精品解析：天津市第二南开学校2026-2027学年高二上学期10月月考（蓄志计划）数学试题

高二年级蓄志计划数学试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分． 考试时间100分钟，祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题，共27分） 一．选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过过两点的直线的斜率公式求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求解． 【详解】由斜率公式可知过点与点的直线的斜率为 ． 设直线的倾斜角为，则． 又，所以． 故选：D． 2. 设向量，若向量与y轴垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量与y轴垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】， 由于向量与y轴垂直， 所以. 故选：B 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当时，，解得或， 当时，两直线分别为，符合题意， 当时，两直线分别为，重合不符合题意， 所以, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 已知向量，分别是直线与平面的方向向量、法向量，若，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设线面角为，再根据空间向量法求出线面角正弦值进而求出角. 【详解】设与所成的角为，， 则，∴. 故选:B． 6. 如图，正方体的棱长为，、分别是棱、上的点，若平面，则与的长度之和为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，利用即可求出. 【详解】以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， ∴，，由于平面， ∴，即， 故与的长度之和为. 故选：D． 7. 已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再计算该定点与点所在直线的斜率，根据题意得到直线斜率的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】直线：的斜率为， 直线可变形为，所以直线恒过定点， 直线的斜率为， 线段所在直线的斜率为， 由直线与线段的延长线相交（不含点）可得：， 即，所以. 故选：A 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 9. 正四棱锥，其所有棱长都为，且，交于点，点在棱上，且，则的重心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法即可求解． 【详解】如图所示，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 因为所有棱长都为6，所以，， 所以，，，，， 因为为的重心，所以， 设，，， 因为，所以，解得，即， 因为，， 则到直线的距离． 第Ⅱ卷（非选择题，共73分） 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中的横线上） 10. 已知，若向量共面，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量共面的充要条件，设存在唯一实数对，使得，然后根据向量相等的条件列出方程组求解. 【详解】由且向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得： ，所以. 11. 已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则点的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点关于直线对称的几何性质即求. 【详解】∵直线， ∴点关于的对称点为， 又点关于直线的对称点为，直线， 设，则， 解得即 故答案为： 12. 设，，向量，，，且，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】因为,所以,即,解得. 因为,所以存在实数,使,比较第一个分量得,于是. 于是,. 所以,故. 13. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 【答案】0或##或0 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即，解得或 故答案为：0或 14. 已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，，进而根据空间向量的垂直关系求解即可. 【详解】解：因为在直线上，且， 所以 所以，， 因为 所以，解得. 故答案为： 15. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知直线过点． （1）若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； （2）直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）利用截距的概念与直线的截距式计算即可； （2）利用直线的截距式方程计算即可. 【小问1详解】 若直线与两坐标轴的截距都是0，则该直线为，即可； 若直线与两坐标轴的截距不为0，不妨设在横轴上的截距为， 则其在纵轴上的截距为， 由截距式知，代入得， 所以，整理得； 综上得直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意可设在横轴与纵轴上的截距分别为， 则由截距式可知，代入得， 又，联立方程得，解之得， 即直线的方程为，整理得. 17. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【小问1详解】 如图： 因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. 【小问2详解】 因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 18. 如图，已知边长为4的正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点． （1）求证：平面PFQ； （2）求直线AE与平面PFQ间的距离． 【答案】（1） 在平面内过点作，因平面， 则以点A为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 因是边长为4的正三角形，则， 线段BC中点，线段AC中点，线段CE中点， ，而，即有，又无公共点， 则，又平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明结合线面平行的判定推理作答. （2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量计算直线与平面的距离作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，则点A到平面的距离即为直线AE与平面PFQ间的距离， 设平面的法向量，而， 则，令，得， 因此点A到平面的距离， 所以直线AE与平面PFQ间的距离为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明平面，建立空间直角坐标系，写出相应的点，求出直线与的方向向量，再利用空间向量求出异面直线夹角的余弦值即可； （2）由（1）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 由正方形，得，所以直线两两互相垂直， 所以以点为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又为的中点，则， 所以， 设异面直线与所成的角为， 所以异面直线与所成角的余弦值为： . 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的余弦值. 20. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 底面中，已知，，， 由余弦定理得， 所以， 又平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面； （2）； （3）存在，或，理由如下： 假设存在，不妨设，由（2）可知， 则， 设与平面所成角为， 则， 解之得或，即存在M符合题意，此时或. 【解析】 【分析】（1）证明即可判定线面垂直； （2）建立空间直角坐标系研究面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知三直线两两垂直，可以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面与平面的法向量分别为， 则有 及， 取，取， 即， 设平面与平面的夹角为，则； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级蓄志计划数学试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分． 考试时间100分钟，祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题，共27分） 一．选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，若向量与y轴垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 4. 设，已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，分别是直线与平面的方向向量、法向量，若，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方体的棱长为，、分别是棱、上的点，若平面，则与的长度之和为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知两点，，直线：与延长线段得到的以B为端点的射线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 正四棱锥，其所有棱长都为，且，交于点，点在棱上，且，则的重心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共73分） 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中的横线上） 10. 已知，若向量共面，则实数________． 11. 已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则点的坐标为___________. 12. 设，，向量，，，且，，则________． 13. 已知两点到直线的距离相等，则实数a的值为________． 14. 已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______． 15. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 三．解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知直线过点． （1）若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； （2）直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 17. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 18. 如图，已知边长为4的正三角形ABC，E、F分别为BC和AC的中点，，且平面ABC，设Q是CE的中点． （1）求证：平面PFQ； （2）求直线AE与平面PFQ间的距离． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，分别为的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求与平面所成角的余弦值． 20. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $