3.3.1抛物线及其标准方程　同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 选择性必修 第一册 3.3.1抛物线及其标准方程 一、概念自检 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)若点P到点F(2,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,则点P的轨迹是抛物线.( ) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等,则点P的轨迹是抛物线.( ) (3)若点P到点F(2,0)的距离比到直线x=-1的距离小1,则点P的轨迹是抛物线.( ) (4)抛物线的准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.( ) 2.准线为x=-1的抛物线的标准方程为( ) A． B． C． D． 3.请思考并回答下列问题: (1)抛物线标准方程中p的几何意义是什么? (2)方程为标准方程的抛物线的结构特征是什么? (3)如何判断抛物线的焦点位置和开口方向? 二、知识点自测 知识点1 求抛物线的标准方程 1.已知抛物线C与双曲线有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的标准方程是( ) A． B． C． D． 2.已知抛物线的顶点是原点,且经过点P(4,-2),则该抛物线的标准方程为 . 3.(1)准线方程为的抛物线的标准方程为 ; (2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程为 . 知识点2 抛物线定义的应用 1.已知动圆M与直线y=3相切,且与定圆C:外切,设动圆圆心为M(x,y),半径为r. (1)点M到定圆圆心C(0,-4)的距离与到直线y=4的距离有什么关系? (2)点M的轨迹是什么?求出其轨迹方程. 2.设点是抛物线上的一个动点,求点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值. 3.已知点P在抛物线上,那么点P到点Q(3,-2)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为( ) A． B． C．(2,2) D．(2,-2) 4.若动点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,求点M的轨迹方程. 知识点3 抛物线的实际应用 1.河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱顶4m时,水面宽为8m,一小船宽4m,高2m,载货后船露出水面的部分高0.75m,问:水面上涨到与拱桥顶相距多远时,小船开始不能通过? 2.如图是抛物线形桥拱,当水面的宽度为6m时,拱顶离水面3m.若水面下降0.63m,则水面宽为( ) A．6.3m B．6.6m C．3.3m D．6m 3.被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、灵敏度最高的单口径射电望远镜.其轴截面可以看作抛物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型,观测时呈口径AB为2m、高OC为1m的抛物面,则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为( ) A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m 三、课后练习 A组　夯实基础 1.已知M为抛物线上一点,且M到抛物线焦点F的距离为5,它到y轴的距离为3,则p=( ) A．4 B．3 C．2 D．1 2.(多选)关于抛物线y=2x²,下列描述正确的是( ) A．焦点坐标为(0,1) B． C． D．准线方程为y=-1 3.如果抛物线的焦点在直线3x-4y-9=0上,那么抛物线的方程是( ) A． B． C． D． 4.如图,已知某盖碗的碗体和碗盖的纵截面的形状均可近似看作抛物线的一部分,碗盖深为4cm,碗盖口直径为8cm,碗体口直径为10cm,碗体深6.25cm,则盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗体内部最低点的距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)( ) A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 5.已知抛物线C:的焦点为F,是C上一点,,则等于( ) A．4 B．2 C． D．8 6.已知抛物线的焦点在y轴上,顶点为坐标原点O,且经过点.若点P到该抛物线焦点的距离为5,则该抛物线的方程为 . 7.已知点在抛物线C:上,则A到C的准线的距离为 . 8.已知抛物线的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点.若△PQF是边长为4的正三角形,求p的值. B组　能力提升 1.(多选)下列关于抛物线的说法正确的有( ) A．焦点在x轴上 B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于4 C．焦点到准线的距离为4 D．由原点向过焦点的直线作垂线,垂足坐标可能为 2.已知A(3,-4),F为抛物线的焦点,点M在抛物线上移动,当取最小值时,点M的坐标为( ) A．(0,0) B． C． D． 3.(多选)已知为坐标原点,,是抛物线C:上的一点,F为其焦点,若F与双曲线的右焦点重合,则下列说法正确的有( ) A．若|,则点的横坐标为6 B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段的长度为 C．若的外接圆与抛物线C的准线相切,则该圆面积为 D．周长的最小值为5 4.在同一平面直角坐标系中,方程与(a>b>0)表示的曲线可能是( ) 5.抛物线上的两点A,B到焦点的距离之和是7,则线段的中点到y轴的距离是 . 6.为坐标原点,为抛物线C:的焦点,为上一点.若,则的面积为 . 7.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y+6=0; (2)过点(2,-3); (3)焦点在直线x+2y+10=0上. 8.设A,B为曲线C:上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)若A与B的纵坐标之和为4,求直线AB的方程. (2)证明:线段AB的垂直平分线过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第一册 3.3.1抛物线及其标准方程 一、概念自检 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)若点P到点F(2,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,则点P的轨迹是抛物线.( ) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等,则点P的轨迹是抛物线.( ) (3)若点P到点F(2,0)的距离比到直线x=-1的距离小1,则点P的轨迹是抛物线.( ) (4)抛物线的准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.( ) 【答案】见解析 【详解】(1)定点F(2,0)不在直线x=-2上,符合抛物线定义,正确; (2)定点F(1,0)在直线x+y-1=0上,不符合抛物线定义,错误; (3)点P到点F(2,0)的距离比到直线x=-1的距离小1,即点P到点F(2,0)的距离与到直线x=0的距离相等,而F(2,0)不在直线x=0上,符合抛物线定义,正确; (4)由抛物线的对称性可知正确. 2.准线为x=-1的抛物线的标准方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知,抛物线的焦点在x轴的正半轴上,,即,故抛物线的标准方程为. 3.请思考并回答下列问题: (1)抛物线标准方程中p的几何意义是什么? 【答案】的几何意义是焦点到准线的距离. (2)方程为标准方程的抛物线的结构特征是什么? 【答案】顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上. (3)如何判断抛物线的焦点位置和开口方向? 【答案】抛物线的焦点所在的坐标轴与标准方程中一次项变量一致,开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负. 二、知识点自测 知识点1 求抛物线的标准方程 1.已知抛物线C与双曲线有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的标准方程是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得双曲线的焦点为,.设抛物线C的方程为,则,所以p=4,抛物线C的标准方程为. 2.已知抛物线的顶点是原点,且经过点P(4,-2),则该抛物线的标准方程为 . 【答案】或 【详解】设抛物线的标准方程为或.将P(4,-2)分别代入,得m=1,n=-8,所以抛物线的标准方程为或. 3.(1)准线方程为的抛物线的标准方程为 ; (2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程为 . 【答案】(1)；(2)或 【详解】(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴,且,所以,所以所求抛物线的标准方程为. (2)已知抛物线的焦点在y轴上,故可设其方程为.由焦点到准线的距离为4,知|m|=4,所以m=±4.所以满足条件的抛物线的标准方程为,. 知识点2 抛物线定义的应用 1.已知动圆M与直线y=3相切,且与定圆C:外切,设动圆圆心为M(x,y),半径为r. (1)点M到定圆圆心C(0,-4)的距离与到直线y=4的距离有什么关系? (2)点M的轨迹是什么?求出其轨迹方程. 【答案】见解析 【详解】 (1)相等. (2)由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-4)为焦点,y=4为准线的一条抛物线,其方程为. 2.设点是抛物线上的一个动点,求点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值. 【答案】5 【详解】抛物线的焦点为F(0,-4),过点P作PP′垂直于准线y=4,垂足为P′ 由抛物线的定义知,所以. 故当P,A,F三点共线时,取到最小值为5. 3.已知点P在抛物线上,那么点P到点Q(3,-2)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为( ) A． B． C．(2,2) D．(2,-2) 【答案】A 【详解】由题意,抛物线的方程为,所以p=4,焦点为F(2,0). 如图所示,过点Q作准线x=-2的垂线,垂足为M,交抛物线于点P,则. 依题意可知,当P,Q,M三点共线且点P在Q、M之间时所求距离和最小,故点P的纵坐标为-2,代入抛物线的方程,求得,所以点P的坐标为.故选A. 4.若动点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,求点M的轨迹方程. 【答案】或y=0(x<0) 【详解】当动点M位于y轴上及y轴右侧时,因为动点M到F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,所以动点M到F(1,0)的距离与它到直线l:x=-1的距离相等.由抛物线的定义知,动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线.设方程为,其中,所以p=2,故点M的轨迹方程为. 当动点M位于y轴左侧时,点M的轨迹为x轴的负半轴. 综上所述,点M的轨迹方程为或y=0(x<0). 知识点3 抛物线的实际应用 1.河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱顶4m时,水面宽为8m,一小船宽4m,高2m,载货后船露出水面的部分高0.75m,问:水面上涨到与拱桥顶相距多远时,小船开始不能通过? 【答案】水面上涨到与拱顶相距1.75m时,小船开始不能通过. 【详解】如图,以拱桥的拱顶为坐标原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为,由题意可知,点B(4,-4)在抛物线上,代入抛物线方程得,故. 当船两侧和拱桥接触时,船不能通过,因为船宽4m,则A(). 由,得. 又知船露出水面上的部分高为0.75m,所以. 所以水面上涨到与拱顶相距1.75m时,小船开始不能通过. 2.如图是抛物线形桥拱,当水面的宽度为6m时,拱顶离水面3m.若水面下降0.63m,则水面宽为( ) A．6.3m B．6.6m C．3.3m D．6m 【答案】B 【详解】如图, 建立平面直角坐标系.设抛物线方程为.将A(3,-3)代入,得m=-3,所以.代入,得,,故水面宽为6.6米.故选B. 3.被称为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大、灵敏度最高的单口径射电望远镜.其轴截面可以看作抛物线的一部分.某学校科技小组制作了一个FAST模型,观测时呈口径AB为2m、高OC为1m的抛物面,则其轴截面所在的抛物线(图2)的顶点到焦点的距离为( ) A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m 【答案】A 【详解】如图,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系. 设抛物线的方程为. 由题意可得抛物线上一点A(1,1),代入抛物线方程可得,所以,即抛物线方程为,则抛物线的焦点坐标为,故顶点到焦点的距离为0.25m.故选A. 三、课后练习 A组　夯实基础 1.已知M为抛物线上一点,且M到抛物线焦点F的距离为5,它到y轴的距离为3,则p=( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】由题意得,,即,解得p=4.故选A. 2.(多选)关于抛物线y=2x²,下列描述正确的是( ) A．焦点坐标为(0,1) B． C． D．准线方程为y=-1 【答案】BC 【详解】由y=2x²,得,所以该抛物线开口向上,焦点坐标为,准线方程为.故选BC. 3.如果抛物线的焦点在直线3x-4y-9=0上,那么抛物线的方程是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知抛物线的焦点在x轴上,又直线3x-4y-9=0与x轴的交点为(3,0),故抛物线的焦点为(3,0),所以抛物线的方程为.故选B. 4.如图,已知某盖碗的碗体和碗盖的纵截面的形状均可近似看作抛物线的一部分,碗盖深为4cm,碗盖口直径为8cm,碗体口直径为10cm,碗体深6.25cm,则盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗体内部最低点的距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)( ) A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】D 【详解】以碗体的最低点为原点,向上方向为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设碗体的抛物线方程为,将(5,6.25)代入,得,解得p=2,则. 设盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗体内部最低的距离为hcm,则两抛物线在第一象限的交点为(4,h-4),代入,得,解得h=8.故选D. 5.已知抛物线C:的焦点为F,是C上一点,,则等于( ) A．4 B．2 C． D．8 【答案】C 【详解】如图,易知,准线的方程为. 过点A作⊥,垂足为A′,则,即,所以.故选C. 6.已知抛物线的焦点在y轴上,顶点为坐标原点O,且经过点.若点P到该抛物线焦点的距离为5,则该抛物线的方程为 . 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点在y轴上,顶点为坐标原点O,且经过点,所以可设抛物线的标准方程为. 由抛物线的定义可得,解得p=6. 所以抛物线的方程为. 7.已知点在抛物线C:上,则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【详解】由题意可得,则2p=6,抛物线的方程为,准线方程为,故A到C的准线的距离为. 8.已知抛物线的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点.若△PQF是边长为4的正三角形,求p的值. 【答案】 【详解】依题意得,设,(). 由抛物线定义及,得,所以,所以. 又,因此,不妨令点. 又点P位于该抛物线上,由抛物线的定义得, 即,解得. B组　能力提升 1.(多选)下列关于抛物线的说法正确的有( ) A．焦点在x轴上 B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于4 C．焦点到准线的距离为4 D．由原点向过焦点的直线作垂线,垂足坐标可能为 【答案】ACD 【详解】抛物线的焦点在x轴上,A满足. 设是抛物线上一点,则,B不满足. 因为中p=4,所以焦点到准线的距离为4,C满足. 由于抛物线的焦点为(2,0),设过该焦点的直线方程为,若由原点向该直线作垂线,垂足为(1,1),则k=-1,此时直线存在,D满足.故选ACD. 2.已知A(3,-4),F为抛物线的焦点,点M在抛物线上移动,当取最小值时,点M的坐标为( ) A．(0,0) B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示,过点M作准线l的垂线,垂足为E,由抛物线的定义知. 所以 当点M在抛物线上移动时,的值在变化,显然移动到时,三点共线,此时的值最小,.把代入,得, 所以当取最小值时,点的坐标为.故选. 3.(多选)已知为坐标原点,,是抛物线C:上的一点,F为其焦点,若F与双曲线的右焦点重合,则下列说法正确的有( ) A．若|,则点的横坐标为6 B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段的长度为 C．若的外接圆与抛物线C的准线相切,则该圆面积为 D．周长的最小值为5 【答案】BC 【详解】由双曲线方程知,所以抛物线C:. 对于A,设,则,解得,A错误; 对于B,抛物线准线方程为,由得, 所以抛物线的准线被双曲线截得的线段长度为,B正确; 对于C,因为外接圆圆心在线段的中垂线上,则其横坐标为1,又该圆与抛物线准线相切,所以该圆的半径,所以该圆的面积,C正确; 对于D,设和在准线上的射影分别为,由抛物线定义知,则(当且仅当三点共线时取等号,此时重合),又,, 所以周长的最小值为D错误.故选BC. 4.在同一平面直角坐标系中,方程与(a>b>0)表示的曲线可能是( ) 【答案】D 【详解】方程与可化为与. 因为,所以,.所以椭圆的焦点在轴上,抛物线的焦点在轴负半轴上.故选D. 5.抛物线上的两点A,B到焦点的距离之和是7,则线段的中点到y轴的距离是 . 【答案】 【详解】设抛物线的焦点为,准线方程为,设,,则,解得,所以线段AB的中点的横坐标为.故线段AB的中点到轴的距离是. 6.为坐标原点,为抛物线C:的焦点,为上一点.若,则的面积为 . 【答案】 【详解】抛物线C的准线方程为,焦点,由及抛物线的定义知,,从而, 所以. 7.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y+6=0; (2)过点(2,-3); (3)焦点在直线x+2y+10=0上. 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【详解】(1)准线方程为2y+6=0,即y=-3,则抛物线的焦点坐标为(0,3), 所以所求抛物线的标准方程为. (2)设所求抛物线的标准方程为或, 则,解得,或,解得, 所以所求抛物线的标准方程为或. (3)直线x+2y+10=0交y轴于点(0,-5),则以(0,-5)为焦点的抛物线的标准方程为; 直线x+2y+10=0交x轴于点(-10,0),则以(-10,0)为焦点的抛物线的标准方程为. 所以所求抛物线的标准方程为或. 8.设A,B为曲线C:上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)若A与B的纵坐标之和为4,求直线AB的方程. (2)证明:线段AB的垂直平分线过定点. 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】(1)由题意可得直线AB的斜率不为0,设直线AB方程为x=my+t,,, 联立化为,, 所以,,解得. 所以,解得t=1. 所以直线AB的方程为,即. (2)证明:设直线AB的方程为x=my+t,线段AB的中点为, ,, 则线段AB的垂直平分线的方程为, 化为, 可得线段AB的垂直平分线经过定点(6,0). 学科网（北京）股份有限公司 $