3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程. (1)焦点关于准线的对称点为； (2)关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12. 【答案】(1)标准方程为.焦点坐标，准线方程为 (2)标准方程为.焦点坐标，准线方程为 【分析】（1）设抛物线标准方程后得到焦点坐标和准线方程，由题意列出等量关系求得，从而得到抛物线标准方程，焦点坐标和准线方程； （2）设抛物线标准方程，由对称性得到交点坐标，将点坐标代入方程求得，从而得到抛物线标准方程，焦点坐标和准线方程. 【详解】（1）由题意知，可设抛物线的标准方程为，准线方程为， 又∵焦点关于准线的对称点为， ∴，解得， ∴所求抛物线的标准方程为.焦点坐标，准线方程为. （2）设所求抛物线的标准方程为， 直线与抛物线交于M，N两点，则， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得得， 故所求抛物线的标准方程为.焦点坐标，准线方程为. 【例2】已知点P在抛物线上 (1)若点P的横坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离； (2)若点P到抛物线焦点的距离为4，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出准线方程，根据抛物线得定义即可得出答案； （2）设点，根据抛物线的定义可求得，再代入抛物线方程即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：抛物线得准线方程为， 根据抛物线得定义可得： 点P到抛物线焦点的距离为； （2）解：设点， 根据抛物线得定义可得： 点P到抛物线焦点的距离为，所以， 则，所以， 所以点P的坐标为. 【例3】已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 【基础夯实】 一、单选题 1．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 2．已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】根据抛物线的几何性质，因为点为抛物线上的一点，抛物线的准线为，所以， 因此解得. 3．已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 4．设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，所以，得，则， 则直线的斜率为， 故的方程为，即 5．已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题可得，，设点，则， 由，可得，因为，所以解得. 6．若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据直线恒过点可求出点的坐标，再分抛物线的焦点在轴上和轴上两种情况分别求出抛物线的标准方程即可． 【详解】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 二、多选题 7．已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 【答案】BD 【详解】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1， 抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1． 故与的焦点不同，准线不同，离心率相同，与的焦点到准线的距离相同. 8．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，则（   ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】由抛物线的定义及抛物线的性质判断各选项. 【详解】对于抛物线，由题中方程知，故准线方程为，故选项A正确； 焦点坐标为，故选项B错误； 若，则，且，故，故选项C正确； 因为，点P在抛物线C上，故，故，故选项D错误， 故选：AC． 9．已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 【答案】BC 【分析】对A和B，根据条件，利用抛物线的性质，即可求解；对C，根据条件，利用抛物线的定义，即可求解；对D，根据条件，可得，即可求解. 【详解】对于A，抛物线：的焦点为，所以A错误， 对于B，抛物线：的准线方程为，所以B正确， 对于C，因为的准线方程为，过作于，过作于， 由抛物线定义知，又，所以，故C正确； 对于D，因为，由图可知，所以D错误. 三、填空题 10．若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【分析】先根据双曲线的标准方程求出，利用算出半焦距，从而确定右焦点坐标；再根据抛物线顶点在原点且焦点在轴正半轴上，设出标准方程，利用焦点坐标求出参数，即可得到抛物线方程. 【详解】已知双曲线，则， 由，解得半焦距.故双曲线的右焦点坐标为. 因为抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在轴正半轴上， 所以设抛物线的标准方程为，其焦点坐标为. 由题意知，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，即，解得. 所以抛物线的标准方程为. 11．已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 【答案】 【分析】作出图象，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，点作直线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，数形结合得点P到直线的距离之和为，当且仅当三点共线时等号成立，计算即可求解. 【详解】抛物线，即，焦点坐标，准线方程， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离， 过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则， 过点作直线的垂线，垂足为， 故点到直线的距离之和为， 当且仅当三点共线时等号成立， 即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即. 故答案为：. 12．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 四、解答题 13．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或． 【分析】（1）根据条件可设方程为，结合焦点到准线的距离可得结果； （2）根据点坐标确定抛物线开口方向，分类讨论，设出标准方程，代入坐标可得结果； （3）求直线与坐标轴交点，分类讨论可得结果. 【详解】（1）已知抛物线的焦点在轴上，可设方程为， 由焦点到准线的距离为5，知，， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为或． （2）因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得． 故所求抛物线的标准方程为或． （3）对于直线方程，令，得；令，得，所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 故所求抛物线的标准方程为或． 14．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据题意分析可知直线的斜率，根据抛物线方程以及斜率公式列式求解； （2）利用待定系数法，列方程即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，直线的倾斜角为，斜率， 设，且， 则，解得或（舍去）， 所以， （2）设的外接圆方程为, 由于，，, 故,解得, 故圆的方程为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程. (1)焦点关于准线的对称点为； (2)关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12. 【例2】已知点P在抛物线上 (1)若点P的横坐标为2，求点P到抛物线焦点的距离； (2)若点P到抛物线焦点的距离为4，求点P的坐标． 【例3】已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【基础夯实】 一、单选题 1．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．设抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 7．已知抛物线：与：，则（    ） A．与的焦点相同 B．与的离心率相同 C．与的准线相同 D．与的焦点到准线的距离相同 8．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，则（   ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 9．已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（    ） A． B．的准线方程为 C．的最小值为 D．当在上时， 三、填空题 10．若顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线的焦点与双曲线：的右焦点相同，则抛物线的标准方程为________． 11．已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 12．已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点且在第一象限，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 四、解答题 13．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 14．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点且在第一象限，. (1)求线段的长； (2)求的外接圆方程. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $