专题4.5.1 函数的零点与方程的解（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题4.5.1 函数的零点与方程的解（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求函数的零点】 2 【题型2 判断零点所在的区间】 3 【题型3 根据零点所在的区间求参数范围】 5 【题型4 求函数零点或方程根的个数】 7 【题型5 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 9 【题型6 比较零点的大小关系】 13 【题型7 求零点的和】 15 考点1 函数的零点与方程的解 知识点1 函数的零点 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 知识点2 函数零点存在定理 1．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 2．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点】 【例1】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 【答案】C 【解题思路】求出函数的零点即可得解. 【解答过程】由，得或， 所以函数的零点是和6. 故选：C. 【变式1-1】（26-27高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【解题思路】直接解方程即得函数的零点. 【解答过程】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D. 【变式1-2】（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据零点的定义即可求解. 【解答过程】令，得，则． 故选：A. 【变式1-3】（25-26高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的零点是1可得，代入令即可求得的零点. 【解答过程】由题意可得，可得； 可得， 令，因此， 解得或或； 因此函数的零点是. 故选：D. 【题型2 判断零点所在的区间】 【例2】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求出函数的定义域，讨论单调性，再结合函数零点存在定理判断零点所在区间即可. 【解答过程】因为，所以的定义域为， 因为在和上均单调递增， 由于两个函数在各自区间上均单调递增，因此它们的和也单调递增， 则函数的单调递增区间是. 当时，恒成立，无零点； 当时，，， 由函数零点存在定理知函数的零点所在的区间是. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先计算出各个区间端点的符号，再利用零点存在性定理即可求解． 【解答过程】因为当接近于1时，趋向于， ， ， ， ， 所以零点所在的大致区间为， 故选：B． 【变式2-2】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数单调性结合零点存在定理，从而得到零点所在的区间. 【解答过程】因为在定义域内单调递增，可知在定义域内单调递增， 且，， 所以的唯一零点在区间内． 故选：B. 【变式2-3】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的零点的存在性定理计算即得到结论. 【解答过程】由题意得，函数在上单调递减， 所以在上单调递减． 因为， 所以，所以的零点所在的区间为． 故选：B. 【题型3 根据零点所在的区间求参数范围】 【例3】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】易得函数在上单调递增，由求解. 【解答过程】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据函数单调性，以及零点存在定理，求出参数值即可. 【解答过程】根据基本初等函数性质可知函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 可知， 所以函数的零点在内，即. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【解答过程】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·贵州·阶段检测）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理列出不等式求解. 【解答过程】函数的定义域为， 函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，由函数的零点所在区间为， 得，则，解得， 所以a的取值范围为. 故选：A. 【题型4 求函数零点或方程根的个数】 【例4】（25-26高三上·广东·阶段检测）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】设，则解方程，进而利用数形结合求出与的交点个数，从而可得函数的零点个数. 【解答过程】设，则， 当时，，解得或（舍去），则； 当时，，解得. 画出的函数图象，如下图所示： 由图象可知，与有3个交点，与有2个交点， 所以函数的零点个数为5. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】将的零点转化为和的图象的交点，结合图象确定正确选项. 【解答过程】由，得， 在同一坐标系中，作出和的图象， 观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为. 故选：C.      【变式4-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】根据方程，解得或5，作出，和的图象，根据交点个数，即可得答案. 【解答过程】有，得，解得或5， 当时，单调递减， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 令，解得或5， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 作出，和的图象，如下图所示： 由图象可得直线与的图象有4个交点， 直线与的图象有2个交点，共有6个交点， 所以方程解的个数为6. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【解答过程】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 【题型5 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例5】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论. 【解答过程】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二下·河北·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】画出函数图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可. 【解答过程】∵， 当时， 在上为减函数，且， 当时，在上为增函数，且， 当时，在上为增函数，且， 作出函数的图象如图所示： 设， 当时，方程有1个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有3个解， 当时，方程有2个解， 当时，方程有1个解， 当时，方程有0个解， 方程等价为，解得， 要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，方程有1个解， 所以时，方程有3个解，所以，即得. 故选：A． 【变式5-2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出函数的图象，将函数的零点转化为方程的个数对应的的取值的总和个数，结合图象可得结论. 【解答过程】令，由函数有7个不同的零点可知方程有两个不相等的实数根， 对应的的取值共有7个； 易知的图象如下所示： 显然，即的图象与的图象有4个交点，对应的的取值共有4个, 因此对应的的取值共有3个，即的图象与的图象有三个交点， 由图可知，当时满足题意. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数，若方程有且仅有5个不同实根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，有，即，解得或，作出的图象，由图象即可求解 【解答过程】令，有，即， 解得或，作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或 解得或，则． 故选：C. 【题型6 比较零点的大小关系】 【例6】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用零点求法可得，结合图象交点位置可判断大小，进而可得答案. 【解答过程】由得， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出的图象，由图象知. 故选：B. 【变式6-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【解答过程】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系. 【解答过程】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 【变式6-3】（25-26高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将问题转换成，，与交点的横坐标即可判断； 【解答过程】令， 得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 【题型7 求零点的和】 【例7】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】将问题转化为与、、的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对称性计算可得. 【解答过程】由题设，，，， 所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下： 因为与关于对称，而与互相垂直， 所以，，则. 故选：A. 【变式7-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即 【解答过程】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入，可得， 所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 【变式7-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象，结合图象知：且，，再由，利用对勾函数的性质求出的范围，即可得解. 【解答过程】因为，所以， 当时，令，即，解得或， 方程的解的个数即为的图象与的图象的交点个数， 在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象， 结合两函数图象可知，方程的四个互不相等的解时，的取值范围是. 不妨设， 结合图象知：且，， 由，即，所以，又， ， 故的取值范围是. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数，函数．若有四个不同的零点，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出分段函数的图象，确定零点的位置和关系式，进而求出结果. 【解答过程】令，则，由于函数， 所以画出的图象，如图所示，结合图象可知，即. 不妨设， 则，由得，又， 所以，则， 根据对勾函数在上单调递增，可知在上单调递增， 所以. 故选：D. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5.1 函数的零点与方程的解（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求函数的零点】 2 【题型2 判断零点所在的区间】 2 【题型3 根据零点所在的区间求参数范围】 3 【题型4 求函数零点或方程根的个数】 3 【题型5 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 4 【题型6 比较零点的大小关系】 4 【题型7 求零点的和】 5 考点1 函数的零点与方程的解 知识点1 函数的零点 1．函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xa，当a>0时，仅有一个零点0；当a≤0时，没有零点. 知识点2 函数零点存在定理 1．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 2．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【题型1 求函数的零点】 【例1】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 【变式1-1】（26-27高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【变式1-2】（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【题型2 判断零点所在的区间】 【例2】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【题型3 根据零点所在的区间求参数范围】 【例3】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式3-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·贵州·阶段检测）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 求函数零点或方程根的个数】 【例4】（25-26高三上·广东·阶段检测）函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】（25-26高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】（25-26高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型5 根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】 【例5】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·河北·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数，若方程有且仅有5个不同实根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 比较零点的大小关系】 【例6】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型7 求零点的和】 【例7】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式7-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【变式7-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数，函数．若有四个不同的零点，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $