3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦抛物线几何性质，通过基础认知、能力应用、综合拓展三层设计，实现从定义理解到综合运算的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|抛物线定义、顶点/准线/焦点坐标|选择1-5直接考查性质，如等腰三角形内接抛物线面积计算| |能力应用|参数范围、方程求解|填空8结合二次函数求最值范围，解答题9用垂直平分线性质求方程| |综合拓展|距离最值、跨知识点结合|解答题10求点到直线距离最小值，体现模型观念与运算能力|

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.若等腰三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（　 ） A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 2.在同一平面直角坐标系中，方程＋＝1与ax＋by2＝0（a＞b＞0）所表示的曲线大致是（　 ） 3.已知点（x，y）在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是（　 ） A.2 B.3 C.4 D.0 4.若抛物线y2＝4x上一点P（x0，y0）到点（5，0）的距离最小，则点P的横坐标x0为（　 ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.若抛物线y2＝mx（m＞0）的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，则m的值为（　 ） A.4 B.－4 C.2 D.－2 二、填空题 6.已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为　 　. 7.抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　 　. 8.已知抛物线y＝x2上距离点A（0，a）（a＞0）最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是 . 三、解答题 9.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q（6，0），求抛物线的方程. 10.已知点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点A（m，3）在抛物线C上，且｜AF｜＝5.若点P是抛物线C上的一个动点，设点P到直线x－2y－6＝0的距离为d. （1）求抛物线C的方程； （2）求d的最小值. 解析版 一、选择题 1.若等腰三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（　B　） A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 解析：∵抛物线的对称轴为x轴，内接三角形AOB为等腰直角三角形， ∴由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°. 由方程组得或 ∴A，B两点的坐标为（2p，2p）和（2p，－2p）. ∴｜AB｜＝4p. ∴S△AOB＝×4p×2p＝4p2. 2.在同一平面直角坐标系中，方程＋＝1与ax＋by2＝0（a＞b＞0）所表示的曲线大致是（　A　） 3.已知点（x，y）在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是（　B　） A.2 B.3 C.4 D.0 4.若抛物线y2＝4x上一点P（x0，y0）到点（5，0）的距离最小，则点P的横坐标x0为（　C　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：∵P（x0，y0）在抛物线y2＝4x上，∴＝4x0，则点P到点（5，0）的距离d＝＝＝.∵x0≥0，∴当x0＝3时，点P到点（5，0）的距离最小. 5.若抛物线y2＝mx（m＞0）的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，则m的值为（　A　） A.4 B.－4 C.2 D.－2 二、填空题 6.已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为　－　. 7.抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　6　. 解析：抛物线的准线方程为y＝－， 设A，B的横坐标分别为xA，xB， 代入双曲线方程，则｜xA｜2＝｜xB｜2＝3＋， 所以｜AB｜＝｜2xA｜. 又焦点到准线的距离为p， 由等边三角形的特点， 得p＝｜AB｜，即p2＝×4×（3＋），所以p＝6（负值舍去）. 8.已知抛物线y＝x2上距离点A（0，a）（a＞0）最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是　0＜a≤1　. 解析：设点P（x，y）（y≥0）为抛物线上任意一点， 则点P到点A（0，a）的距离的平方为｜AP｜2＝x2＋（y－a）2＝x2＋y2－2ay＋a2. ∵x2＝2y，∴｜AP｜2＝2y＋y2－2ay＋a2＝y2＋2（1－a）y＋a2（y≥0），∴对称轴为直线y＝a－1. ∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点， ∴a－1≤0，解得a≤1. 又a＞0，∴0＜a≤1. 三、解答题 9.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q（6，0），求抛物线的方程. 解：设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵｜AF｜＋｜BF｜＝8， ∴x1＋＋x2＋＝8， 即x1＋x2＝8－p. ∵Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上， ∴｜QA｜＝｜QB｜， 即 ＝， 又＝2px1，＝2px2， ∴（x1－x2）（x1＋x2－12＋2p）＝0. ∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2. 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4. 从而抛物线的方程为y2＝8x. 10.已知点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点A（m，3）在抛物线C上，且｜AF｜＝5.若点P是抛物线C上的一个动点，设点P到直线x－2y－6＝0的距离为d. （1）求抛物线C的方程； （2）求d的最小值. 解：（1）因为抛物线C：x2＝2py（p＞0）， 所以抛物线C的准线为y＝－. A（m，3）在抛物线C上，由抛物线的定义，得｜AF｜＝yA＋＝3＋＝5，解得p＝4， 所以抛物线C的方程为x2＝8y. （2）设点P的坐标为（x0，y0）， 因为点P在抛物线C上，所以＝8y0， 则点P到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝ ＝. 当x0＝2时，d取得最小值，且d的最小值为＝. 页 学科网（北京）股份有限公司 $