3.2.1 双曲线及其标准方程课后同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础概念辨析、中档综合应用、提升创新探究三层设计，构建从双曲线定义到复杂最值问题的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|双曲线定义、标准方程、焦点位置判断|以单选为主（如第1-3题），直接考查核心概念，强化抽象能力| |中档层|椭圆与双曲线综合、距离最值、方程表示条件|通过多选（如第8题）和填空深化理解，培养推理意识| |提升层|焦点三角形周长、圆与双曲线结合的最值问题|以解答题（如第15题）设计复杂情境，发展模型观念与创新意识|

3.2.1 双曲线及其标准方程课后同步练习 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. 3．（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可. 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 4．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】分别求出椭圆与双曲线的焦点坐标，可得圆的方程为，，联立圆的方程与双曲线方程得到交点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由椭圆，可得,所以椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为; 由双曲线，可得,所以双曲线的焦点在轴，且焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上， 所以该圆的圆心为原点，半径为，圆的方程为， 所以，解得; 双曲线方程为：， 联立，解得， 将代入椭圆方程可得：， 解得(负值舍去) 故选：B 5．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 6．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 7．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 8．（25-26高二上·河南郑州·期末）（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 9．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 【答案】AC 【详解】将三点代入曲线中分别得，，，， 若在曲线上，不在曲线上，则，，， 此时为椭圆； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为双曲线； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为椭圆； 故AC正确，BD错误. 10．（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 12．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 13．（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 14．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断焦点位置，利用待定系数法求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 15．（2026高二·全国·专题练习）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 【答案】 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义即可求的最大值. 【详解】，，，则， 故双曲线的两个焦点为，， ，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为， 所以，， 则 ， 即的最大值为．    2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程课后同步练习 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 5．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 7．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南郑州·期末）（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 9．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 10．（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 12．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 13．（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 14．（25-26高二上·河南·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 15．（2026高二·全国·专题练习）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $