精品解析：广西贵港市达开高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2027届高三10月测试（数学） 一．单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合 ，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】整理得，解得 或 ， 所以集合或， 又因为， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】将存在量词替换为全称量词，保留限制条件不变，否定结论， 因此原命题的否定为，. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性进行比较. 【详解】因为在上单调递增，所以，即， 因为在单调递增，所以，即， 故. 4. 在下列区间中，函数存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算各选项区间端点的函数值，结合零点存在定理判断函数零点所在区间. 【详解】因为与均为上的增函数，所以函数在上单调递增. ， ，  ， . 由于，因此在内存在零点. 5. 已知，且，求（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算. 【详解】因为，所以，， ， 故选：A. 6. 在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质，求得，再结合基本不等式，即可求得的最大值，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，可得， 又因为，所以，所以， 当且仅当时取等号． 故选：C. 7. 已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数在R上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的定义域为R， 由对任意，都有，得函数在R上单调递增， 于是，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点A在双曲线C的左支上，与的平分线的交点为D，若，则点B到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角形内切圆的知识、双曲线的定义，求得点的坐标、，由此求得和双曲线的渐近线方程，由此求得点B到双曲线C的一条渐近线的距离. 【详解】由题可知D为的内切圆圆心，点B在x轴上，且与内切圆D相切于点B，作出大致图形，如图所示.设直线，分别与圆D相切于G，H，则，，.因为，所以，即，设，则，解得.因为，故，故，则，，故，故，解得，故双曲线C的渐近线方程为，则点到双曲线C的一条渐近线的距离为. 故选：D 二．多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面上对应的点位于第一象限 B. 在复平面上对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算求出，利用复数的几何意义可判断A、B；利用复数模的求法可判断C、D. 【详解】由， 则， 所以在复平面上对应的点为， 即在复平面上对应的点位于第二象限. 所以. 故选：BD 10. 已知实数a，b，c满足，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：通过举例可验证选项A； 对于B：根据不等式的性质可验证选项B； 对于C：由题意可得，再根据函数的单调性即可判断； 对于D：将原不等式等价转化为，再利用换底公式判断即可. 【详解】对于A，取，，即可判断选项A错误； 对于B，因为，，所以，即，所以，故选项B正确； 对于C，因为，所以，又因为，所以，故选项C正确； 对于D， 原不等式等价于， 即， 因为，所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 如图，已知菱形中，，，E为边的中点，将△沿翻折成△（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 与的夹角为定值 C. 三棱锥体积最大值为 D. 点F的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由题设结合线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定即可判断正误；B若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；C根据A、B的分析，当面时最大，求其最大值；D确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度. 【详解】A：由，，E为边的中点知：且，易知，，而，故面，又面，所以面面，正确； B：若是的中点，又F为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故，所以与的夹角为或其补角，若为中点，即，由A分析易知：，故与的夹角为，正确； C：由上分析知：翻折过程中当面时，最大，此时，错误； D：由B分析知：且，故F的轨迹与到的轨迹相同，由A知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点，故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以F的轨迹长度为，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形的性质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求的最大体积以及F的轨迹的长度. 三．填空题（共15分） 12. 曲线在点处的切线的斜率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率即可. 【详解】由可得， 于是. 所以曲线在点处的切线的斜率为. 故答案为：. 13. 的展开式中的常数项为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用组合知识可求的展开式，从而可求常数项. 【详解】的展开式中的各项为：， 而， 其中， 令，则或， 令，则或或， 故展开式中的常数项为： . 故答案为：. 14. 设是函数的图象上一点，向量，，且满足.数列是公差不为0的等差数列，若，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】由向量共线求出函数的解析式，设，利用函数的单调性以及等差数列的性质讨论的值，从而求出的值. 【详解】由，得，整理得， 因为设函数， 则奇函数单调递增. 由， 可得 又数列为公差不为0的等差数列， 因此，即， 此时； 故答案为： 四．解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果. 【小问1详解】 ，， 即，， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由余弦定理得：， 即，， 又，， ，， ∴周长为． 16. 已知等差数列满足，． （1）求； （2）数列满足，为数列的前项和，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求； （2）利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列的前项和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 因为，．则，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 则 ， 所以. 17. 某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表： 数学成绩x 145 130 120 105 100 物理成绩y 110 90 102 78 70 （1）数据表明y与x之间有较强的线性关系，求y关于x的线性回归方程； （2）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，请把下面的列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？ 物理优秀 物理不优秀 合计 数学优秀 数学不优秀 合计 60 参考数据：，， K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． P（>) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）； （2）列联表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关. 【解析】 【分析】（1）先求出，根据最小二乘法求出，进而求出即可； （2）根据题意中的数据分析可得列联表，利用卡方公式计算和题意的数据表，结合独立性检验的思想即可下结论. 【小问1详解】 由题意可得， ， ， 所以， 故关于的线性回归方程是． 【小问2详解】 由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36，抽出的5人中， 数学优秀但是物理不优秀的共有1人，故全班数学优秀但是物理不优秀的共有6人， 于是得到列联表为： 物理优秀 物理不优秀 合计 数学优秀 24 6 30 数学不优秀 12 18 30 合计 36 24 36 于是的观测值为 ， 因此，可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关. 18. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝4，M，N分别是BC，PD的中点，PD⊥DC，PM⊥MD． （1）证明：平面PAB； （2）证明：DC⊥平面PDM； （3）求四棱锥P﹣ABCD的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取PA中点E，连接EN，EB，可证明，从而得到MN∥平面PAB； （2）可得，利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PDM； （3）可证PM⊥平面ABCD，求出的长度后可得体积. 【小问1详解】 证明：取PA中点E，连接EN，EB， ∵N是PD的中点，∴且，又且， ∴四边形ENBM是平行四边形，∴， 又∵平面PAB，平面PAB，∴MN//平面PAB； 【小问2详解】 证明：由底面是平行四边形，知， 在△CDM中，由余弦定理：， 故，所以， 又∵，又∵PD，DM是平面PDM内的两条相交直线， ∴CD⊥平面PDM； 【小问3详解】 ∵CD⊥平面PDM，平面PDM，∴， 又∵，且CD，MD是平面ABCD内的两条相交直线， ∴P M⊥平面ABCD．连接AM，在△ABM中，由余弦定理： ， 在Rt△PAM中：， ∴. 19. 在平面直角坐标系中中，设动点到定点的距离与它到直线的距离相等的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）设为曲线上一动点，点（其中常数），求的最小值； （3）已知是曲线的焦点，点在该曲线上且位于轴的两侧（其中为坐标原点），求与面积之和的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）令，则，分对称轴和进行讨论即可； （3）设，，设直线的方程为，代入抛物线可得，结合题意中的数量积可得，即可求解 【小问1详解】 动点到定点的距离与它到直线的距离相等，满足抛物线的定义， 故曲线的方程为抛物线； 【小问2详解】 令，故， 则， 当时，； 当时，， 所以； 【小问3详解】 设，，设直线的方程为， 由得， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以，解得或， 当时，直线的方程为，定点为不满足点在该曲线上且位于轴的两侧，故舍去； 当时，直线的方程为，定点为，满足点在该曲线上且位于轴的两侧，且满足， 不妨令，则， 当且仅当即时，取等号， 故最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三10月测试（数学） 一．单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在下列区间中，函数存在零点的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，求（ ） A. B. C. D. 6. 在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ） A. 25 B. 5 C. D. 7. 已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点A在双曲线C的左支上，与的平分线的交点为D，若，则点B到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是虚数单位，是复数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面上对应的点位于第一象限 B. 在复平面上对应的点位于第二象限 C. D. 10. 已知实数a，b，c满足，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知菱形中，，，E为边的中点，将△沿翻折成△（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 与的夹角为定值 C. 三棱锥体积最大值为 D. 点F的轨迹的长度为 三．填空题（共15分） 12. 曲线在点处的切线的斜率为_________. 13. 的展开式中的常数项为__________． 14. 设是函数的图象上一点，向量，，且满足.数列是公差不为0的等差数列，若，则______. 四．解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 已知等差数列满足，． （1）求； （2）数列满足，为数列的前项和，求． 17. 某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表： 数学成绩x 145 130 120 105 100 物理成绩y 110 90 102 78 70 （1）数据表明y与x之间有较强的线性关系，求y关于x的线性回归方程； （2）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，请把下面的列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？ 物理优秀 物理不优秀 合计 数学优秀 数学不优秀 合计 60 参考数据：，， K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． P（>) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝4，M，N分别是BC，PD的中点，PD⊥DC，PM⊥MD． （1）证明：平面PAB； （2）证明：DC⊥平面PDM； （3）求四棱锥P﹣ABCD的体积． 19. 在平面直角坐标系中中，设动点到定点的距离与它到直线的距离相等的轨迹为. （1）求曲线的方程； （2）设为曲线上一动点，点（其中常数），求的最小值； （3）已知是曲线的焦点，点在该曲线上且位于轴的两侧（其中为坐标原点），求与面积之和的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $