3.3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 选择性必修 第一册 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线几何性质的应用 一、概念自检 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)抛物线没有渐近线.( ) (2)过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦的长为p.( ) (3)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( ) (4)抛物线的图象上的点的横坐标的取值范围是.( ) 2.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则称AB为抛物线的焦点弦.设,,由抛物线的定义知, ， 3.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若弦AB中点的纵坐标为3,则= . 知识点1 抛物线几何性质 1.已知抛物线C:的焦点为F,是抛物线上一点,过点M向抛物线C的准线作垂线,垂足为D.若为等边三角形,则的值为( ) A． B． C．1 D．2 2.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长. 3.已知直线过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,且点和点关于直线的对称点都在上,求直线和抛物线C的方程. 知识点2 抛物线的焦半径和焦点弦 1.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若,则等于( ) A．4 B．9 C．5 D．6 2.(多选)设为坐标原点,直线过抛物线C:的焦点,且与C交于M,N两点,为C的准线,则( ) A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 3.设F为抛物线C:的焦点,过点F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则= . 4.设是坐标原点,F是抛物线的焦点,A是抛物线上的一点,与轴正方向的夹角为,求的面积. 知识点3 直线与抛物线的综合问题 1.设抛物线C:的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则△FNM的面积为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 2.已知抛物线E:经过点P(1,2). (1)求抛物线E的方程. (2)设直线与E的交点为A,B,且直线PA与PB的倾斜角互补,求的值. 三、课后练习 A组　夯实基础 1.抛物线C:的焦点为F,过F且倾斜角为60°的直线交C于A,B两点.若,则p=( ) A．2 B．4 C．6 D．12 2.过抛物线的焦点F作斜率为1的直线,交抛物线于A,B两点,若,则( ) A．2 B． C．4 D．6 3.设抛物线的焦点为F,经过点P(2,1)的直线与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则= . 4.已知抛物线,过点P(2,0)的直线与抛物线相交于,两点,则的最小值是 . 5.已知抛物线和点M(8,0),O为坐标原点,直线过点M,且与抛物线交于A,B两点. (1)求的值; (2)若△OAB的面积等于48,求直线的方程. B组　能力提升 1.A,B是抛物线上不同的两点,点F是抛物线的焦点,且(为原点)的重心恰为F,若,则( ) A．4 B．6 C．8 D．12 2.设抛物线的焦点为F,过抛物线上一点作其准线的垂线,设垂足为,若,则=( ) A．2 B． C．4 D．3 3.已知直线和直线,则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( ) A． B．2 C． D． 4.已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为 . 5.已知抛物线C:的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,且,则线段的中点到抛物线C的准线的距离为 . 6.已知点A,B是抛物线上的两点,O为原点,且OA⊥OB. (1)求A,B两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求证:直线AB过定点. 7.已知抛物线C:的焦点为F,斜率为2的直线与C的交点为A,B,与轴的交点为P. (1)若,求的方程; (2)若,求. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版 选择性必修 第一册 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线几何性质的应用 一、概念自检 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)抛物线没有渐近线.( ) (2)过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦的长为p.( ) (3)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( ) (4)抛物线的图象上的点的横坐标的取值范围是.( ) 【详解】（1）渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质,抛物线没有渐近线.(√) （2）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为,此弦长也称为通径长.(×) （3）当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点,此时不相切.(×) （4）因为,,所以(√) 2.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则称AB为抛物线的焦点弦.设,,由抛物线的定义知, ， 【答案】，， 【详解】如图, 过点A,B作准线的垂线,垂足分别为C,D. 由抛物线的定义可知,,, 所以. 3.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若弦AB中点的纵坐标为3,则= . 【答案】8 【详解】由,得,所以焦点为,准线为. 设弦AB中点的纵坐标为, 故. 知识点1 抛物线几何性质 1.已知抛物线C:的焦点为F,是抛物线上一点,过点M向抛物线C的准线作垂线,垂足为D.若为等边三角形,则的值为( ) A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】抛物线C:,焦点为,准线为:, 是抛物线上一点,则,根据抛物线的对称性,不妨令,则. 由于为等边三角形,则有, 即,, 所以,即,解得(负值舍去). 故选A. 2.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长. 【答案】 【详解】如图, 设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为,,则,. 又,所以,即, . 因为,,所以. 由此可得,即线段关于轴对称. 因为垂直于轴且,所以. 因为,所以. 所以. 3.已知直线过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,且点和点关于直线的对称点都在上,求直线和抛物线C的方程. 【答案】, 【详解】设抛物线C的方程为,直线的方程为. 设点关于直线的对称点分别为,. 由得 ,; 由得 ,. 因为在抛物线C上,所以 两式相除,消去,整理得,故. 由,得,从而. 把代入,得. 所以直线的方程为,抛物线C的方程为. 知识点2 抛物线的焦半径和焦点弦 1.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若,则等于( ) A．4 B．9 C．5 D．6 【答案】B 【详解】(方法一)易知直线的斜率存在,设,,直线的方程为,将其代入抛物线方程得, ,,则. 又由,可知, 解得,, 所以. (方法二)由,可知, 所以,, 所以.故选B. 2.(多选)设为坐标原点,直线过抛物线C:的焦点,且与C交于M,N两点,为C的准线,则( ) A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【详解】易知直线与x轴的交点为,又直线过抛物线C的焦点,可得,所以,故A正确; 抛物线方程为,将直线方程代入抛物线方程可得,,则, 所以,故B错误； 因为M,N的中点的横坐标为,该点到抛物线的准线的距离为, 所以以为直径的圆与相切,故C正确; 由,解得或,不妨取,, 则,,, 所以不是等腰三角形,故D不正确.故选AC. 3.设F为抛物线C:的焦点,过点F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则= . 【答案】8 【详解】(方法一)由题意知抛物线焦点,所以直线AB:. 由得,. 设,,则由抛物线的几何性质,得. (方法二)易知,因为,,所以. 4.设是坐标原点,F是抛物线的焦点,A是抛物线上的一点,与轴正方向的夹角为,求的面积. 【答案】 【详解】由题意设, 代入,得, 即,解得x=p(负值舍去). 所以, 所以. 知识点3 直线与抛物线的综合问题 1.设抛物线C:的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则△FNM的面积为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由题意知直线MN的方程为, 联立解得或 不妨设M(1,2),N(4,4).又因为抛物线焦点为F(1,0),所以,且点N到直线FM(即直线x=1)的距离为3, 所以.故选B. 2.已知抛物线E:经过点P(1,2). (1)求抛物线E的方程. (2)设直线与E的交点为A,B,且直线PA与PB的倾斜角互补,求的值. 【答案】 【详解】(1)由题意可得,,所以,所以抛物线E的方程为. (2)如图, 设,,将直线AB的方程代入,得,, 所以,. 因为直线PA与PB的倾斜角互补,所以 , 即, 所以, 所以, 即,所以. 三、课后练习 A组　夯实基础 1.抛物线C:的焦点为F,过F且倾斜角为60°的直线交C于A,B两点.若,则p=( ) A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【详解】抛物线C:的焦点为,直线:,即, 代入得,整理得,则, ,解得p=4.故选B. 2.过抛物线的焦点F作斜率为1的直线,交抛物线于A,B两点,若,则( ) A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【详解】设,,易得直线AB的方程为y=x-1.联立可得,解得,(). 因为,,所以.故选B. 3.设抛物线的焦点为F,经过点P(2,1)的直线与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则= . 【答案】6 【详解】分别过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,Q(图略), 根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得. 4.已知抛物线,过点P(2,0)的直线与抛物线相交于,两点,则的最小值是 . 【答案】16 【详解】设直线AB的方程为x=my+2,代入,得,, 则,,所以,当m=0时,取得最小值为16. 5.已知抛物线和点M(8,0),O为坐标原点,直线过点M,且与抛物线交于A,B两点. (1)求的值; (2)若△OAB的面积等于48,求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【详解】(1)设直线的方程为x=my+8,,, 联立得, 显然Δ>0,,,, 可得. (2)因为, 所以,m=±1. 故直线的方程为. B组　能力提升 1.A,B是抛物线上不同的两点,点F是抛物线的焦点,且(为原点)的重心恰为F,若,则( ) A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【详解】设,,, 因为△OAB的重心为F,所以 解得,. 由可知A,B关于x轴对称,即,则,即. 又因为,解得.故选C. 2.设抛物线的焦点为F,过抛物线上一点作其准线的垂线,设垂足为,若,则=( ) A．2 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】如图所示, 由抛物线的定义,可得. 又,所以△PQF为等边三角形,故直线QF的倾斜角为(设P在x轴上方),其斜率为-,即,得, 代入得, 所以.故选C. 3.已知直线和直线,则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( ) A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为直线为抛物线的准线. 如图, 作PA、PB分别垂直于和 ,, 所以当点共线且FB⊥时,抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和最小,即距离和的最小值为点F到直线₁的距离 .故选A. 4.已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为 . 【答案】 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线上,则另外两个顶点关于x轴对称. 设等边三角形的边长为a,则点A的横坐标为,纵坐标为, 则,代入得, 解得(a=0舍),故等边三角形的边长为. 5.已知抛物线C:的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,且,则线段的中点到抛物线C的准线的距离为 . 【答案】5 【详解】如图, 分别过点M,N作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为P,Q,由抛物线的定义知,,,则. 线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为梯形MNQP的中位线的长度,即. 6.已知点A,B是抛物线上的两点,O为原点,且OA⊥OB. (1)求A,B两点的横坐标之积和纵坐标之积; (2)求证:直线AB过定点. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)设点A,B的坐标分别为,,则有,. 因为OA⊥OB,所以,所以. 因为,,所以. 因为,所以,所以. (2)证明:因为,,两式相减得, 所以,所以,故直线AB的方程为 , 所以, 即. 因为,,代入整理得, 所以,即直线过定点. 7.已知抛物线C:的焦点为F,斜率为2的直线与C的交点为A,B,与轴的交点为P. (1)若,求的方程; (2)若,求. 【答案】（1）；（2）. 【详解】设直线,,. (1)由题设得F(1,0),故. 又,所以. 由可得,,则, 从而,得t=-1. 所以的方程为. (2)由可得. 由(1)知,从而,故,. 代入C的方程得,. 故. 学科网（北京）股份有限公司 $