3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-抛物线的简单几何性质同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 选择性必修 第一册 3.3.2抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 一、概念自检 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)抛物线有一条对称轴为y轴.( ) (2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( ) (4)抛物线方程与中,x,y的范围是不同的,但是两条抛物线的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( ) 2.直线y=kx+1与抛物线有且只有一个公共点,则k= . 3.请思考并回答下列问题: (1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切吗? (2)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么? (3)抛物线的性质与椭圆和双曲线的性质的主要区别有哪些? 二、知识点自测 知识点1 抛物线几何性质的应用 1.设F为抛物线C:的焦点,曲线(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( ) A． B．2 C． D．4 2.已知 在抛物线上，则的最小值为______. 3.已知双曲线（）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为 2，的面积为，求抛物线的标准方程. 知识点2 直线与抛物线的位置关系 1.已知抛物线C:,过点P(1,1)的直线的斜率为k,当k取何值时,与C有且只有一个公共点?有两个公共点?无公共点? 2.求抛物线C:上的点到直线x-y+8=0的最小距离. 3.已知抛物线C:的焦点为F,以F和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形. (1)求C的方程; (2)讨论过点(-2,1)的直线与C的交点个数. 知识点3 与抛物线的弦有关的问题 1.若直线与抛物线交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为2,求此直线的方程. 2.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(3,3)为AB的中点,求抛物线C的方程. 3.若抛物线与直线相交于不同的两点为原点,求证:. 三、课后练习 A组　基础达标 1.直线与抛物线的位置关系为( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2.若抛物线上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为( ) A． B． C． D． 3.设为坐标原点,F为抛物线的焦点,A为抛物线上一点.若,则点A的坐标为( ) A． B． C． D． 4.等腰直角三角形内接于抛物线,为抛物线的顶点,,则的面积是( ) A． B． C． D． 5.抛物线上有一点,它到焦点的距离等于4,则 , . 6.在边长为1的等边三角形中,为坐标原点,轴,以为顶点且过的抛物线的方程是 . 7.已知F是抛物线C:的焦点,M是C上一点,FM的延长线交轴于点N.若M是FN的中点,则 . 8.已知抛物线C:,C的一条切线的方程为,则C的准线方程为 . B组　能力提升 1.抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-6=0的距离的最小值是( ) A． B． C． D．3 2.(多选)设为抛物线C:上一点,F为抛物线C的焦点,以为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交,则的值可能是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 3.(数学文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作,第九章“勾股”讲述了勾股定理及其一些应用,其中将直角三角形的斜边称为“弦”,短直角边称为“勾”,长直角边称为“股”.设点F是抛物线的焦点,是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线交准线于点C.若的“勾”,“股”,则抛物线的方程为 . 4.已知直线与抛物线交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点.若,则 . 5.若过点的直线与抛物线恰有一个公共点,则直线的方程为 . 6.抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于A,B两点. 若为等边三角形,则 . 7.设抛物线的焦点为F,准线为.已知点C在上,以C为圆心的圆与轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为 . 8.设A,B为曲线C:上两点,A与B的横坐标之和为8. (1)若A与B的纵坐标之和为8,求直线AB的方程. (2)证明:线段AB的垂直平分线过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第一册 3.3.2抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 一、概念自检 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)抛物线有一条对称轴为y轴.( ) (2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( ) (4)抛物线方程与中,x,y的范围是不同的,但是两条抛物线的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( ) 【答案】见解析 【详解】(1)抛物线的对称轴为y轴,正确; (2)由抛物线的几何性质可知正确;(3)抛物线的离心率均为1,正确; (4)两条抛物线中p均为2,焦点到准线的距离相同,离心率均为1,正确. 2.直线y=kx+1与抛物线有且只有一个公共点,则k= . 【答案】0或1 【详解】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点. 当k≠0时,将y=kx+1代入,得. 由题意,解得k=1. 综上,k=0或k=1. 3.请思考并回答下列问题: (1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切吗? 【答案】不一定.当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点,此时二者不相切. (2)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么? 【答案】“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率;“一方向”是指抛物线的开口方向. (3)抛物线的性质与椭圆和双曲线的性质的主要区别有哪些? 【答案】抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线,它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线. 二、知识点自测 知识点1 抛物线几何性质的应用 1.设F为抛物线C:的焦点,曲线(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( ) A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】因为抛物线方程是,所以F(2,0).又因为PF⊥x轴,所以或（舍） 把点P的坐标代入曲线方程(k>0),即,所以.故选C. 2.已知 在抛物线上，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】由，得，即，且. 所以. 因为在上单调递增，所以当（此时）时，取得最小值，即的最小值为 4. 3.已知双曲线（）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为 2，的面积为，求抛物线的标准方程. 【答案】 【详解】解：由已知，所以，解得， 即双曲线的渐近线方程为. 而抛物线的准线方程为， 不妨设，，则，点到准线的距离为. 从而的面积为，可得， 所以抛物线的标准方程为. 知识点2 直线与抛物线的位置关系 1.已知抛物线C:,过点P(1,1)的直线的斜率为k,当k取何值时,与C有且只有一个公共点?有两个公共点?无公共点? 【答案】见解析 【详解】设直线,将代入整理得. ①当时,把代入,得,此时与C只有一个公共点. ②当k≠0时,. 由Δ=0,得,此时与C有且只有一个公共点; 当且k≠0时,Δ>0,与C有两个公共点; 当或时,Δ<0,此时与C无公共点. 综上,当或时,与C有且只有一个公共点;当或时,与C有两个公共点;当或时,与C无公共点. 2.求抛物线C:上的点到直线x-y+8=0的最小距离. 【答案】 【详解】易知直线x-y+8=0与抛物线C:相离. 设直线与抛物线C:相切,联立消去x,得,所以,解得m=2. 所以直线与的距离. 故抛物线上的点到直线的最小距离为. 3.已知抛物线C:的焦点为F,以F和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形. (1)求C的方程; (2)讨论过点(-2,1)的直线与C的交点个数. 【答案】（1）；（2）见解析. 【详解】(1)由题意得焦点,准线方程为. 以F和C的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形, 则这个等边三角形的高为, 即焦点到准线的距离,解得m=8(负值舍去), 所以C的方程为. (2)若直线的斜率存在,设的方程为y-1=k(x+2). 由方程组可得. ①当k=0时,解得,y=1,此时方程只有一个实数解,与C只有一个公共点; ②当k≠0时,, 由, ，解得,此时方程有两个相等的实数解,与C只有一个公共点; 由, , 解得,此时方程有两个不等的实数解,与C有两个公共点; 由, , 解得或,此时方程没有实数解,与C没有公共点; 若直线的斜率不存在,则直线的方程为x=-2,易知与C没有公共点. 综上所述,当的方程为或的斜率或时,与C的交点个数为0; 当的斜率或时,与C的交点个数为1; 当的斜率时与C的交点个数为2. 知识点3 与抛物线的弦有关的问题 1.若直线与抛物线交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为2,求此直线的方程. 【答案】 【详解】设,, 则由可得. 因为直线与抛物线相交于两点,所以且,即且 因为线段AB中点的横坐标为2,所以,解得或(舍去). 故所求直线方程为 2.已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点.若P(3,3)为AB的中点,求抛物线C的方程. 【答案】 【详解】由题意可设抛物线C的方程为,,, 则 ②-①并整理得. 又,,所以2p=6. 因此抛物线C的方程为. 3.若抛物线与直线相交于不同的两点为原点,求证:. 【详解】证明:因为直线与抛物线相交于不同的两点A,B, 所以可设,, 由消去y,得. 则有Δ>0,,,,. 因为,,且, 所以,即 三、课后练习 A组　基础达标 1.直线与抛物线的位置关系为( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【详解】直线过定点(1,2),因为,所以在抛物线内部,所以直线与抛物线相交.故选A. 2.若抛物线上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点P的坐标为,依题意可知抛物线的准线方程为,则, 两边平方得,即,解得,, 所以点P的坐标为.故选B. 3.设为坐标原点,F为抛物线的焦点,A为抛物线上一点.若,则点A的坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设,则.① 又,,所以.② 由①②可解得,所以 所以,,所以点A的坐标为.故选B. 4.等腰直角三角形内接于抛物线,为抛物线的顶点,,则的面积是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的对称轴为x轴,内接三角形AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性,知直线AB与抛物线的对称轴垂直,不妨设直线与轴的夹角为. 由方程组得(舍)或, 所以A,B两点的坐标分别为和. 所以,所以.故选B. 5.抛物线上有一点,它到焦点的距离等于4,则 , . 【答案】, 【详解】由题意,得a>0且所以,. 6.在边长为1的等边三角形中,为坐标原点,轴,以为顶点且过的抛物线的方程是 . 【答案】 【详解】设抛物线方程为.不妨设,则有,解得,所以所求抛物线的方程为. 7.已知F是抛物线C:的焦点,M是C上一点,FM的延长线交轴于点N.若M是FN的中点,则 . 【答案】9 【详解】如图, 过点作轴,垂足为,. 因为为的中点,所以,所以M到准线的距离,所以, 所以. 8.已知抛物线C:,C的一条切线的方程为,则C的准线方程为 . 【答案】 【详解】由消去y,得. 由题意,解得p=4,则抛物线的方程为, 所以抛物线的准线方程为,即. B组　能力提升 1.抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-6=0的距离的最小值是( ) A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】设抛物线上一点,该点到直线的距离 , 其中,当时,取得最小值为.故选A. 2.(多选)设为抛物线C:上一点,F为抛物线C的焦点,以为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交,则的值可能是( ) A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】CD 【详解】由抛物线C:知,所以焦点,准线方程为. 由抛物线的定义,得,因为以F为圆心、为半径的圆与准线相交,且圆心到准线的距离为,所以,从而.故选CD. 3.(数学文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作,第九章“勾股”讲述了勾股定理及其一些应用,其中将直角三角形的斜边称为“弦”,短直角边称为“勾”,长直角边称为“股”.设点F是抛物线的焦点,是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线交准线于点C.若的“勾”,“股”,则抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】如图, 由题意可知,,, 可得,所以. 由抛物线的定义知,所以是等边三角形,即,,故. 所以,所以抛物线的方程是. 4.已知直线与抛物线交于两点,过分别作的垂线与轴交于两点.若,则 . 【答案】2 【详解】根据题意作图如下. 设直线的倾斜角为,则,易知, 联立得,. 设的横坐标分别为,则,. 由弦长公式得, 得,且,符合题意. 5.若过点的直线与抛物线恰有一个公共点,则直线的方程为 . 【答案】 【详解】当直线的斜率为时,显然满足题意,此时直线的方程为. 当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为 由消去整理得. 由,得,即,此时直线的方程为,即 当直线的斜率不存在时，直线也满足 综上,直线的方程为或或 6.抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于A,B两点. 若为等边三角形,则 . 【答案】6 【详解】因为抛物线的准线和双曲线相交,由得交点的横坐标为, 所以.由为等边三角形,得其高,即, 解得,即或(舍). 7.设抛物线的焦点为F,准线为.已知点C在上,以C为圆心的圆与轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为 . 【答案】 【详解】由可得点F的坐标为,准线的方程为. 由圆心C在上,且圆C与轴正半轴相切，如图, 可得点C的横坐标为,圆的半径为.又因为,所以,所以,所以点C的纵坐标为. 所以圆的方程为. 8.设A,B为曲线C:上两点,A与B的横坐标之和为8. (1)若A与B的纵坐标之和为8,求直线AB的方程. (2)证明:线段AB的垂直平分线过定点. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)由题意可得直线AB的斜率不为0,设直线AB方程为x=my+t,,, 联立化为,, 所以,,解得m=2. 所以,解得t=-4. 所以直线AB的方程为,即. (2)证明:设直线AB的方程为,线段AB的中点为, ,, 则线段AB的垂直平分线的方程为, 化为, 可得线段AB的垂直平分线经过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $