第4章 4.5 4.5.1 函数的零点与方程的解-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

4．5　函数的应用(二)

4．5.1　函数的零点与方程的解

 [情境引入]

(1)观察下列一元二次方程与对应的二次函数：

①方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3.

②方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1.

③方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.

结合下面的表格，完成填空

(2)结合问题1，你认为方程f(x)＝0的根与对应函数y＝f(x)的图象有什么关系？

提示：方程f(x)＝0的根与函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等．

[知识梳理]

[知识点一]　函数的零点　

1．(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的　实数x　.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴交点、方程实数解的关系：

2．本质：方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．

3．应用：利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系，实现三种问题的相互转化．

1.函数的零点是点吗？

提示：不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．

[知识点二]　函数零点存在定理　

1．概念：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条　连续不断　的曲线．且有　f(a)·f(b)<0　.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得　f(c)＝0　，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

2．本质：利用函数的性质判断零点的存在性．

3．应用：判断零点的存在性、求参数的范围等．

2.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？

提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数．

3．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0?

提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.

[预习自测]

1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(　　)

A.；　　　　　 B.；

C.；－  D.；－

答案：B

2．下列函数中，没有零点的是(　　)

A．f(x)＝log2x－7  B．f(x)＝－1

C．f(x)＝  D．f(x)＝x2＋x

答案：C

3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)＜0，f(2)＜0，f(3)＞0，则可以确定零点所在区间为　________　.

答案：(2,3)

　　　求函数的零点

[例1] 求下列函数的零点：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝－x2－x＋20；

(3)f(x)＝x4－1.

[思路点拨]　根据函数零点与相应方程的根之间的关系，可知求函数的零点就是求相应方程的根．

[解]　(1)令f(x)＝0，即＝0，

即x－1＝0或ln x＝0，所以x＝1，

故函数f(x)的零点为1.

(2)f(x)＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)

＝－(x＋5)(x－4)，方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4.

故函数的零点是－5,4.

(3)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，

所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1，1.

1．准确理解函数的零点

函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

2．求函数y＝f(x)的零点的方法

(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点．

(2)几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.

[变式训练]

1．求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．

解：令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，

∴x3－x－(6x－6)＝0，

∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝0，

∴(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，

解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，

∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.