3.2.1 双曲线及其标准方程同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2 双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线.( ) (3)在双曲线的标准方程中,的大小关系是.( ) (4)双曲线的标准方程中,.( ) 2.若方程表示双曲线,则的取值范围是( ) A．(-3,1) B．(1,3) C．(-1,3) D． 3.请思考并回答下列问题: (1)若将双曲线定义中的"绝对值"删掉,动点的轨迹是什么? (2)两种双曲线,()的相同点和不同点分别是什么? (3)如何根据双曲线的标准方程确定双曲线的焦点位置? 二、知识点自测 知识点1 双曲线定义的应用 1.已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,则的面积为____. 2.已知双曲线()的左、右焦点分别为.是双曲线右支上一点,且直线的斜率为2,是面积为18的直角三角形,则双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 3.已知双曲线的方程是,点在双曲线上,且到其中一个焦点的距离为7,点是的中点,则(为坐标原点)的大小为____. 知识点2 求双曲线的标准方程 1.求过点,且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程. 2.分别根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1),经过点; (2)经过点,; (3)与双曲线有相同的焦点,且经过点. 知识点3 双曲线的实际应用 1.如图,地在地的正东方向6km处,地在地的北偏东30°方向4km处,河岸(曲线)上任意一点到地的距离比到地的距离远4km.现要在河岸上选一处建码头,并修建两条公路,以便于向两地转运货物.经测算,公路的造价是万元/km,求修建这两条公路的总费用最低是多少. 2.某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚2s,已知各观测点到该指挥中心的距离都是680m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(设声音的传播速度为340m/s,相关各点均在同一平面内) 三、课后练习 A组 夯实基础 1.已知平面内两定点,下列条件使得动点的轨迹为双曲线的是( ) A． B． C． D． 2.(多选)双曲线上的点到一个焦点的距离为10,则到另一个焦点的距离为( ) A．2 B．8 C．18 D．22 3.已知双曲线的中心在原点,两个焦点的坐标分别为和,点在双曲线上,且,的面积为2,则双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 4.如图,已知双曲线的方程为(),点均在双曲线的右支上,线段经过双曲线的右焦点,,为双曲线的左焦点,则的周长为( ) A． B． C． D． 5.若双曲线的焦距为10,则____. 6.已知动点满足,则动点的轨迹方程是____. 7.以椭圆的焦点为顶点,且过点的双曲线标准方程是____. 8.若方程表示焦点在轴上的双曲线,则实数的取值范围是____. 9.已知点在双曲线上,分别是双曲线的左、右焦点,若的面积为15,则点到轴的距离为____,且的模与的模之和为____. B组　能力提升 1.(多选)已知方程表示的曲线为,给出以下判断,正确的是( ) A．当时,曲线为椭圆 B．当或时,曲线为双曲线 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆,则 D．若曲线为焦点在轴上的双曲线,则 2.设分别是双曲线的下、上焦点,是该双曲线上的一点,且,则的面积等于( ) A．12 B． C． D． 3.已知双曲线()与椭圆()有公共的焦点,且与在第一象限的交点为,若的面积为,则的值为____. 4.椭圆与双曲线有公共点,则以与椭圆两焦点为顶点的三角形的周长为____,面积为____. 5.设为坐标原点,为双曲线的两个焦点,点在上,,则____. 6.设圆与圆,圆中的一个内切,与另一个外切. (1)求圆的圆心轨迹的方程; (2)已知点,,且为上的动点,求的最大值. C组 思考题 1.若双曲线()的左、右焦点分别是,点在双曲线上,且,求的面积. 2. 已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(×) (2)平面内到点的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线.(×) (3)在双曲线的标准方程中,的大小关系是.(×) (4)双曲线的标准方程中,.(√) 2.若方程表示双曲线,则的取值范围是( ) A．(-3,1) B．(1,3) C．(-1,3) D． 【答案】A 【详解】因为已知方程表示双曲线,所以,所以.故的取值范围是. 3.请思考并回答下列问题: (1)若将双曲线定义中的"绝对值"删掉,动点的轨迹是什么? 【答案】那么动点的轨迹为双曲线的一支. (2)两种双曲线,()的相同点和不同点分别是什么? 【答案】相同点:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. (3)如何根据双曲线的标准方程确定双曲线的焦点位置? 【答案】若含项的系数为正,则焦点在轴上;若含项的系数为正,则焦点在轴上. 二、知识点自测 知识点1 双曲线定义的应用 1.已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,则的面积为____. 【答案】 【详解】将化为,则,.不妨设点在双曲线的右支上,则.由题意知. 在中,由余弦定理的推论,得, 即.又,两式相减得, 所以. 2.已知双曲线()的左、右焦点分别为.是双曲线右支上一点,且直线的斜率为2,是面积为18的直角三角形,则双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图,由题意可知,点必落在第四象限,. 设,,,由,所以. 因为,所以,则,即,.由正弦定理可得,, 则由,得,. 由,得, 则,,,. 由双曲线的定义可得,,所以, 所以,, 所以双曲线的方程为.故选A. 3.已知双曲线的方程是,点在双曲线上,且到其中一个焦点的距离为7,点是的中点,则(为坐标原点)的大小为____. 【答案】或 【详解】设双曲线的另一个焦点为,连接(图略).因为为的中点,所以是的中位线,所以. 因为,,所以或. 所以或. 知识点2 求双曲线的标准方程 1.求过点,且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程. 【答案】. 【详解】设双曲线方程为(). 因为两点在双曲线上,所以,, 解得,. 所以所求双曲线的标准方程为. 2.分别根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1),经过点; (2)经过点,; (3)与双曲线有相同的焦点,且经过点. 【答案】见解析 【详解】(1)当焦点在轴上时,设所求双曲线的标准方程为().把点的坐标代入,得,即,不符合题意; 当焦点在轴上时,设所求双曲线的标准方程为().把点的坐标代入,得,解得,所以所求双曲线的标准方程为. (2)设双曲线的方程为().因为双曲线经过点,,所以,, 解得,. 所以所求双曲线的标准方程为. (3)因为所求双曲线与双曲线有相同的焦点,所以可设所求双曲线的方程为(). 因为双曲线过点,所以, 整理得,解得或(舍去). 所以所求双曲线的标准方程为. 知识点3 双曲线的实际应用 1.如图,地在地的正东方向6km处,地在地的北偏东30°方向4km处,河岸(曲线)上任意一点到地的距离比到地的距离远4km.现要在河岸上选一处建码头,并修建两条公路,以便于向两地转运货物.经测算,公路的造价是万元/km,求修建这两条公路的总费用最低是多少. 【答案】万元 【详解】以所在的直线为轴,的中点为坐标原点建立平面直角坐标系(图略).根据题意,得,,所以,所以. 因为,所以点的轨迹是双曲线的右支. 由题意,总费用为. 因为,当三点共线时,等号成立,所以总费用最低为万元. 2.某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚2s,已知各观测点到该指挥中心的距离都是680m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(设声音的传播速度为340m/s,相关各点均在同一平面内) 【答案】见解析 【详解】如图,以指挥中心为坐标原点,正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系,则,,. 设为袭击位置,则. 由双曲线的定义知,点在以为焦点的双曲线的左支上,且,,所以, 所以该双曲线的方程为()①. 又,因此点在直线上. 把代入①式,得,即, 所以,. 故该枚炮弹的袭击位置在指挥中心的北偏西45°方向,距指挥中心m处. 三、课后练习 A组 夯实基础 1.已知平面内两定点,下列条件使得动点的轨迹为双曲线的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时,,满足双曲线的定义,所以点的轨迹是双曲线.故选A. 2.(多选)双曲线上的点到一个焦点的距离为10,则到另一个焦点的距离为( ) A．2 B．8 C．18 D．22 【答案】AC 【详解】因为,所以.由双曲线的定义可得.由题意设,所以,所以或.经验证都满足题意.故选AC. 3.已知双曲线的中心在原点,两个焦点的坐标分别为和,点在双曲线上,且,的面积为2,则双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的面积为2,,所以. 由,,得,即,解得.又,所以. 所以双曲线的方程为.故选A. 4.如图,已知双曲线的方程为(),点均在双曲线的右支上,线段经过双曲线的右焦点,,为双曲线的左焦点,则的周长为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线的定义,知,. 又,所以的周长为.故选C. 5.若双曲线的焦距为10,则____. 【答案】16 【详解】由题意知,,,,又由,得,所以. 6.已知动点满足,则动点的轨迹方程是____. 【答案】y=0(x≥3) 【详解】设,由题意知动点满足,故动点的轨迹是射线(). 7.以椭圆的焦点为顶点,且过点的双曲线标准方程是____. 【答案】 【详解】在椭圆中,,,所以, 所以椭圆的焦点为,所以双曲线的顶点为. 设双曲线方程为,由题意可得,解得, 所以所求双曲线的标准方程为. 8.若方程表示焦点在轴上的双曲线,则实数的取值范围是____. 【答案】 【详解】将双曲线方程化为标准方程为,则,,解得. 9.已知点在双曲线上,分别是双曲线的左、右焦点,若的面积为15,则点到轴的距离为____,且的模与的模之和为____. 【答案】3 【详解】由已知得,,则,设点, 则,所以,即点到轴的距离为3. 由双曲线的对称性,不妨取点的坐标为,得, 由双曲线的定义,得,所以. B组　能力提升 1.(多选)已知方程表示的曲线为,给出以下判断,正确的是( ) A．当时,曲线为椭圆 B．当或时,曲线为双曲线 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆,则 D．若曲线为焦点在轴上的双曲线,则 【答案】BCD 【详解】当时,曲线表示圆,A错误.若为双曲线,则,所以或,B正确.若曲线为焦点在轴上的椭圆,则,所以,C正确.若曲线为焦点在轴上的双曲线,则,,所以,D正确. 2.设分别是双曲线的下、上焦点,是该双曲线上的一点,且,则的面积等于( ) A．12 B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线,得,,. 由,知,所以,得,. 所以,, 所以,所以.故选C. 3.已知双曲线()与椭圆()有公共的焦点,且与在第一象限的交点为,若的面积为,则的值为____. 【答案】 【详解】设分别为左、右焦点,根据椭圆以及双曲线的定义可得,, 所以,,所以. 椭圆中,双曲线中,由公共焦点得,即. 由余弦定理,得,故, 因此的面积为, 解得,即. 4.椭圆与双曲线有公共点,则以与椭圆两焦点为顶点的三角形的周长为____,面积为____. 【答案】60，120 【详解】由已知可得椭圆与双曲线具有共同的焦点,. 由椭圆与双曲线的定义可得,, 所以,或,. 又,且,所以为直角三角形,且,所以周长为, 面积. 5.设为坐标原点,为双曲线的两个焦点,点在上,,则____. 【答案】 【详解】因为①,, 所以由余弦定理得, 即②,联立①②,解得,, 而,所以,即. 6.设圆与圆,圆中的一个内切,与另一个外切. (1)求圆的圆心轨迹的方程; (2)已知点,,且为上的动点,求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)设两圆的圆心分别为,,半径均为3,设圆的半径为. 由题意得,或,,则或,即. 因为,所以圆的圆心轨迹为以为焦点的双曲线,其中,,, 所以圆的圆心轨迹的方程为. (2)由(1)知为双曲线的一个焦点,如图, 连接并延长交双曲线于点,此时为的最大值. 又, 所以的最大值为. C组 思考题 1.若双曲线()的左、右焦点分别是,点在双曲线上,且,求的面积. 【答案】 【详解】在中,因为, 所以由余弦定理可得①. 由双曲线的定义可得,两边平方可得②. 由①-②,可得,则. 故. 2. 已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,求的面积. 【答案】 【详解】由题易知,则, 又,解得,. 在中,,,,则, 所以,所以. 学科网（北京）股份有限公司 $