3.2.2 第2课时 双曲线的简单几何性质-双曲线几何性质的应用同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 选择性必修第一册 3.2.2双曲线的简单几何性质 第2课时双曲线几何性质的应用 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)过点作直线与双曲线只有一个公共点,则这样的直线可作两条.( ) (2)直线与双曲线有两个公共点.( ) (3)若直线与双曲线相切,则直线与双曲线有且只有一个公共点.( ) 2.若直线与双曲线相交,则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 3.请思考并回答下列问题: (1)与双曲线只有一个公共点的直线是双曲线的切线吗? (2)如何判断直线与双曲线()的两个交点是在同一支上,还是在两支上? 二、知识点自测 知识点1 直线与双曲线的位置关系 1.记双曲线()的离心率为,写出满足条件"直线与无公共点"的的一个值:____. 2.已知双曲线,直线,试确定满足下列条件的实数的取值范围. (1)直线与双曲线有两个不同的公共点; (2)直线与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线与双曲线没有公共点. 知识点2 弦长与中点弦问题 1.已知双曲线,求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 2.过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,与双曲线交于两点,求弦的长及的中点到右焦点的距离. 3.已知直线与双曲线相交于点,为原点,求的面积. 知识点3 直线与双曲线的综合应用 1.如图,直线和曲线()在同一平面直角坐标系中的位置可能是( ) A．A B．B C．C D．D 2.已知双曲线()的左、右顶点分别为,过点的直线交双曲线于两点. (1)若双曲线的离心率,求的值; (2)若,为等腰三角形,且点在第一象限,求点的坐标; (3)连接(为原点)并延长,交双曲线于另一点,若,求的取值范围. 3.已知双曲线()的离心率为,且. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线与双曲线交于不同的两点,且线段的中点在圆上,求的值. 三、课后练习 A组　夯实基础 1."直线与双曲线相切"是"直线与双曲线恰有一个公共点"的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.(多选)直线与双曲线有公共点,则的值不可能为( ) A．3 B．2 C．1 D．-3 3.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与直线交于两点.若,则该双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 4.已知双曲线的右焦点为,过点作一条直线与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为,为坐标原点,则( ) A．4 B．5 C．6 D．8 5.若直线与双曲线的右支交于不同的两点,则的取值范围是____. 6.设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果(为坐标原点),那么此双曲线的离心率为____. 7.已知直线与双曲线相切,则实数的值为____. 8.已知双曲线(),其一条渐近线被圆截得的弦长为,则____. B组　能力提升 1.若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上的一点,并且过点与双曲线的右焦点的直线垂直于轴,则线段的长为( ) A． B． C．3 D． 2.已知双曲线()的左、右焦点分别为,为坐标原点,过作的一条渐近线的垂线,垂足为,且,则双曲线的离心率为( ) A． B． C．2 D． 3.(多选)已知双曲线过点,且渐近线为,则下列结论正确的是( ) A．的方程为 B．的离心率为 C．直线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点 4.过点作斜率为的直线,交双曲线()于两点,点为的中点,则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 5.已知双曲线()的右焦点为.若过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是____. 6.已知双曲线的方程为,则以点为中点的双曲线的弦所在的直线的方程为____. 7.已知双曲线(),其一条渐近线被圆截得的弦长为4,则____. 8.双曲线的右焦点为,直线过点且与双曲线交于两点,直线的倾斜角为60°,为坐标原点. (1)求; (2)求的面积. C组 思考题 1.（中点弦定理）已知双曲线(),一条直线与双曲线相交于点(),弦的中点为,为原点,求的值. 2. （中点弦定理的应用）已知斜率为的直线与双曲线()交于两点,若线段的中点为,求双曲线的渐近线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修第一册 3.2.2双曲线的简单几何性质 第2课时双曲线几何性质的应用 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)过点作直线与双曲线只有一个公共点,则这样的直线可作两条.(×) (2)直线与双曲线有两个公共点.(√) (3)若直线与双曲线相切,则直线与双曲线有且只有一个公共点.(√) 2.若直线与双曲线相交,则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题易得,双曲线的渐近线方程为,故. 将代入,得, 由,得. 故实数的取值范围为. 3.请思考并回答下列问题: (1)与双曲线只有一个公共点的直线是双曲线的切线吗? 【答案】不一定,与双曲线只有一个公共点的直线有两种:一种是与渐近线平行的直线;另一种是与双曲线相切的直线. (2)如何判断直线与双曲线()的两个交点是在同一支上,还是在两支上? 【答案】利用联立消元后的一元二次方程判断,若两根同号,则直线与双曲线的两个交点在一支上;若两根异号,则直线与双曲线的两个交点在两支上. 二、知识点自测 知识点1 直线与双曲线的位置关系 1.记双曲线()的离心率为,写出满足条件"直线与无公共点"的的一个值:____. 【答案】2(满足皆可) 【详解】因为双曲线的渐近线方程为. 结合渐近线的特点可知,只需,即, 可满足条件"直线与无公共点",所以.又因为,所以. 2.已知双曲线,直线,试确定满足下列条件的实数的取值范围. (1)直线与双曲线有两个不同的公共点; (2)直线与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线与双曲线没有公共点. 【答案】见解析 【详解】联立,, 消去,得(*) 当,即时,. (1)由,,得且,此时方程(*)有两个不同的实数根,即直线与双曲线有两个不同的公共点. 故实数的取值范围为. (2)由,得, 此时方程(*)可化为, 得 故方程(*)只有一个实数根,即直线与双曲线相交,有且只有一个公共点. 当,即时,直线与双曲线的渐近线平行,方程(*)可化为一次方程,只有一个实数根,即直线与双曲线相交,有且只有一个公共点. 综上,当或时,直线与双曲线有且只有一个公共点. (3)由,,得或, 此时方程(*)无实数根,即直线与双曲线没有公共点. 所以实数的取值范围为. 知识点2 弦长与中点弦问题 1.已知双曲线,求过点且被点平分的弦所在直线的方程. 【答案】 【详解】(方法一)由题意知直线的斜率存在,故可设直线方程为,即. 由,, 消去,整理得, 设,则. 因为为的中点,所以,即,解得. 当时,方程有两个不相等的实数根,符合题意. 所以所求直线的方程为,即. (方法二)设. 因为均在双曲线上,所以,, 两式相减,得. 所以. 因为点平分弦,所以,. 所以. 经验证,该直线存在. 所以所求直线的方程为,即. 2.过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,与双曲线交于两点,求弦的长及的中点到右焦点的距离. 【答案】， 【详解】由题意可得, 所以直线的方程为. 代入双曲线方程,得,. 设,则,, 所以. 又,所以. 所以. 3.已知直线与双曲线相交于点,为原点,求的面积. 【答案】 【详解】由,, 得,. 设,则,, 所以, 所以. 原点到直线的距离为, 所以. 知识点3 直线与双曲线的综合应用 1.如图,直线和曲线()在同一平面直角坐标系中的位置可能是( ) A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【详解】直线方程可化为,曲线方程可化为. 对于A,直线斜率,截距即,此时曲线即,表示焦点在轴上的双曲线,与图A相符,故A正确; 对于B,直线斜率,截距即,此时曲线应为双曲线,而图B中曲线为椭圆,故B不正确; 对于C,直线斜率,截距即,此时曲线中,表示焦点在轴上的双曲线,而图C中曲线为椭圆,故C不正确; 对于D,直线斜率,截距即,此时曲线表示椭圆,而图D中曲线为双曲线,故D不正确.故选A. 2.已知双曲线()的左、右顶点分别为,过点的直线交双曲线于两点. (1)若双曲线的离心率,求的值; (2)若,为等腰三角形,且点在第一象限,求点的坐标; (3)连接(为原点)并延长,交双曲线于另一点,若,求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】(1)由题意得,则,. (2)当时,双曲线,,,. 因为为等腰三角形,则 ①当以为底时,显然点在直线上,这与点在第一象限矛盾,故舍去; ②当以为底时,,设,则,, 联立解得,或,, 其中与重合,舍去;不在第一象限,舍去; ③当以为底时,,设,其中,,则有,, 解得,,即. 综上所述,点的坐标为. (3)由题意知,, 当直线的斜率为0时,,不合题意,则. 设直线,, 根据双曲线的对称性知, 联立,, 消去并整理得, 显然二次项系数, , ①,②, ,,则. 因为在直线上,则,, 即,即. 将①②代入上式有, 即, 化简得, 所以,代入到,得,即, 又,解得,即. 又因为,所以且. 综上,. 3.已知双曲线()的离心率为,且. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线与双曲线交于不同的两点,且线段的中点在圆上,求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)由题意得,, 解得,. 所以, 所以双曲线的方程为. (2)设两点的坐标分别为,线段的中点为. 由,, 得,. 所以,. 因为点在圆上, 所以,解得. 三、课后练习 A组　夯实基础 1."直线与双曲线相切"是"直线与双曲线恰有一个公共点"的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线与双曲线相切,则直线与双曲线恰有一个公共点,充分性成立;反之,若直线与双曲线恰有一个公共点,该直线也可能与渐近线平行,不一定相切,必要性不成立.故"直线与双曲线相切"是"直线与双曲线恰有一个公共点"的充分不必要条件.故选A. 2.(多选)直线与双曲线有公共点,则的值不可能为( ) A．3 B．2 C．1 D．-3 【答案】AD 【详解】由,,得. 由题意知或且, 解得,即. 经判断只有与不符合,故选AD. 3.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与直线交于两点.若,则该双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等轴双曲线的方程为(),与联立,得,即, 所以, 由,解得, 所以该双曲线的方程为.故选B. 4.已知双曲线的右焦点为,过点作一条直线与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为,为坐标原点,则( ) A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】双曲线的右焦点为,渐近线方程为,到渐近线的距离, 则. 所以.故选C. 5.若直线与双曲线的右支交于不同的两点,则的取值范围是____. 【答案】 【详解】由,,得. 由题意,得,,,, 解得, 所以的取值范围是. 6.设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果(为坐标原点),那么此双曲线的离心率为____. 【答案】 【详解】不妨设双曲线的方程为(),则焦点,端点. 在Rt中,,所以. 又,所以,所以,即. 7.已知直线与双曲线相切,则实数的值为____. 【答案】 【详解】由,,得. 当,即时,直线与双曲线的渐近线平行,只有一个公共点,不合题意; 当时,由相切得,即,解得. 8.已知双曲线(),其一条渐近线被圆截得的弦长为,则____. 【答案】 【详解】依题意,的渐近线方程为, 不妨取渐近线,则圆心到的距离. 由圆的性质得,所以,解得,即. B组　能力提升 1.若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上的一点,并且过点与双曲线的右焦点的直线垂直于轴,则线段的长为( ) A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由条件知双曲线中,,,, 又轴,把代入,得, 即,不妨取,所以.故选B. 2.已知双曲线()的左、右焦点分别为,为坐标原点,过作的一条渐近线的垂线,垂足为,且,则双曲线的离心率为( ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图.由题意得,设一条渐近线的方程为, 则,由勾股定理得. 因为垂直于渐近线,所以. 因为,又, 在中,由余弦定理的推论得. 因为,所以, 化简得,所以,故.故选A. 3.(多选)已知双曲线过点,且渐近线为,则下列结论正确的是( ) A．的方程为 B．的离心率为 C．直线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点 【答案】AC 【详解】当焦点在轴上时,设双曲线的标准方程为(),由题意可知,所以,即 所以双曲线方程可化为. 又点在双曲线上,所以,所以,, 所以双曲线的方程为. 同理可得,当焦点在轴上时,双曲线方程不存在,故A正确. 双曲线的离心率,故B错误. 双曲线的一个焦点恰在直线上,故C正确. 联立,, 消去,得, 因为,故直线与双曲线没有公共点,故D错误.故选AC. 4.过点作斜率为的直线,交双曲线()于两点,点为的中点,则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点, 代入双曲线方程得,, 两式作差后整理得,即. 由题易知,,,所以,即. 所以,得.故选A. 5.已知双曲线()的右焦点为.若过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是____. 【答案】 【详解】由题意,知,则,所以,即,所以. 故双曲线的离心率的取值范围是. 6.已知双曲线的方程为,则以点为中点的双曲线的弦所在的直线的方程为____. 【答案】 【详解】设弦的两端点分别为,则,,两式相减,得. 又,, 所以,即. 因此直线的方程为,即. 经验证,直线与双曲线相交. 因此所求直线方程为. 7.已知双曲线(),其一条渐近线被圆截得的弦长为4,则____. 【答案】2 【详解】依题意,的渐近线方程为, 不妨取渐近线,则圆心到的距离. 由圆的性质得,所以,解得,即. 8.双曲线的右焦点为,直线过点且与双曲线交于两点,直线的倾斜角为60°,为坐标原点. (1)求; (2)求的面积. 【答案】（1） ；（2） 【详解】(1)由题意,双曲线中,,,,其右焦点为. 由直线的倾斜角为60°,得斜率, 所以直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程,, 消去,并整理得,易得. 不妨设,则,. 由弦长公式得. (2)由题意,在中,边上的高即为原点到直线的距离, 即, 故, 所以. C组 思考题 1.（中点弦定理）已知双曲线(),一条直线与双曲线相交于点(),弦的中点为,为原点,求的值. 【答案】 【详解】将代入双曲线方程得, 并整理得. 已知弦的中点为, 因为,则,即,所以. 2. （中点弦定理的应用）已知斜率为的直线与双曲线()交于两点,若线段的中点为,求双曲线的渐近线方程. 【答案】 【详解】设,代入双曲线方程得,, 两式相减得. 由题意可知,的中点为,直线的斜率为,所以,,, 所以,解得,即. 所以双曲线的渐近线方程是. 学科网（北京）股份有限公司 $