3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

一、选择题

1.若等腰三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（　   ）

A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2

2.在同一平面直角坐标系中，方程＋＝1与ax＋by2＝0（a＞b＞0）所表示的曲线大致是（　   ）

3.已知点（x，y）在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是（　   ）

A.2 B.3 C.4 D.0

4.若抛物线y2＝4x上一点P（x0，y0）到点（5，0）的距离最小，则点P的横坐标x0为（　   ）

A.1 B.2 C.3 D.4

5.若抛物线y2＝mx（m＞0）的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，则m的值为（　   ）

A.4 B.－4 C.2 D.－2

二、填空题

6.已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为　                 　.

7.抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　                 　.

8.已知抛物线y＝x2上距离点A（0，a）（a＞0）最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是                 .

三、解答题

9.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q（6，0），求抛物线的方程.

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

                

10.已知点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点A（m，3）在抛物线C上，且｜AF｜＝5.若点P是抛物线C上的一个动点，设点P到直线x－2y－6＝0的距离为d.

（1）求抛物线C的方程；

（2）求d的最小值.

                

                

                

                

                

                

                

                

                

 

解析版

一、选择题

1.若等腰三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（　B　）

A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2

解析：∵抛物线的对称轴为x轴，内接三角形AOB为等腰直角三角形，

∴由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.

由方程组得或

∴A，B两点的坐标为（2p，2p）和（2p，－2p）.

∴｜AB｜＝4p.

∴S△AOB＝×4p×2p＝4p2.