4.5.3 函数模型的应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦函数模型的应用，通过指数型（放射性元素衰减）、对数型（鲑鱼游速）函数模型及拟合函数（电动汽车耗电量）的例题解析，结合“思维建模”提炼策略，辅以针对训练与课时检测，构建从问题分析到模型应用的学习支架。 资料以实际问题为载体，引导学生用数学眼光观察现实（如咖啡冷却、体重与身高关系），通过方程求解、数据拟合培养数学思维，建立函数模型表达现实规律。习题讲评式教学结合例题变式与检测，课中助力教师系统授课，课后帮助学生巩固提升。

4.5.3　函数模型的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　能利用已知函数模型求解实际问题.能根据实际需要构建指、对数型函数模型解决实际问题. 题型(一)　指数型函数模型 [例1]　一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减. (1)求t年后,这种放射性元素的质量w的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位,参考数据:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48). 解:(1)最初的质量为500 g. 经过1年,w=500(1-10%)=500×0.9; 经过2年,w=500×0.92; 由此推知,t年后,w=500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t=250, 即0.9t=0.5,两边取以10为底的对数, 得lg 0.9t=lg 0.5,即tlg 0.9=lg 0.5, ∴t==≈7.5. 即这种放射性元素的半衰期为7.5年. |思|维|建|模| 指数型函数模型问题的求解策略 (1)对于平均增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知条件中给定的值对应求解. (2)函数y=c·akx(a,c,k为常数)是一个应用广泛的函数模型,它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用,解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法,即根据题意确定相关的系数. 　　[针对训练] 1.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃时,需要多长时间? 解:由题意知40-24=(88-24)×, 即=,解得h=10. 故原式可化简为T-24=(88-24)×, 当T=32时,代入上式,得32-24=(88-24)×,即===,∴t=30. 因此,需要30 min可降温到32 ℃. 题型(二)　对数型函数模型 [例2]　大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3,单位是m/s,θ是表示鲑鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少? (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍. 解:(1)由v=log3可知, 当θ=900时,v=log3=log39=1(m/s). 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是1 m/s. (2)由v2-v1=1,即log3-log3=1, 得=9. 所以耗氧量的单位数为原来的9倍. 　　[变式拓展] 若本例条件不变:(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 8 100个单位时,它的游速是多少? (2)求一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数. 解:(1)将θ=8 100代入函数解析式, 得v=log381=×4=2(m/s), 所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是2 m/s. (2)令v=0,得log3=0, 即=1,则θ=100, 所以一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100. 　　|思|维|建|模| 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 基本 类型 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式,然后根据实际问题求解 求解 策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义 　　[针对训练] 2.设小丁单次持续背单词所花时间y(分钟)与背出单词数x(个)之间满足函数表达式y=k·lg,其中常数k,b∈R且k,b≠0.已知小丁持续背单词50分钟背出了20个单词,100分钟背出了30个单词.问:小丁持续背200分钟约能背出多少个单词?(精确到个位) 解:由题意,得两式相除,得=, 即1-=, 解得b=40.所以k=, 即y=·lg. 当y=200时,解得x=37.5≈38(个), 所以小丁200分钟约能背出38个单词. 题型(三)　建立拟合函数解决实际问题 [例3]　随着电动汽车研发技术的日益成熟,电动汽车的普及率越来越高.某型号电动汽车在封闭路段进行测试,限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试得到,该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位: km/h)的数据如下表所示. v 0 10 30 70 M 0 1 325 3 375 9 275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型可供选择: M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1 000·+a,M(v)=300logav+b. (1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格所列数据的实际函数模型,并求出相应的函数解析式; (2)在本次测试报告中,该电动汽车的最长续航里程为400 km,若测试过程为匀速运动,请计算本次测试时的车速为何值时,该电动汽车电池所需的容量(单位:Wh)最小,并计算出该最小值. 解:(1)对于M(v)=300logav+b,当v=0时,无意义,所以不符合题意; 对于M(v)=1 000·+a,显然是个减函数,所以不符合题意. 故选M(v)=v3+bv2+cv. 根据提供的数据, 有 解得b=-2,c=150. 故当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+150v. (2)由车速为v km/h,得所用时间为 h, 所耗电量f(v)==10(v2-80v+6 000)=10(v-40)2+44 000. 要使得续航里程最长,则耗电量达到最小, 即v=40 km/h.所以当本次测试的车速为40 km/h 时,该电动汽车电池所需的容量最小,为44 000 Wh. 　　|思|维|建|模|　建立拟合函数与预测的基本步骤 　　[针对训练] 3.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表: 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式; (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78 kg的在校男生的体重是否正常? 解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图. 根据点的分布特征,可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型. 取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得用计算器算得a≈2,b≈1.02. 这样,我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x. 将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系. (2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2,所以,这个男生偏胖. [课时检测] 1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是 (　 ) A.y=2x B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x+1 解析:选D　分裂一次后由2个变成2×2=22个,分裂两次后变成4×2=23个,…,分裂x次后变成y=2x+1个. 2.有一组实验数据如下表所示: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是 (　 ) A.u=log2t B.u=2t-2 C.u= D.u=2t-2 解析:选C　可以先画出散点图,并利用散点图直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它,散点图如图所示. 由散点图可知,图象不是直线,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时,2t-2=23-2=6,排除选项B.故选C. 3.某市的房价(均价)经过6年时间从12 000元/m2增加到了48 000元/m2,则这6年间平均每年的增长率是 (　 ) A.600元 B.50% C.-1 D.+1 解析:选C　设6年间平均年增长率为x,则有12 000(1+x)6=48 000,解得x=-1. 4.设在海拔x m处的大气压强是y Pa,y与x之间的函数关系为y=cekx,其中c,k为常量.已知海平面处的大气压强为1.01×105Pa,在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105Pa,则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据:0.890.6≈0.93) (　 ) A.9.4×104 Pa B.9.4×106 Pa C.9×103 Pa D.9×105 Pa 解析:选A　依题意得1.01×105=ce0=c,0.90×105=ce1 000k,因此e1 000k=≈0.89,因此当x=600时,y=1.01×105e600k=1.01×105·(e1 000k)0.6=1.01×105×0.890.6≈9.4×104.故选A. 5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~79 mg的驾驶员即为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他至少要经过几个小时后才能驾车 (　 ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:选C　设他至少经过x个小时才能驾驶汽车,则60(1-25%)x<20,∴<,当x=3时,=>;当x=4时,=<;结合选项可知他至少经过4个小时才能驾驶汽车.故选C. 6.已知一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于 (　 ) A.lg B.lg C. D. 解析:选C　由题意得a(1-8%)t=,所以0.92t=0.5.两边取对数得lg 0.92t=lg 0.5.所以tlg 0.92=lg 0.5.故t=. 7.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　 ) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 解析:选ACD　因为Lp=20×lg随着p的增大而增大,且∈[60,90],∈[50,60],所以≥,所以p1≥p2,故A正确;由Lp=20×lg,得p=p01,因为=40,所以p3=p01=100p0,故C正确;假设p2>10p3,则p01>10p01,所以1>10,所以->20,由题中表格数据知不可能成立,故B错误;因为==1≥1,所以p1≤100p2,故D正确.故选ACD. 8.(5分)已知某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ为正常数.由放射性元素的这种性质,可以制造高精度的时钟,用原子数表示时间t为　　　　.  解析:因为N=N0e-λt,所以=e-λt,两边取以e为底的对数,所以t=-ln. 答案:t=-ln 9.(5分)某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(单位:小时),y表示繁殖后细菌总个数,则k=　　　　,经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为　　　　.  解析:由题意知,当t=时,y=2,即2=,所以k=2ln 2,所以y=e2tln 2.当t=5时,y=e2×5×ln 2=210=1 024.即经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 答案:2ln 2　1 024 10.(5分)衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为　　　　.  解析:由已知得a=a·e-50k,即e-50k==.所以a=·a=(e-50k·a=e-75k·a,所以t=75. 答案:75 11.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t=　　　　　(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477).  解析:当N=40时,t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)=-144(1-lg 2-2lg 3)≈36.72. 答案:36.72 12.(15分)某企业积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品,已知该企业日加工处理量x(吨)最少为70吨,最多为120吨,日加工处理总成本y(元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元. (1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(6分) (2)为了该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方式有两种方案. 方案一:每日进行定额财政补贴,金额为2 300元; 方案二:根据日加工处理量进行财政补贴,金额为40x元. 如果你是企业的决策者,为了获得每日最大利润,你会选择哪个方案进行补贴?为什么?(9分) 解:(1)由题意可知,每吨厨余垃圾平均加工成本为=++40,x∈[70,120], ++40≥2+40=2×40+40=120. 当且仅当=,即x=80时,每吨厨余垃圾的平均加工成本最低, 因为120>100,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态. (2)若该企业采用补贴方案一,设该企业每日获利为y1, y1=100x-+2 300 =-x2+60x-900=-(x-60)2+900. 因为x∈[70,120],所以当x=70吨时,企业获得最大利润,为850元. 若该企业采用补贴方案二,设该企业每日获利为y2, y2=100x+40x-=-x2+100x-3 200=-(x-100)2+1 800. 因为x∈[70,120],所以当x=100吨时,企业获得最大利润,为1 800元. 结论:选择方案一,当日加工处理量为70吨时,可以获得最大利润850元; 选择方案二,当日加工处理量为100吨时,获得最大利润1 800元. 所以选择方案二进行补贴. 13.(15分)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分钟)的函数关系,要求如下:(1)函数的图象接近图示; (2)每天运动时间为 0分钟时,当天得分为0分;(3)每天运动时间为30分钟时,当天得分为3分; (4)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择:①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=klog2+n(k>0). (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由;(3分) (2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式;(7分) (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分,求每天至少运动多少分钟(结果保留整数).(5分) 解:(1)第一步:分析题中每个模型的特点. 对于模型一,当k>0时,匀速增长; 对于模型二,当k>0时,先慢后快增长; 对于模型三,当k>0时,先快后慢增长. 第二步:根据题中材料和题图选择合适的函数模型. 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型, 故选y=klog2+n(k>0). (2)将(0,0),(30,3)代入解析式得到 即 解得k=3,n=-3, 即y=3log2-3. 完善模型是否合适, 当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6, 满足每天得分最高不超过6分的条件. 所以函数的解析式为 y= (3)由y=3log2-3≥4.5, log2≥2.5=log2, 得+2≥=4≈5.656, 得x≥54.84. 所以每天得分不少于4.5分,至少需要运动55分钟. 学科网（北京）股份有限公司 $