天津市第二十一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级10月份练习数学学科 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线，若，则（ ） A． B． C．或 D． 3．如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，两点到直线的距离相等，则（ ） A． B． C．或 D．或 5．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则直线与平面的位置关系是（ ） A．或 B． C．l与α相交但不垂直 D． 6．已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A． B． C． D． 7．设点，，若点在线段AB上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．以上都不对 8．如图所示，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A． B． C． D． 9．已知点坐标为，直线与圆 交于，两点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．集合，，若中有且仅有一个元素，则的值是 ． 11．已知直线的方向向量为，若点为直线外一点，为直线上一点，则到直线的距离为 ． 12．已知直线和，直线分别与，交于，两点，则线段长度的最小值为 ． 13．直线在两坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线的方程为 ． 14．若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为 ． 15．过作直线的垂线，垂足为，点到直线的距离的最小值为 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分） 已知点，，直线． （1）若经过点，求在轴上的截距； （2）若直线经过点且与垂直，求的方程，并化成一般式； （3）若为坐标原点，求中边上的中线所在直线的方程，并化成一般式． 17．（本小题15分） 如图，平面平面，，，， ． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18．（本小题15分） 已知点和直线，点是点关于直线的对称点． （1）求点的坐标； （2）为坐标原点，且点满足，求点的轨迹方程； （3）若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围． 19．（本小题15分） 已知表示圆的方程． （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程． （3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值． 20．（本小题16分） 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，与相交于点，，，平面平面，且，点，分别是棱，的中点． （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为． ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期高二年级10月份练习数学学科 答案 1.C 2.A 3.A 4.D 5.A 6.B 7.A 8.C 9.C 10.3或7 11.17 5 12.2 13.y=±x或x+y-4=0 3 14. 15.V5 16.解：1)因为直线：2x+y-m=0经过点B(-3,1) 则2×(-3)+1-m=0,解得m=-5, 因此直线I的方程为2x+y+5=0 当x=0时，y=-5,故直线I在y轴上的截距为5； (2)直线：2x+y-m=0的斜率为-2， 因为直线与1垂直，所以1的斜率为2， 又直线经过点A(4-), 则直线4的程为’-()号-4，甲-2-6=0 (3)OA的中点M的坐标为 2 3 w-2--3)10 则 故OA边上的中线所在直线的方程为 少13x+3即3x+10r-1=0 17.解：因为平面ABCD1平面ABE,交线为AB,AD⊥AB,所以AD⊥平面ABE, 又因为∠EAB=90°，则以点A为坐标原点，AE,AB，AD的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方 向，建立如下图所示的空间直角坐标系， AE=AD=CD=AB=1 由已知 2 ,所以A00,0）.B(0,2,0）,C(01,).D(0,0,1). E(1,0,0)」 B (1)因为BC=(0,-l,),平面ADE的法向量为=(0,10）， 设直线BC与平面ADE所成角为A, sin 0,=cos(BCm)= BC.m_1=2 BC 22 π 所以直线CE与平面ADE所成角为4： (2)设平面BCE的法向量为”=(x,yz)」 又BC=(0,-11),BE=(,-2,0) z·BC=-y+z=0, 则%BE=x-2y=0,取乃=(2,1，) 又”=(0,10)，设平面BCE与平面ADE所成夹角为A, cos,=cos(·乃 %n2 16 V66 sine =v30 6, V30 则平面BCE与平面ADE所成夹角的正弦值为6： (3)因为DC=(0,10),平面BCE的法向量为乃=(2,1，) pc(pc.)- C.n 6 所以点D到平面BCE的距离为 18.解：1)设B(a,b),A(-,2). 因为点B与点A关于直线1的对称， Ma-l b+2 则有线段AB的中点 (2’2)在直线1上， a-1_b+2+1=0 即2 ①， b-2=-1 又直线AB⊥直线L,且直线I的斜率为1，则a+1②， a=1, 联立①②，解得6=0， 故点B的坐标为(，0)： 2)设P(x),由PO=5PB, 则PO=3PBP 故+y=3-+] -引+- 3) x-2 +23 所以点P的轨迹是圆，其方程为 3 圆心坐标 半径为2： 3)2 2 (3)又因为直线x+y+1=0与圆 +23 4有公共点， 利用圆心到直线的距离小于等于半径， 13 +1 2 则Vm2+12 3 ✉ 解得 〔[ 故m的取值范围 19.解：(1)由题可知：(c-2)}+0y+m2=3+2m-m2, 该方程表示圆，则3+2m-m2>0. 即m2-2m-3<0,解得-1<m<3. 则实数m的取值范围为(，3)， (2)令y=3+2m-m2=-(m-1)2+4,m∈(-1,3) 开口向下，对称轴为m=1∈(-1,3) 当m=1时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为x-2)2+0y+2=4, 当切线的斜率不存在时，切线方程为x=4满足题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为y+4=K(x-4),即：-y-4k-4=0】 圆心(2，-)到切线的距离等于半径长， 2k+1-4k-4-2 V1+k2 k=-5 即 ,解得12 少+4=-(x-4) 即切线方程为 ,即5x+12y+28=0, 综上所述，所求切线方程为x=4和5x+12y+28=0, (3)设P(x,y). 则PA+PB=(c-4+0+42+(x-62+y=2[x-52+0+22]+10 设M(5,2),则c-5+0+2)表示圆C上的点P与点M的距离的平方， 由(2)知C(2,-) 又CM=5-2y+(-2+=0>2,则点M在因C外面. 所以PM=CM-2=i0-2 Pa+PB）=2(M0-2+10=28-8Vi0+10=38-8V10 则PA+PB的最小值为38-8I0 20.(1)证明：如图，连接OF,由于O,F分别是AC,PC中点， 则OFIPA,PAt平面BDF,OFC平面BDF, 则PA∥平面BDF. (2)①因为ABCD是矩形，故O是AC的中点，又PA=PC,所以PO⊥AC, 又平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,POC平面PAC, 故PO⊥平面ABCD, 如图，以O为坐标原点，OE,OP所在的直线分别为x轴，z轴，过点O且与AB平行的直线为y轴建 立空间直角坐标系， ZA 设OP=a(a>0)】 所以4.-2,0).lv5.0.D(-l-2,0）,P00,a) 故4P=(,v2ad 设平面PDB的法向量为i=(cy2),又DB=(2,22,0）,0P-(0.0,)】 n⊥DB DB=2x+22y=0 则i10P,所以i:0P==0 故可取万=(2，-l0) √6 因为直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为3， cos(元，MP= n.AP 2V2 6 所以 A V1+2+a2×√2+13 解得a=l,所以4P=A=V1+2+1=2 1√21 F ②如图，因为E(1,00). 222 设平面PDE的-个法向量为月=G,:),又D-(2,V5,0）,币=(10,1). nLED %,ED=-2x-V2y=0 则(h⊥EP 所以元·EP=-x+名，=0 故可取4=一2，】 rmn为5-6.m-6a0原-售引 2·DB=2x2+2V2y2=0 乃1DB 则(h1DF 2h 2=0 枚可取%-(V5,-122) 设平面PDE与平面FDB的夹角为O, cose=cos(m,n2)= n.n 4V2 2V22 所以 mH四， V1+2+1×V2+1+811 2W22 即平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值为I1·