W） 1.0207 2.0000 2.5782 2.9974 3.3139 3.5789 3.8041 4.0000 4.1736 4.3294 产量W（万只）和月份m之间可能存在以下四种函数关系：①；②；③；④．（各式中均有，）． （Ⅰ）请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由； （Ⅱ）请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好． 【变式3】（25-26高一上·安徽安庆·期末）根据基础教育阶段要统筹课内外、校内外，积极推进中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求.树人中学学生每天能用于课外的锻炼时间约有60分钟，现制定了一个课外锻炼考核评分标准，建立了一个每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系如图所示，要求如下： （ⅰ）函数是区间上的增函数； （ⅱ）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （ⅲ）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分，每天最多得分不超过6分. 现有以下三个函数模型供选择： ①，②，③. (1)请你根据条件及图象从以上三种函数模型中选择一个合适的模型，说明理由并求出函数解析式； (2)若小张同学要求每天考核得分不少于4分，请问小张同学每天课外锻炼时间不少于多少分钟.（注：，结果保留一位小数）. 题型09建立拟合函数模型解决实际问题 【典例1】（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 【典例2】（2025高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【变式1】（25-26高一上·广东清远·期末）据调查，某次全运会特许商品专卖店销售的吉祥物挂饰的情况如下：在过去的一个月内（30天），第天每件挂饰的销售价格为（单位：元），满足为常数），且日销售量（单位：件）与第天的关系部分数据如下表所示： 5 10 15 25 30 960 1110 1260 960 810 已知第16天的销售价为49元/件. (1)求的值，并根据表格数据画出的散点图；（散点图是一种在平面直角坐标系中通过点的分布来展示两个变量之间关系的统计图表） (2)给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请根据上表数据，选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量（件）与第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)利用（2）中的结论，求该吉祥物挂饰的日销售收入（元）在过去一个月内的最小值. 【变式2】（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③. (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：，，） 【变式3】（2026高一·上海·专题练习）某科技企业通过加大科技研发投资，提高了企业的技术竞争力，也提高了收入．下列一组数据是该公司从2017年以来每年的收入(单位：亿元)，2017年记为1，后面的年份依次类推． x/年 1 2 3 4 5 6 y/亿元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30 (1)给出以下两个函数模型：①；②．试问：用哪个模型更适合模拟该企业的收入? (2)该企业大约在哪一年收入超过100亿元?(参考数据：） 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 2．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26高一上·安徽合肥·期末）Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．21h B．36h C．35h D．32h 5．（25-26高一上·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 6．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好，若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026高二·全国·专题练习）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示（服用药物时间对应0时），则下列说法中正确的有（    ） A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 8．（多选）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下： （ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间； （ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低； （ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变． 记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式： ①；②；③；④． 则满足此次联合调度要求的函数解析式有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9．（25-26高一上·广东汕头·期末）在金平区第二届高中数学建模比赛中，某参赛队围绕“基于无障碍的WIFI信号平面传播模型”，发现WIFI信号y（单位：dBm）与距离x（单位：m）的关系可拟合为对数函数模型若某两个设备分别位于距离发射源2m和6m的位置，则这两个位置的信号差的值为___________ 10．（24-25高一下·海南海口·期末）某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为________． B能力提升 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间. （参考数据：，） 2．（25-26高一上·河南濮阳·期末）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米．容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元． (1)写出总造价关于沼气池的长的函数关系式； (2)请问设计沼气池的长为多少时，能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元），乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示. 万元) 4 9 16 25 万元) 28 33 40 49 万元) 30 42 54 66 (1)根据以上表格中的数据判断：①；②；③；④，上述四个模型哪两个更适宜分别作为与关于的函数模型？（不需要说明理由） (2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 4．（25-26高一上·安徽宣城·期末）随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入． (1)请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式； (2)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值． （附：年利润年收入变动成本固定成本） 5．（25-26高一上·四川德阳·期末）某企业生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知该企业的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？（利润=总收入－总成本） 学科网（北京）股份有限公司 $