3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线几何性质，通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三层设计，实现从概念理解到综合推理的递进，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|焦点、焦距、渐近线等概念|选择1比较两双曲线性质，填空8直接计算焦点坐标与距离，强化概念辨析| |中档|标准方程、离心率、渐近线应用|选择3-5结合点在双曲线上求参数，填空9联系太极图情境建模，提升知识迁移能力| |拔高|综合性质与逻辑推理|选择6-7涉及向量与离心率综合，解答11求离心率范围，培养数学语言表达与批判性思维|

3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.（多选）关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是（　 ） A.有相同的焦点 B.有相同的焦距 C.有相同的离心率 D.有相同的渐近线 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（　 ） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3.已知双曲线－＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P（，y0）在该双曲线上，则＝（　 ） A.－12 B.－2 C.0 D.4 4.若双曲线的实轴长、虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（　 ） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足｜PF1｜∶｜PF2｜∶｜F1F2｜＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为（　 ） A.2 B. C. D.5 6.双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），O是坐标原点，F是双曲线C的右焦点，离心率是e，已知A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线x＝的交点，则的值为（　 ） A.0 B.－e C.2 D. 7.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为10，点P（2，1）在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为（　 ） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 二、填空题 8．已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是___ _____． 9.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆（简称大圆）和两个互相外切且半径相等的圆（简称小圆）的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心（图中两个黑白点视为小圆的圆心）为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线的实轴长是 . 三、解答题 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； （2）渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6； （3）与双曲线－＝1共渐近线，且经过点P（－5，2）. 11.已知F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围. 解析版 一、选择题 1.（多选）关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是（　BD　） A.有相同的焦点 B.有相同的焦距 C.有相同的离心率 D.有相同的渐近线 解析：两方程均化为标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以两双曲线有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，故A错误，B正确；又两双曲线的渐近线均为y＝±x，故D正确；C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，故C错误. 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（　D　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3.已知双曲线－＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P（，y0）在该双曲线上，则＝（　C　） A.－12 B.－2 C.0 D.4 解析：∵y＝x为其中一条渐近线方程，∴b＝，即双曲线方程为x2－y2＝2.当x＝时，＝1. 又双曲线的半焦距为2， ∴F1（－2，0），F2（2，0）， ∴＝（－2－，－y0）·（2－，－y0）＝－1＋＝－1＋1＝0. 4.若双曲线的实轴长、虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（　B　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由题意可设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），则可列方程组解得a＝2，b＝2，c＝2. ∴双曲线的标准方程为－＝1. 5.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足｜PF1｜∶｜PF2｜∶｜F1F2｜＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为（　B　） A.2 B. C. D.5 解析：e＝＝＝. 6.双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），O是坐标原点，F是双曲线C的右焦点，离心率是e，已知A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线x＝的交点，则的值为（　A　） A.0 B.－e C.2 D. 解析：根据题意得斜率为正的渐近线方程是y＝x，则A点的坐标是（，），点F的坐标是（c，0），则＝（，）·（c－，－）＝a2－－＝a2－＝0.故选A. 7.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为10，点P（2，1）在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为（　A　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：因为双曲线C的焦距为10，所以a2＋b2＝c2＝25， 双曲线C的渐近线方程为－＝0， 又点P（2，1）在双曲线C的渐近线上， 所以－＝0，即a2＝4b2. 由可得所以双曲线C的方程为－＝1. 二、填空题 8．已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为 (3，0)；C的焦点到其渐近线的距离是． 解析：在双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9. ∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)，C的渐近线方程为y＝±x， 即y＝±x，即x±y＝0， 则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝. 9.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆（简称大圆）和两个互相外切且半径相等的圆（简称小圆）的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心（图中两个黑白点视为小圆的圆心）为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线的实轴长是　2　. 解析：如图，以两焦点所在直线为y轴，两焦点连线的线段的垂直平分线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的焦距为2c，由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，4c＝8，所以a＝b，c＝2，进而得a＝.故双曲线的实轴长为2. 三、解答题 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； （2）渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6； （3）与双曲线－＝1共渐近线，且经过点P（－5，2）. 解：（1）由双曲线两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6， 于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. （2）设双曲线方程为4x2－9y2＝λ（λ≠0）， 即－＝1（λ≠0），由题意得a＝3. 当λ＞0时，＝9，解得λ＝36， 双曲线方程为－＝1； 当λ＜0时，＝9，解得λ＝－81， 双曲线方程为－＝1. 综上，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. （3）∵所求的双曲线与双曲线－＝1共渐近线， ∴设所求双曲线方程为－＝m（m≠0）. ∵点P（－5，2）在所求双曲线上， ∴－＝m，即m＝. ∴所求双曲线方程为－＝， 即双曲线的标准方程为－＝1. 11.已知F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围. 解：因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a， 则｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜， 所以＝＝＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅当＝｜PF2｜， 即｜PF2｜＝2a时等号成立， 所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a， 因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c， ｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c， 所以1＜≤3， 所以e∈（1，3]. 页 学科网（北京）股份有限公司 $