3.2.2　双曲线的简单几何性质（第2课时：直线与双曲线位置关系的综合应用）同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2　双曲线的简单几何性质 （第2课时：直线与双曲线位置关系的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【例2】已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【例3】已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【基础夯实】 一、单选题 1．过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 5．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 6．设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 7．已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 8．已知双曲线：过点，左、右焦点分别为，，且一条渐近线的方程为，点为双曲线上任意一点，则（    ） A．双曲线的方程为 B． C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．的最小值为1 9．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则（    ） A．点必落在第四象限 B． C． D．是双曲线的一条渐近线 三、填空题 10．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 11．设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 12．已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为_________． 四、解答题 13．已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 14．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　双曲线的简单几何性质 （第2课时：直线与双曲线位置关系的综合应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法进行求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. （2）设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 【例2】已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）略 【例3】已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据条件可求的值，进而求双曲线的离心率. （2）根据双曲线的对称性可得三角形的面积为，进而可得点的纵坐标，进而求. 【详解】（1），，，. ，. 双曲线的离心率. （2）直线与双曲线交于A，B两点， 如图： 两点关于原点为O对称，设，. 又，三角形的面积为. ，. 又点在双曲线上，则. 所以， 所以. 【基础夯实】 一、单选题 1．过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，分两类讨论：平行于渐近线的直线，和与双曲线相切的直线，再统计总数． 【详解】解：双曲线方程为，点在双曲线的两支之间（代入得，无实数解，说明轴与双曲线无交点） 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为 过点 作平行于这两条渐近线的直线，即 和 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有 4 条． 故选：D. 2．已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于为等腰直角三角形，所以，通过双曲线的性质可知，整理可得，最后求得的离心率. 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 3．若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，直线过，根据双曲线渐近线的斜率可得到取值范围. 【详解】双曲线的标准形式为，渐近线为， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即，此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示， 要使直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则直线必须在两渐近线之间， 此时的取值范围为，故D正确. 4．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 5．两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由渐近线方程为可设双曲线方程为，联立直线方程可得，结合韦达定理和弦长公式，即可得解． 【详解】由双曲线渐近线为，即， 可设双曲线方程为（）， 直线即，代入双曲线方程得， 整理得二次方程， 设直线与双曲线交点为、，由韦达定理得，， 直线斜率，弦长公式为， 代入已知弦长，得，两边平方得， 化简得，即，解得满足， 代回设的方程得，两边同除以，即得双曲线方程为. 6．设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由点到轴的距离结合双曲线定义，得到，利用焦半径公式及可求解. 【详解】因为点到轴的距离， 所以点到两焦点的距离之和， 由焦半径公式，所以， 所以，得，又由焦点坐标可知， 所以，解得， 故选：C. 二、多选题 7．已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合双曲线的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由点，且点满足， 根据双曲线的定义，可得点是以为焦点的双曲线的右支，且， 所以双曲线的方程为， 又由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点， 由双曲线的渐近线方程为， 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支相切，只有一个公共点，符合题意，所以A正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意，所以B正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意，所以C不正确； 当时，直线的方程为，联立方程组，其中， 可得，此时，且易知方程有两个正根， 所以直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，所以D不正确. 故选：AB. 8．已知双曲线：过点，左、右焦点分别为，，且一条渐近线的方程为，点为双曲线上任意一点，则（    ） A．双曲线的方程为 B． C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．的最小值为1 【答案】ACD 【分析】由渐近线的方程可得，又点在双曲线上，可求出双曲线的方程，可判断选项A；根据条件可得，可判断选项B; 设点由点到直线的距离结合点在双曲线上，可判断选项C；当点为双曲线的左顶点时，取得最小值为，可判断选项D. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以， 又双曲线过点，所以，得，， 所以双曲线的标准方程为，选项A正确； 易知，所以，所以，所以选项B不正确； 设点，则点到两渐近线的距离的乘积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以点到两渐近线的距离的乘积为，所以选项C正确； 当点为双曲线的左顶点时，取得最小值为1，所以选项D正确． 故选：ACD． 9．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2.若是面积为8的直角三角形，则（    ） A．点必落在第四象限 B． C． D．是双曲线的一条渐近线 【答案】AC 【分析】对于A，利用条件结合图形易判断；对于B，由条件表示出的三边，利用三角函数的定义即得；对于C，由B项条件，根据的面积，求得，再利用双曲线定义求出的值，即可求出的值；对于D，结合C项结论，可得双曲线方程，由其渐近线方程即可判断. 【详解】 对于A，如图，直线的斜率为2，且是直角三角形，故点必落在第四象限，故A正确； 对于B，由题可知设， 则则故，故В错误； 对于C，如B项所设，得， 则即， 由双曲线的定义可得：则 故，即C正确； 对于D，由上分析，双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为故D错误. 故选：AC. 三、填空题 10．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 11．设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 12．已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据双曲线上关于原点对称的点，根据向量的坐标运算得到，然后练习双曲线方程，得，根据范围即可求解. 【详解】，设，则， ， ，化简得 ，因为满足双曲线方程，所以，因此可得： ，由 得 ，又，所以 . 故答案为： 四、解答题 13．已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可. 【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得，，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得，    ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 14．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 【答案】(1) (2) 如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $