3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 选择性必修第一册 3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)双曲线与()的渐近线方程相同.( ) (2)等轴双曲线的离心率为.( ) (3)双曲线的渐近线方程为.( ) (4)双曲线的离心率越大,双曲线的张口越小.( ) 2.(多选)已知双曲线方程为,则( ) A．实轴长为 B．虚轴长为4 C．焦距为 D．离心率为 二、知识点自测 知识点1 根据双曲线的方程研究几何性质 1.(多选)已知双曲线方程为,则( ) A．焦点坐标为 B．渐近线方程为 C．离心率为 D．实轴长为4 2.关于椭圆与双曲线,下列说法正确的是( ) A．有相同的离心率 B．有相等的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的顶点 知识点2 根据几何性质求双曲线的方程 1.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在轴上,离心率为,且经过点; (2)渐近线方程为,且经过点. 2.已知双曲线()的离心率为2,顶点到渐近线的距离为,求双曲线的标准方程. 知识点3 求双曲线的离心率 1.已知为双曲线()的左、右焦点,过作垂直于实轴的直线交双曲线于两点(点在第一象限).若,则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 2.已知是双曲线()的左、右焦点,为双曲线上的点,若,求双曲线的离心率的取值范围. 三、课后练习 A组　夯实基础 1.(多选)已知双曲线的方程为,则下列说法正确的是( ) A．焦点在轴上 B．渐近线方程为 C．虚轴长为4 D．离心率为 2.已知双曲线,则下列说法中不正确的是( ) A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 3.(多选)以椭圆的顶点为顶点,离心率为2的双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 4.某建筑外形弧线的一段可以近似看成双曲线()下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3,离心率为,则该双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 5.双曲线方程为,其中,双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 6.已知直线是双曲线()的一条渐近线,则此双曲线的离心率为____. 7.设双曲线()的左、右焦点分别为,离心率为2,为上一点,且.若的面积为,则____. B组　能力提升 1.(数学文化)某博物馆收藏的唐代金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线()的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体.若为右支上的一点,为的左焦点,则与到的一条渐近线的距离之和的最小值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 2.已知左、右焦点分别为的双曲线()过点,点在双曲线上.若,则( ) A．2 B．4 C．6 D．8 3.设为双曲线()的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于两点.若(为虚半轴长),则的离心率为( ) A． B． C．2 D． 4.已知圆与双曲线()的渐近线有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为____. 5.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点. (1)求双曲线的方程; (2)若点在双曲线上,求证:; (3)在(2)的条件下,求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修第一册 3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)双曲线与()的渐近线方程相同.(×) (2)等轴双曲线的离心率为.(√) (3)双曲线的渐近线方程为.(√) (4)双曲线的离心率越大,双曲线的张口越小.(×) 2.(多选)已知双曲线方程为,则( ) A．实轴长为 B．虚轴长为4 C．焦距为 D．离心率为 【答案】AC 【详解】将双曲线方程化为标准方程为,可得,,, 所以双曲线的实轴长为,虚轴长为2,焦距为,离心率为.故选AC. 二、知识点自测 知识点1 根据双曲线的方程研究几何性质 1.(多选)已知双曲线方程为,则( ) A．焦点坐标为 B．渐近线方程为 C．离心率为 D．实轴长为4 【答案】AC 【详解】因为双曲线方程为,所以,,, 所以该双曲线的焦点坐标为,渐近线方程为,离心率,实轴长.故选AC. 2.关于椭圆与双曲线,下列说法正确的是( ) A．有相同的离心率 B．有相等的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的顶点 【答案】B 【详解】对于椭圆,,,,所以离心率,焦距,焦点为, 双曲线中,,,,则离心率,焦距,焦点为,顶点为. 综上可知,椭圆与双曲线有相等的焦距.故选B. 知识点2 根据几何性质求双曲线的方程 1.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在轴上,离心率为,且经过点; (2)渐近线方程为,且经过点. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)设所求双曲线的标准方程为(). 因为,所以,所以. 又由题意得,把代入,得,解得,. 所以所求双曲线的标准方程为. (2)(方法一)因为双曲线的渐近线方程为. 当焦点在轴上时,设所求双曲线的标准方程为(),则①.因为点在双曲线上,所以②. 联立①②,方程组无解. 当焦点在轴上时,设所求双曲线的标准方程为(),则③.因为点在双曲线上,所以④. 联立③④,解得,. 所以所求双曲线的标准方程为. (方法二)由双曲线的渐近线方程为,可设双曲线方程为(). 因为在双曲线上,所以,即. 所以所求双曲线的标准方程为. 2.已知双曲线()的离心率为2,顶点到渐近线的距离为,求双曲线的标准方程. 【答案】 【详解】记的半焦距为,由题意得的离心率①. 双曲线的顶点坐标为,渐近线方程为,则由题意得②. 又③. 联立①②③,解得,,. 所以双曲线的标准方程为. 知识点3 求双曲线的离心率 1.已知为双曲线()的左、右焦点,过作垂直于实轴的直线交双曲线于两点(点在第一象限).若,则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意,点的坐标为,与关于轴对称,所以关于轴对称,且,所以. 所以,即. 又,所以,两边同除以,得,解得或(舍去).故选A. 2.已知是双曲线()的左、右焦点,为双曲线上的点,若,求双曲线的离心率的取值范围. 【答案】 【详解】由题意得,, 解得,. 因为,即,所以.又,所以离心率的取值范围是. 三、课后练习 A组　夯实基础 1.(多选)已知双曲线的方程为,则下列说法正确的是( ) A．焦点在轴上 B．渐近线方程为 C．虚轴长为4 D．离心率为 【答案】ABD 【详解】双曲线的方程为,则双曲线的焦点在轴上,渐近线方程为,虚轴长为8,离心率为,判断知A,B,D正确. 2.已知双曲线,则下列说法中不正确的是( ) A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】A 【详解】因为,,所以,,. 因为双曲线的焦点在轴上,所以的焦点坐标为,顶点为,离心率为,虚轴长为.故选A. 3.(多选)以椭圆的顶点为顶点,离心率为2的双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为离心率为2,当顶点为时,,,,双曲线方程为;当顶点为时,,,,双曲线方程为.故选AC. 4.某建筑外形弧线的一段可以近似看成双曲线()下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3,离心率为,则该双曲线的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的一个焦点为,一条渐近线方程为,则焦点到渐近线的距离, 所以,,, 解得,, 所以该双曲线的方程为.故选A. 5.双曲线方程为,其中,双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意,可以求得双曲线的渐近线方程为,而圆的圆心为,半径为1,结合题意有,结合,得, 所以,所以有.故选A. 6.已知直线是双曲线()的一条渐近线,则此双曲线的离心率为____. 【答案】 【详解】因为双曲线的渐近线方程为,又直线是该双曲线的一条渐近线,可得, 所以,所以离心率为. 7.设双曲线()的左、右焦点分别为,离心率为2,为上一点,且.若的面积为,则____. 【答案】 【详解】不妨取点在第一象限,如图所示. 根据双曲线的定义可得,且. 由离心率为2,即,可得,即. 设,则. 由的面积为,可得,即. 由余弦定理的推论可得,即,整理可得,即,解得. B组　能力提升 1.(数学文化)某博物馆收藏的唐代金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为的双曲线()的右支与轴及平行于轴的两条直线围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体.若为右支上的一点,为的左焦点,则与到的一条渐近线的距离之和的最小值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由题意可知,,则,,所以, 所以双曲线,一条渐近线方程为.设双曲线的右焦点为,则到渐近线的距离为,所以与到的一条渐近线的距离之和的最小值为. 又因为,所以与到的一条渐近线的距离之和的最小值为.故选C. 2.已知左、右焦点分别为的双曲线()过点,点在双曲线上.若,则( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】由左、右焦点分别为的双曲线过点,可得, 解得,即.又,所以,. 因为点在双曲线上,若,可得在双曲线的左支上,则.故选C. 3.设为双曲线()的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于两点.若(为虚半轴长),则的离心率为( ) A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】如图,设与轴交于点,由对称性可知轴. 圆与以为直径的圆的公共弦所在直线方程为,即两圆交点的横坐标为. 所以.由,得,所以.故选C. 4.已知圆与双曲线()的渐近线有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为____. 【答案】 【详解】圆,双曲线的渐近线为,因为圆与双曲线的渐近线有公共点,所以圆心到渐近线的距离, 所以,所以. 5.已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点. (1)求双曲线的方程; (2)若点在双曲线上,求证:; (3)在(2)的条件下,求的面积. 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】(1)因为,所以可设双曲线的方程为(). 因为双曲线过点,所以,即. 所以双曲线的方程为,即. (2)证明:由(1)可知,,所以,不妨设分别为双曲线的左、右焦点,则,. (方法一)因为,,所以. 因为点在双曲线上,所以,即,所以, 所以,所以. (方法二)因为,,所以. 因为点在双曲线上,所以,即,所以. (3)由(2)知的底边长,的高,所以. 学科网（北京）股份有限公司 $