3.2.2第2课时双曲线几何性质的应用同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 3.2.2 双曲线几何性质的应用同步练习（高二数学人教A版选择性必修第一册），通过三层递进设计，覆盖从基础性质应用到综合代数推理，培养数学思维与运算能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|直线与双曲线位置关系、等轴双曲线方程|直接应用定义与性质，如过顶点直线交点判断，巩固渐近线概念| |综合应用层|离心率、弦长计算、中点坐标问题|结合方程思想与代数运算，如弦长计算需联立方程用韦达定理| |拓展探究层|距离乘积证明、面积计算与最值问题|综合几何性质与代数推理，如最小值求解体现函数思想，培养逻辑推理能力|

3.2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线几何性质的应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.直线l过点（，0）且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有（　 ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.若直线y＝kx－1与双曲线－＝1有且只有一个公共点，则k的取值为（　 ） A.k＝± B.k＝± C.k＝±或k＝± D.k∈⌀ 3．已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为（　 ） A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9 C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25 4.（多选）已知双曲线C：－＝1（m＞0）过点（3，），则下列结论正确的是（　 ） A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 5.已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点F的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为（　 ） A.3 B.4 C.6 D.6 6.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知｜PF2｜＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（　 ） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 7.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（　 ） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 二、填空题 8.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F（－，0）作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长｜AB｜＝　 　. 9.祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点（，2），则双曲线的方程为 ；若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为 . 三、解答题 10.已知双曲线C：－y2＝1，P为双曲线C上的任意一点. （1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A的坐标为（3，0），求｜PA｜的最小值. 11.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. （1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； （2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且S△OAB＝，求实数k的值. 解析版 一、选择题 1.直线l过点（，0）且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有（　C　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：根据双曲线的方程可知，点（，0）即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，又过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.故过点（，0）且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条. 2.若直线y＝kx－1与双曲线－＝1有且只有一个公共点，则k的取值为（　C　） A.k＝± B.k＝± C.k＝±或k＝± D.k∈⌀ 解析：将直线方程代入双曲线方程， 整理得（9－4k2）x2＋8kx－40＝0. 当9－4k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线只有一个公共点； 当9－4k2≠0，Δ＝（8k）2－4（9－4k2）×（－40）＝0时，直线与双曲线相切，只有一个公共点，解得k＝±. 3．已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　B　) A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9 C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25 解析：设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与y＝x联立，得x2－a2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝0，x1x2＝－， ∴|AB|＝×a＝2， ∴a＝3，故选B. 4.（多选）已知双曲线C：－＝1（m＞0）过点（3，），则下列结论正确的是（　AC　） A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 解析：由双曲线C过点（3，），可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为双曲线C的离心率为e＝＝＝，所以选项B错误；因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确；将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝（－4）2－4×3×4＝－32＜0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D错误. 5.已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点F的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为（　D　） A.3 B.4 C.6 D.6 解析：∵双曲线C：－＝1，则c2＝4， ∴右焦点为F（2，0），根据题意易得过点F的直线斜率存在，设其方程为y＝k（x－2），A（xA，yA），B（xB，yB）， 联立 化简得（1－k2）x2＋4k2x－4k2－2＝0， 则1－k2≠0，Δ＝（4k2）2－4（1－k2）（－4k2－2）＞0， ∴xA＋xB＝，xAxB＝. ∵线段AB中点的横坐标为4， ∴xA＋xB＝＝8， 解得k2＝2，∴xAxB＝＝10， 则（xA－xB）2＝（xA＋xB）2－4xAxB＝82－4×10＝24， 则｜AB｜＝＝＝6. 6.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知｜PF2｜＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为（　D　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：过F2（c，0）作渐近线y＝x的垂线，垂足为P，则垂线方程为y＝－（x－c）， 则｜PF2｜＝＝b＝2， 所以b＝2， ① 联立 可得x＝，y＝， 即P（，）. 直线PF1的斜率为＝， 整理得（a2＋c2）＝4ab， ② a2＋b2＝c2， ③ ①②③联立得，a＝，c＝， 故双曲线的方程为－＝1. 7.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（　B　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），将y＝x－1代入双曲线方程，整理得（b2－a2）x2＋2a2x－a2－a2b2＝0，a2≠b2，由根与系数的关系得x1＋x2＝，则＝＝－.又c2＝a2＋b2＝7，所以a2＝2，b2＝5，所以此双曲线的方程是－＝1.故选B. 二、填空题 8.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F（－，0）作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长｜AB｜＝　10　. 9.祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点（，2），则双曲线的方程为　－x2＝1　；若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为　3π　. 解析：由题设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）. ∵双曲线C的离心率e＝＝， ∴c＝a， ∴c2＝a2＋b2＝a2， ∴b2＝a2， 即双曲线的方程为－＝1，又双曲线过点（，2）， ∴－＝1，a2＝3，b2＝1， 即双曲线方程为－x2＝1， 则渐近线方程为y＝±x. 取直线x＝m（0≤m≤1）， 代入－x2＝1，得y＝， 代入y＝x，得y＝m， ∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝（3＋3m2）π－3m2π＝3π. 又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势既同”，故它绕x轴旋转一周所得几何体的体积为3π. 三、解答题 10.已知双曲线C：－y2＝1，P为双曲线C上的任意一点. （1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A的坐标为（3，0），求｜PA｜的最小值. 解：（1）证明：设P（x1，y1）是双曲线上任意一点.该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0，x＋2y＝0， ∴点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是＝＝，故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. （2）由（1）知点P的坐标为（x1，y1），｜x1｜≥2， 则｜PA｜2＝（x1－3）2＋ ＝（x1－3）2＋－1 ＝（x1－）2＋. ∵｜x1｜≥2， ∴当x1＝时，｜PA｜2取最小值， ∴｜PA｜的最小值为. 11.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1. （1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； （2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且S△OAB＝，求实数k的值. 解：（1）因为双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的解，消去y并整理，得（1－k2）x2＋2kx－2＝0. 由题知，此方程必有两个不相等的实根x1，x2， 则 解得－＜k＜且k≠±1，此时双曲线C与直线l有两个不同的交点. （2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），点O到直线l的距离为h， ∴ ∵S△OAB＝｜AB｜·h ＝·｜x1－x2｜· ＝｜x1－x2｜＝， ∴（x1－x2）2＝（2）2，即（）2＋＝8， 解得k＝0或k＝±. 又∵－＜k＜，且k≠±1， ∴当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为. 页 学科网（北京）股份有限公司 $