3.3.2 抛物线的简单几何性质同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南长沙高二上期中）过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.（2024-2025·湖南永州高二上期中）已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（） A. B. C. D. 3.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　) A.(2，±2 ) B.(1，±2) C.(1,2) D.(2,2) 4.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为(　　) A.18 B.24 C.36 D.48 5.（2024-2025·湖南衡阳高一下期末）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（） A.2 B. C.1 D. 6.（2025-2026·湖南岳阳高一上期中）已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为，则抛物线的方程为（） A. B. C. D. 7.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（） A.2 B.4 C.6 D.8 8.（2025-2026·湖南衡阳高二下期末）已知点是抛物线的焦点，、是经过点的弦，且，的斜率为，且，、两点在轴上方.则下列结论中不成立的是（） A. B.四边形面积最小值为 C.若，则直线的斜率为 D. 二、多项选择题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（） A. B. C. D.若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 10.（2025-2026·湖南邵阳高二下期末）已知抛物线的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（） A.抛物线的准线方程为 B.一定为钝角 C.直线的斜率最大值为 D.若，则 11.（2025-2026·广西柳州高二上期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为                   ． 13.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝                  . 14.（2025-2026·山东日照高二上月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则                   . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·四川自贡高二上期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且 (1)求抛物线的方程； (2)直线交抛物线于，两点，求. 16.（2025-2026·江西九江高二上期末）设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交于，两点. (1)若点到直线的距离为，求直线的斜率； (2)若，求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南长沙高二上期中）过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】设，由，圆圆心，半径. 因为，是圆切线，所以，，. ，且， ，，. 则，把代入得： 当时，取最小值. 已知最小值为，则，即， 解得或.因为，所以. 故选A. 2.（2024-2025·湖南永州高二上期中）已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】抛物线焦点，直线斜率为，则直线方程为. 设，，联立，将即代入得： ，即. 由韦达定理，则. 已知，，所以. 因为弦中点到抛物线准线距离为，所以， 又，即，，解得. 所以抛物线方程为. 故选B. 3.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　) A.(2，±2 ) B.(1，±2) C.(1,2) D.(2,2) 【答案】B 【解析】设A(x，y)，则y2＝4x，① 又因为＝(x，y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x－x2－y2＝－4.② 由①②可解得x＝1，y＝±2，故点A坐标为(1，±2)． 4.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为(　　) A.18 B.24 C.36 D.48 【答案】C 【解析】不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， 依题意，l⊥x轴，且焦点F， ∵当x＝时，|y|＝p，∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6， 又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6， 故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36． 5.（2024-2025·湖南衡阳高一下期末）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（） A.2 B. C.1 D. 【答案】B 【解析】抛物线的焦点坐标为， 因为抛物线的标准形式为，其中，所以焦点位于. 已知直线斜率为，且经过焦点，因此直线的方程为. 将直线方程代入抛物线方程中，得， 化简得， 展开并整理得设该二次方程的两个根对应的横坐标分别为、， 由韦达定理得， 根据抛物线的几何性质，弦长可表示为， 代入得. 6.（2025-2026·湖南岳阳高一上期中）已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为，则抛物线的方程为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由抛物线的焦点为,得直线的方程为,即. 联立,消去得. 设,由韦达定理得. 抛物线准线方程为,点到准线的距离分别为,故弦的中点到准线的距离为. 由中点到准线的距离为,得,即. 将代入上式,得,解得. 故抛物线的方程为. 答案为B. 7.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】分别过点作准线的垂线,垂足分别为, 设,则. 由抛物线的定义得, 故. 由抛物线的定义得. 因为,所以, 又,故,解得. 记准线与对称轴交于点, 则. 由,得, 又,故,解得. 答案为B. 8.（2025-2026·湖南衡阳高二下期末）已知点是抛物线的焦点，、是经过点的弦，且，的斜率为，且，、两点在轴上方.则下列结论中不成立的是（） A. B.四边形面积最小值为 C.若，则直线的斜率为 D. 【答案】B 【解析】抛物线焦点为，对于A选项，设方程为，，，联立，化简得， 由韦达定理得，， 计算得， 故A选项正确. 对于B选项，由弦长公式得， 同理可得， 四边形面积 ， 由均值不等式得， 故，当且仅当时等号成立，四边形面积最小值为，故B选项错误. 对于C选项，设，，由得方程为，联立，化简得，得， 结合焦半径公式得，代入得，解得，由得，故斜率为，C选项正确. 对于D选项，代入弦长计算得，故D选项正确. 答案为B. 二、多项选择题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）已知抛物线的焦点为，准线为，，为抛物线上两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的有（） A. B. C. D.若点为抛物线上一点，则周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】由抛物线准线为得，解得， 故A正确. 抛物线，焦点为， 设，由为中点得，整理得， 计算得， 故B正确. 计算得，所以， 故C错误. 由抛物线定义得等于到准线的距离，为垂足， 计算得，的周长为， 由几何性质得，为到准线的垂足，， 故周长， 当且仅当为与抛物线交点时等号成立， 故周长最小值为，D正确. 故选：ABD. 10.（2025-2026·湖南邵阳高二下期末）已知抛物线的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（） A.抛物线的准线方程为 B.一定为钝角 C.直线的斜率最大值为 D.若，则 【答案】ABD 【解析】抛物线的焦点为，直线过点，得，解得，故抛物线方程为，准线方程为，A正确. 设，联立，消去整理得，由，得，，计算得，故，又不共线，故为钝角，B正确. 设中点，得，代入得，故，，当时，当时，由均值不等式得，当且仅当时取等号，故的最大值为，C错误. 由抛物线定义得，当时，，，，，得，当时，中垂线斜率为，中垂线方程为，将代入得，化简得，故，即，D正确. 故选：ABD. 11.（2025-2026·广西柳州高二上期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】设，， 由抛物线得焦点坐标为， 设直线的方程为. 联立方程组，消去化简得， 解得或. 因为点在第一象限， 故，即，， 由抛物线定义得，结合得，故A正确. ， 故，B正确. 计算得，故C正确. 时直线的一般式为， 原点到直线的距离，， 故，故D错误. 故选：ABC 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为                   ． 【答案】8 【解析】由双曲线得, 故双曲线右焦点为. 由抛物线的焦点与双曲线右焦点重合,得, 故. 13.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝                  . 【答案】 【解析】因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1， 解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 14.（2025-2026·山东日照高二上月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则                   . 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，直线斜率不为， 设直线的方程为. 联立， 化简得， 可得， 计算得. 由，，得，结合， 整理得. . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·四川自贡高二上期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且 (1)求抛物线的方程； (2)直线交抛物线于，两点，求. 【答案】(1) 解：抛物线的准线方程为， 由抛物线定义得，结合，解得， 故抛物线的方程为. (2) 解：联立，解得或， 即，， 代入两点间距离公式得. 16.（2025-2026·江西九江高二上期末）设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交于，两点. (1)若点到直线的距离为，求直线的斜率； (2)若，求的面积. 【答案】(1) 解：由抛物线准线方程得，即. 抛物线的方程为，焦点. 设直线的方程为，，. 联立，得. 得，故. 由点到直线的距离为，得，解得，满足， 故直线的斜率为. (2) 解：，. 由，得. . 结合(1)的结论，代入得, 化简得，满足. 的面积. ，故. 代入得. 学科网（北京）股份有限公司 $