第3章 09 3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 高中数学抛物线几何性质同步练，分层设计清晰，基础与能力层题量1:1，从定义应用到综合探究，强化数学思维与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|抛物线定义、几何性质、焦半径基础应用|选择填空为主，含教材改编题（如第7题），强化概念理解| |能力提升练|焦点弦、最值问题、几何性质综合应用|含多选与解答题（如第4题最值、第7题综合证明），培养推理与创新意识|

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 基础过关练 题组一　抛物线的简单几何性质 1.(2026北京海淀期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点M(x0,3),点M到抛物线C的焦点F的距离为3,则抛物线C的准线方程为(　　) A.x=-　　B.x=-3　　 C.x=-1　　D.x=-2 2.(多选题)(2026辽宁名校联考)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6,则p的值可取为(　　) A.1　　B.2　　C.9　　D.18 3.(2026陕西咸阳段考)若等腰直角三角形AOB的三个顶点均在抛物线y2=2px(p>0)上,O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则△AOB的面积是(　　) A.8p2　　B.4p2　　C.2p2　　D.p2 4.(2026湖南湘一名校联盟期中)已知P是抛物线C:y2=4x上的动点,点A(4,3),则点P到点A的距离与点P到直线x=-2 025的距离之和的最小值为(　　) A.2 029　　B.2 030　　C.2 031　　D.2 032 5.(2026湖南岳阳一中开学考试)已知O为坐标原点,P(a,0)(a>0),Q为抛物线y2=x上任意一点,且|PQ|≥|PO|恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  6.(2026广东广州番禺阶段测试)已知O为坐标原点,抛物线M:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且l与x轴相交于点B,A为M上的一点,AO所在直线与直线l相交于C点,若∠BOC=∠BCF,|AF|=6,求抛物线M的标准方程. 7.(教材习题改编)已知抛物线y2=8x. (1)写出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴方程,以及x的取值范围; (2)设O为坐标原点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 题组二　抛物线的焦半径与焦点弦 8.(2026陕西汉中期中)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　) A.7　　B.6　　C.5　　D.4 9.(2026吉林长春期中)已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,A为C上一点且在第一象限内,以F为圆心,FA为半径的圆交C的准线于B,D两点,且A,F,B三点共线,则|AF|=(　　) A.16　　B.12　　C.10　　D.8 10.(2026山东枣庄三中月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为k的直线l经过点F,并且与抛物线C交于A,B两点,与y轴交于点M,与抛物线的准线交于点N,若=2,则k=(　　) A.　　B.　　C.±　　D.± 能力提升练 题组一　抛物线中与焦点弦有关的问题 1.(2026山东菏泽一中月考)如图,直线l经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|AB|=(　　) A.　　B.6　　C.　　D. 2.(2026四川成都石室中学月考)如图,设抛物线C:x2=4y的焦点为F,过x轴上一点A作直线l交C于B,D两点,若|FB|=,|FD|=7,则=(　　) A.4　　B.3　　C.　　D. 3.(2026广东梅州期中)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,且F为△ABC的重心.若|FA|+|FB|的最大值为10,则p=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 4.(2026重庆巴蜀中学期中)已知抛物线y2=4x的焦点为F,A,B是抛物线上异于原点O的两点,且OA⊥OB,则4|FA|+|FB|的最小值为(　　) A.21　　B.13　　C.10　　D.9 5.(多选题)(2026广东茂名模拟)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限内),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是(　　) A.p=　　B.|AF|=6　　 C.|BD|=2|BF|　　D.F为AD的中点 6.(2026浙江杭州期中)定长为3的线段AB的端点A,B均在抛物线y2=x上移动,则AB的中点M到y轴的距离的最小值为　　　　,此时M的坐标为　　　　.  题组二　抛物线的几何性质的综合应用 7.(多选题)(2025江西部分高中期中联考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-2)(k>0)与y轴交于点D,与x轴交于点E,与C在第一、四象限内的交点分别为A,B,坐标原点为O,则下列结论正确的是(　　) A.若BF⊥x轴,则|BF|=2　　 B.若BF⊥x轴,则=1 C.=　　 D.= 8.(多选题)(2026江苏连云港期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线过点N(-1,0),直线l与C交于A,B两点,弦AB的中点为M,过A,B,M分别作准线的垂线,垂足为A',B',M',则(　　) A.p=2 B.若点Q(1,y)在抛物线C上,则点Q到准线的距离为3 C.若直线l过焦点F,则2|M'F|=|A'B'| D.若△A'B'F的面积是△ABF的面积的2倍,则点M的轨迹方程为y2=2x-4 9.(2026黑龙江哈尔滨期中)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若=4,则|PF|=　　　　.  10.(2026河南焦作期中)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,过点P且斜率为的直线l与x轴交于M点,与y轴交于N点,则∠MNF=　　　　.  答案与分层梯度式解析 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 基础过关练 1.A 2.BD 3.B 4.B 8.D 9.B 10.D 1.A　由已知得所以x0=,p=3, 故抛物线C的准线方程为x=-=-. 2.BD　由抛物线y2=2px(p>0)可得准线方程为x=-. 设点M(x1,y1),∴=2px1. ∵点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,∴x1+=10,y1=±6,结合=2px1,解得x1=1,p=18或x1=9,p=2,即p的值可取为18,2. 3.B　不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及题意可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=×2p×4p=4p2. 4.B　由已知得抛物线C的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,记F(1,0). 设d1为点P到直线x=-1的距离,d2为点P到直线x=-2 025的距离, 则d2=d1+(-1)-(-2 025)=d1+2 024, 由抛物线的定义得d1=|PF|,故所求距离之和为|PA|+d2=|PA|+d1+2 024=|PA|+|PF|+2 024, 当A,P,F三点共线,且P在A,F之间时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|,又A(4,3),F(1,0),∴|AF|==6, ∴|PA|+|PF|+2 024≥|AF|+2 024=6+2 024=2 030,即所求最小值为2 030. 知识积累　利用抛物线的不同性质可以解决不同问题,具体如下: (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. 5.答案　 解析　设Q(x0,y0),则=x0. 因为|PQ|≥|PO|恒成立,所以=≥a,即-2ax0+x0=x0(x0-2a+1)≥0, 因为x0≥0,所以有x0-2a+1≥0, 故a≤恒成立,故a≤=, 又a>0,所以a的取值范围是. 6.解析　如图,因为∠BOC=∠BCF,∠OBC=∠CBF=90°,所以△OBC∽△CBF,则=, 因为|OB|=,|BF|=p, 所以=,解得|CB|=p(负值舍去), 所以tan∠AOF=tan∠COB==,即直线OA的斜率为,故直线OA的方程为y=x,与抛物线方程联立,得解得或故A(p,p), 所以|AF|=xA+==6,故p=4,则抛物线的标准方程为y2=8x. 7.解析　(1)顶点坐标为(0,0),焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2,对称轴方程为y=0,x的取值范围为[0,+∞). (2)由|OA|=|OB|可知点A,B关于x轴对称,不妨设A(x1,y1),y1>0,则B(x1,-y1),=8x1. 若焦点(2,0)是△OAB的重心,则=2,所以x1=3,代入=8x1,解得y1=2(舍负), 所以|OA|=|OB|=,|AB|=4,所以△OAB的周长为2+4. 8.D　易得抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,因为点M在C上,所以M到准线x=-2的距离等于|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,所以M到准线x=-2的距离为5-1=4,所以|MF|=4. 9.B　因为A,F,B三点共线,且A,B,D均在圆F上,所以AB为圆F的一条直径,AD⊥BD. 结合抛物线的定义知|AD|=|AF|=|AB|,所以∠ABD=30°. 易知F到准线x=-3的距离为6,所以|AF|=|BF|=2×6=12. 10.D　当A在第一象限内时,设准线x=-与x轴的交点为P,坐标原点为O,过A作准线的垂线,垂足为A',如图, 因为OM∥PN,且O为PF的中点, 所以OM为三角形PFN的中位线, 则|FM|=|MN|, 所以=2=, 又根据抛物线的定义知|AF|=|AA'|, 所以|AN|=2|AF|=2|AA'|, 所以在直角三角形AA'N中,∠A'AN=60°,所以∠AFx=60°,此时k=tan∠AFx=; 根据对称性,可知当A在第四象限内时,k=-. 综上,k=±. 能力提升练 1.C 2.B 3.D 4.A 5.BCD 7.ABD 8.AC 1.C　易得抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=8x1,=8x2, 由|AF|=3|BF|,得则 解得x1=6,x2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+4=. 2.B　抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1.如图: 过B向准线作垂线,垂足为N,且交x轴于E,根据抛物线的定义,得|BN|=|BF|=,所以|BE|=-1=. 过D向准线作垂线,垂足为G,且交x轴于T,根据抛物线的定义,得|DG|=|DF|=7,所以|DT|=7-1=6. 易知△AEB∽△ATD,所以===,所以==3. 3.D　易知抛物线的准线方程为y=-,焦点为F.分别过点A,B作准线的垂线,垂足为A1,B1,图略, 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=y1++y2+=y1+y2+p(*), 因为点F为△ABC的重心,所以=,即y1+y2=-y3,代入(*),可得|FA|+|FB|=-y3+p=-y3, 由点C(x3,y3)在抛物线E:x2=2py(p>0)上,知y3≥0,故|FA|+|FB|≤,依题意得=10,解得p=4. 4.A　由题可设直线OA的方程为y=kx,则直线OB的方程为y=-x, 联立得k2x2-4x=0,解得x=或x=0,可得A. 联立得-4x=0,解得x=4k2或x=0,可得B(4k2,-4k). 根据抛物线的定义可得4|FA|+|FB|=4·+(4k2+1)=4k2++5≥2+5=21,当且仅当4k2=,即k=±时等号成立, 所以4|FA|+|FB|的最小值为21. 5.BCD　过点A,B作抛物线C的准线(记为m)的垂线,垂足分别为点E,M,如图. 设抛物线C的准线m交x轴于点P,则|PF|=p, ∵直线l的斜率为,∴其倾斜角为60°,∵AE∥x轴,∴∠EAF=60°,连接EF,由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,∴∠EFP=∠AEF=∠AFE=60°,则∠PEF=30°,∵∠EAF=60°,∴∠EDA=30°,设|BD|=x,可得|BM|=,∴|BF|=|BM|=,易得Rt△DBM∽Rt△DAE,则=,∴|AE|=4+,∴|AF|=|AE|=4+,则|AB|=|AF|+|BF|=4++=4+x=8,解得x=4,∴|BF|=2,|AF|=6,∴B正确. 由|AF|=|EF|=2|PF|=2p=6,得p=3,∴A错误. |BD|=x=4,|BF|=2,故|BD|=2|BF|,∴C正确. |DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,∴D正确. 6.答案　; 解析　设F是抛物线y2=x的焦点,l为其准线,过A,B,M分别作准线的垂线,C,D,N为垂足,连接AF,BF,如图, 则|MN|=(|AC|+|BD|),根据抛物线的定义得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|, ∴|MN|=(|AF|+|BF|)≥=, 设M点的横坐标为x,则|MN|=x+, ∴x=|MN|-≥-=,当且仅当弦AB过点F时取等号, 由于|AB|>2p=1,∴弦AB可能过焦点,即上述取等号的条件可以满足, 此时M点到y轴的距离取得最小值,是,即AB的中点M的横坐标为. 当F在弦AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=-,从而(y1+y2)2=++2y1y2=x1+x2+2y1y2=2×-=2,∴y1+y2=±, ∴此时M点的坐标为. 7.ABD　过A,B分别作AM⊥y轴,BN⊥y轴,垂足为点M,N,如图所示, 由题意得,F(1,0),E(2,0), 若BF⊥x轴,则xB=1,代入抛物线方程y2=4x,可得yB=-2,则|BF|=2,因此A正确; 若BF⊥x轴,则BF∥y轴,由三角形相似可知,===1,因此B正确; 由BN∥AM可知=,由抛物线的定义知=≠, 所以=≠,因此C错误,D正确. 8.AC　对于A,因为准线过N(-1,0),所以=1,故p=2,故A正确. 对于B,由A可得抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1, 若Q(1,y)在抛物线上,则点Q到准线x=-1的距离d=1+1=2,故B错误. 对于C,不妨设A位于第一象限,连接A'F,B'F,如图, 由抛物线的定义可得|AA'|=|AF|,故∠A'AF=π-2∠AFA', 同理得∠B'BF=π-2∠BFB',故∠A'AF+∠B'BF=π=2π-2∠BFB'-2∠AFA', 故∠BFB'+∠AFA'=,则∠A'FB'=,易知M'为A'B'的中点,则|A'M'|=|M'B'|=|M'F|,故2|M'F|=|A'B'|,故C正确. 对于D,由题可得弦AB不过焦点F,设A,B, 则A'(-1,y1),B'(-1,y2),△A'B'F的面积为×|y1-y2|×|FN|=|y1-y2|, 当y1+y2≠0时,直线AB:y=·+y1=x+, 令y=0,则x=-,故△ABF的面积为×|y1-y2|, 故|y1-y2|=2××|y1-y2|, 由A,B为相异两点,知y2≠y1, 故1=,即1+=±1,故y1y2=-8或y1y2=0, 易得M,且=-, 若y1y2=-8,则xM=+2,即点M的轨迹方程为y2=2x-4, 又因为y1+y2≠0,所以yM≠0,即xM≠2,故点M的轨迹方程为y2=2x-4(x≠2); 若y1y2=0,同理可得点M的轨迹方程为y2=2x, 因为y1+y2≠0,所以yM≠0,即xM≠0,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0). 当y1+y2=0时,直线AB:x=,其中y1≠0,y1≠±2,则△ABF的面积为×·|2y1|, 故|y1-y2|=2|y1|=2××·|2y1|,故y1=±2, 故或 故A(2,2),B(2,-2)或B(2,2),A(2,-2), 此时M(2,0),该点在曲线y2=2x-4上. 综上,点M的轨迹方程为y2=2x-4或y2=2x(x≠0),故D错误. 9.答案　8 解析　抛物线x2=4y的准线l的方程为y=-1,焦点为F(0,1). 设点P(t,-1),Q(x,y), 由=4,得(x-t,y+1)=4(x,y-1), 可得即 即Q. 由Q在抛物线x2=4y上, 可得=4×,即t2=60, 由两点间的距离公式可得|PF|====8. 10.答案　90° 解析　由P(x0,y0)是抛物线E上异于原点O的一点,可得=2px0(x0>0,y0≠0), 由题意知,直线l的方程为y-y0=(x-x0),即y-y0=,即y=x+, 令y=0,得x=-,令x=0,得y=, 所以M,N, 则=, 又F,所以=, 则·=×+×=0,所以⊥,即∠MNF=90°. 7 学科网（北京）股份有限公司 $