天津市实验中学2026-2027学年高二上学期学情评估(一)数学试卷

2026-2027学年度第二学期高二年级学情评估（一) 数学 、单选题 1.若直线1的斜率为√5，则1的倾斜角为() A月 6 C. 3 D.Sr 6 2.已知，，分别为直线1,1的方向向量(4，，不重合)，元，2分别为平面a,B的法向量(a,B 不重合)，则下列说法中正确的是 A.∥2⊙4⊥hB.戊⊥i台l1C.∥i台l∥dD.i⊥i,÷c⊥p 3.如图，在斜三棱柱ABC-ABC中，M为BC的中点，N为4C靠近A的三等 分点，设B=a,4C=i,A4=C,则用a,,表示为() 6 6 4.设a∈R,已知直线l:ax+3y-2=0,l2:6x+(a-3)y+4=0,则“4/儿2”是“a=6”的 ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件.D.既不充分也不必要条件 5.已知空间向量a=(1,0,3),6=(2,l,0),c=(5,2,z,若a,6,c共面，则实数z的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知两点A(-3,2),B(2,1),过点P(0,-)的直线1与线段AB(含端点)有交点，则直线1的斜率的取 值范围为( A.(o,-U1,+∞)&.-1 7、若方程x2十y2+ax十2ay十2a2+a一1=0表示圆，则实数a的取值范围是（) A.(-w,-2》uGwB.(居0 c.(-2,0)D.-23 8.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为A4,CC的中点，O为底面ABCD的中心， 点P在正方体的表面上运动，且满足NP⊥MO,下列说法正确的个数() ①点P可以是棱BB,的中点②点P轨迹的长度为1+√2； ③点P的轨迹是平行四边形；④点P轨迹所围成的图形面积为 8 A.0 B.1 C.2 D.3 高二年级数学学情评估（一)第1页共2页 9.已知线段AB是圆O:x2+y2=6的一条动弦，且AB=2W2.若点P为直线√5x+y+10=0上的任意一 点，则PA+PB的最小值为() A.6 B.8 C.14 D.35 二、填空题 10.已知a=(L,-1)是直线I的一个方向向量，则1的斜率为 11.已知A(-2,-6),B(0,4)两点到直线1：a+y+1=0的距离相等，则实数a的值为 12.两相交圆C:x2+y2+4x+y+1=0与C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦所在的直线方程为 ，以公共弦为直径的圆的方程为 13.已知直线3x十2y一3=0和6x十my+1=0互相平行，则它们之间的距离是 14.如图，隧道的截面是半径为4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货 车的最大宽度为m,那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少.一一一· 15.已知实数，y满足0x-)+0y川-2=1，则(x2+y)-5x+7)的最大值为 一，此时x= 三、解答题 16.已知A11),B(2,3),C(4,0),求：(I)BC边上的中线所在的直线方程： (2)过B点且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程2： (3)AB边垂直平分线方程及点C关于马的对称点D的坐标.（均写出一般式方程） 17.圆心在直线x+2y=0上的圆C与轴的负半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2√5 (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(4,-2)作圆C的切线1，求切线1的方程： (3)若圆C上恰好有3个点到直线：x+y+m=0的距离为1，求m的值. 18.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点 为O且P0⊥底面ABCD,AB=BC=AD=1,且ADIIBC,AB⊥AD,E 2 是PD的中点. (I)证明：CE∥平面PAB; (2)求点E到平面PAB的距离； (3)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为 ，求平面MAB与平面ABD夹角的余 4 弦值 高二年级数学学情评估（一）第2页共2页 2026-2027学年度第二学期高二年级学情评估（一)参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 答案 C D A B A D B A 1.C 【分析】由斜率k=tanO(O直线I的倾斜角)求解即可. 【详解】设直线I的倾斜角为O,因为直线I的斜率是-√3，所以tan0=-√5， ,即直线1的领斜角为2x 2π 又因为0≤0<元，所以0= 故选：C 2.D 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的定义逐项判断. 【详解】因为，12不重合， 所以由直线方向向量与直线的位置关系可得立∥可台（∥2，A错误. B,由法向量与方向向量的定义易知丐⊥元台I∥a或lca,B错误. C,由于/m,m为平面a的法向量，所以l⊥a,C错误. D,由法向量与平面的位置关系可得方⊥2台上阝，D正确. 故选：D 3.A 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解。 【详解】W-NG+Cc+0W-号6-c+a-列-a+若-e 31 2 6 故选：A 4.C 【分析】根据直线平行求得a,然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】当l/1l时，a(a-3)=18,解得a=6或a=-3, 当a=6时，两直线分别为l:6x+3y-2=0,2:6x+3y+4=0,符合题意， 当a=-3时，两直线分别为：-3x+3y-2=0,l2:6x-6y+4=0,重合不符合题意， 所以a=6, 所以“/1儿2”是“a=6”的充要条件. 答案第1页（共10页） 故选：C. 5.B 【分析】由空间共面向量可得a=xb+yc,代入解方程即可得出答案 【详解】若空间向量a=(1,0,3),b=(2,1,0),c=(5,2,z)共面， 则a=xb+yc,所以(1,0,3)=x(2,1,0)+y(5,2,z), 1=2x+5y 所以0=x+2y,解得：x=-2,y=1,z=3. 3=z 故选：B. 6.A 【分析】求出直线PA、PB的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： A -1-2 →B 0+3 =-l,而w=1, 0-2 故直线1的取值范围为(-∞，-小U1,+∞) 故选：A. 7.D 【解所】整理方程得+受+（十。）-1a0,销不等式1-。一d>0即得解 【详解1由题得万程为+号+ya):=1a一和 )1 因为方程(x+g2+(Gy+a)2=1-a- 3 a2表示圆， 4 则1-a- 3a>0,解得-2<a< 2 4 3 故选：D 【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 8.B 【分析】在正方体ABCD-ABCD中，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD所在直线为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系，根据NP⊥MO,确定点P的轨迹，再逐项判断，即可得出结果. 答案第2页（共10页） 【详解】在正方体ABCD-AB,CD中，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD,所在直线为x,y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： D 因为该正方体的棱长为1，M,N分别为AA,CC的中点， 所@a.Mo》Na》o20 所以0w-传》设xx或.则(y-:》 因为NP⊥M0O,所以NP.OM=0, 即2--+-》-0，所以2-2y*2z=-1 取2=0，当x=)时，y=1:当x=0时，y=2 取0r 接r,N,e,则-（分W( 2 22 所以EF⊥OM,EN⊥OM, 又EFOEN=E,且EFC平面EFN,ENc平面EFN, 所以OM⊥平面EFN,所以当点P∈平面EFN时NP⊥OM, 又点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹为正三角形EFN,③错误； 点P不可能是棱BB,的中点，①错误： 正三角形EFN边长为？，点P轨迹的长度为3 ,②错误； 2 2 正三角形EFV的面积为 ,④正确. 8 9.A 【分析】利用圆的性质求出弦AB中点M的轨迹，再根据向量运算得到PA+PB=2PM,最后结合点到 直线的距离公式求出最小值： 答案第3页（共10页） 【详解】设AB的中点为M,根据圆的性质可得OM⊥AB,如图所示. 则0M=0f-(=6-2=2 所以，点M的轨迹是以O(0,0)为圆心，半径为2的圆，其方程为x2+y2=4. 因为PA+PB=2PM,所以，PA+PB=2PM PM的最小值为圆心O到直线V5x+y+10=0的距离d减去圆x2+y=4的半径2， 10 因为d= V(5)2+12 2=5,所以PA+PB=2PM=2x6-2)=6, 10. -1 【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率 【详解】a=(1,-)是直线1的一个方向向量，则1的斜率为 11.0或-5/-5或0 【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出. 【详解】由题意可得 -2a-6+14+1 ,即5+2d=5,解得a=0或a=-5 Va2+1Va2+1 故答案为：0或-5 12. 2x-y=0 5x2+5y2+6x+12y+5=0 【分析】将两圆的方程相减即可得公共弦所在的直线方程：设所求圆的方程为： x+y+4x+y+1+2+y+2x+2y+)=0,元≠-1，得圆心C心2+月，+22)，代入直线2x-y=0, 1+元’21+2) 求解即可 【详解】解：将C:x2+y2+4x+y+1=0与C2:x2+y2+2x+2y+1=0的方程相减，得2x-y=0, 即两圆的公共弦所在直线方程为：2x-y=0; 答案第4页（共10页） 因为C(-1,-)不在直线2x-y=0上， 所以设所求圆的方程为：x2+y2+4x+y+1+2(x2+y2+2x+2y+1)=0,≠-1， 即：(1+)x2+(1+)y2+2(2+2)x+(1+2)y+1+2=0, 其圆心泾欲 因为圆心C(-2+1-1+2 1+元’21+2) )在直线2x-y=0上， 所以2x(2+2二(1+2入=0，解得元三77 1+ 21+2) 故所求方程为-子--3-6创多-0， 2 2 即5x2+5y2+6x+12y+5=0. 故答案为：2x-y=0:5x2+5y2+6x+12y+5=0 13. 7 26 【详解】考点：两条平行直线间的距离. 分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可. 1 解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1-0相互平行，所以m=4,由平行线的距离公式可知d2+3-7国 V32+22 26 故答案为73 26 14.V16-a2m 【分析】画出如图的货车截面图矩形OMNP,N在圆上时，货车最高，求出MN的长即得. 【详解】如图，矩形OMwP是货车截面图，lOM=a,则MN=ON-lOM=v16-a, 故答案为：V16-a2m 15. 47 8 5 【分析】根据给定条件，确定方程表示的曲线，再利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离最 答案第5页（共10页） 值求法求解。 【详解】曲线(x-1)2+(y川-)2=1是以点O,1,)为圆心，1为半径的圆(x-1)2+(y-1)2=1 关于y轴、原点O及x轴对称而得的圆O2、圆O3、圆O,与圆O组合而成，如图： P +-5x+7列26x-矿+0-y-7刚是曲线上的点x0与定点 P(5,7)的 距离平方并减去74的差的一半，由图知圆心O,离点P最远，连接PO3并延长交圆O,于点Q, 因此曲线上的点与点P距离的最大值为P9日PO,|+1=V(-1-5)2+(-1-7)2+1=11, +门)-(5x+7列的最大值为0P-7用= 2 41 直线O方程为+1写c+,即y=4 y=-x+ 3由 3 -33 (x+I)2+y+1)2=1 由x<1,得x=弩则点Q的横业标为学 8 所以x+)-(6x+7列的最大值为7 ,此时x=8 16.(1)x-4y+3=0 (2)3x-2y=0或x-y+1=0 84:2x+4y-1=0,n得剖 【分析】(1)先求出BC的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程： (2)依题意，分截距为0与不为0两种情况，截距为0时，直接用点斜式即可求得直线方程：截距不为0时， 设截距式方程，代入点B求出参数即得所求直线方程： (3)先求出AB边的垂直平分线l,的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点D的坐标. 【详解)D因4AD,B23,C40,设C中点为E,则得E2牛4,39，即E3门 (2,21 答案第6页（共10页） 人3 则直线名的方程为y-1=12c-少即x-4y+3=0: 1-3 （2)伙题意，当载距为0时，直线4并过原点和点8，则其方程为y弓x,即3x-2y=0: 当截距不为0时，依题意，可设直线，：+y=1,代入点B(2,3),解得a=-1, a -a 则得-x+y=1,即x-y+1=0, 综上，12的方程为3x-2y=0或x-y+1=0: (3)AB的中点F 2,则其垂直平分线马的斜率为 斜率为ks=2-1 故有，：y-2= 即2x+4y-11=0 设C(4,0)关于l的对称点D(x,y),则CD中点在l上且CD⊥4， 2xx+4 4×'-11=0 则2 2 1y-0=2 (5'5 x-4 17.(1)(x-2)+(y+1)=4: (2)x-4=0或3x-4y-20=0: (3)m=√2-1或-V2-1. 【分析】(1)设圆心C(-2m,m)(m<0),则r=-2m,结合弦长公式求出m的值即可求出圆C的方程： (2)由题意结合圆的标准方程可知圆心C(2,-1)到直线1的距离d=2,按斜率是否存在分情况讨论圆心到 1的距离，即可解出切线方程： (3)由题意可得圆心C(2,-1)到直线1的距离为1，利用点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】(1)因为圆C的圆心在直线x+2y=0上，所以可设圆心C(-2m,m), 因为圆C与y轴的负半轴相切，所以m<0,半径r=-2m, 又圆C截x轴所得弦的长为2√5，所以√一-m2=√5，解得m=-1, 所以圆C的圆心C(2,-1),半径r=2, 所以圆C的标准方程为(x-2)+(y+1)=4. (2)由(1)可知圆C的圆心C(2,-1),半径r=2, 因为1与圆C相切，所以圆心C(2,-1)到直线I的距离d=r=2, 答案第7页（共10页） 当直线1斜率不存在时，1：x=4,此时圆心C(2,-1)到直线1的距离d=2符合题意， 当直线1斜率存在时，设斜率为k,则1：y+2=k(x-4),即a-y-4k-2=0, 此时圆心C亿-)到直线的距离4=2以+之-2，解得= 3 Vk2+(-1) 4 此时1方程为3x-4y-20=0, 综上切线1的方程为x-4=0或3x-4y-20=0. (3)因为圆C上恰好有3个点到直线：x+y+m=0的距离为1， 所以直线1分割圆C为一段优弧和一段劣弧， 在劣弧上有且仅有一个点到直线1的距离为1，且该点为劣弧的中点， 所以圆心C(2,-1)到直线：x+y+m=0的距离为1， 即2-1+m-1,解得m=2-1或-5-1 V1P+12 18.(1)证明： 连接OC,因为AD/BC,O为线段AD的中点，BC=AD=1, ∴.AO/BC,且AO=BC,所以四边形OABC为平行四边形， 又AB=BC,AB⊥AD, 则四边形OABC为正方形，所以OC⊥AD, 又PO⊥平面ABCD,OC,ADc平面ABCD,则PO,OC,AD两两垂直. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则P0,0,5),A(0,-1,0,B1,-1,0),C1,0,0),D(0,1,0), 因为E是PD的中点，所以EQ了)7 答案第8页（共10页） PA=(0,-1,-5,PB=,-1,-3) 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,,), PA=0,即y-50 则 7·PB=0x-y-V3z=0 取--小.则Eg-9-0 又因为CEd平面PAB,所以CE∥平面PAB: E 1M D 23 2 3)2 7 【分析】连接OC,由题可得四边形OABC为正方形，结合PO⊥平面ABCD,可得PO,OC,AD两两垂 直，据此如图建立空间直角坐标系 (1)求出平面PAB的一个法向量n,通过说明CE·n=0,CEd平面PAB,可完成证明； (2)由(1)分析结合空间中点到平面距离公式可得答案： (3》由题可得底面4BCD的法向量与BM=(AL,V5,然后由题设可得cs(BM,= , 据此可得 4 平面MAB与平面ABD的法向量，利用空间两平面夹角 【详解】(1)略： (2)由(1)知， 且平面PAB的一个法向量为%=(0，V3,-, 所以点E到平面PAB的距离d= EA.n V02+(5+←y (3)由题意知，底面ABCD的法向量为n=(0,0,I), 答案第9页（共10页） 因为BM-BC+CM=BC+CP,元∈[O,], 且BC=(01,0),CP=(-1,0,3),所以BM=（-元，l,V3）, cos(BM, 6 所以由题意知： -+P+(3n 4 解得：=， 所以BM 因为AB=(1,0,0),设平面MAB的一个法向量为n2=(x2,y2,22), 则/%AB=0 x2=0 5+%+吗0=aa功 g·BM=0'即1 所以cos(,n)= 0x0+0x(-5)+1×22_27 1×V0+(5+22V77, 又平面MAB与平面ABD夹角为锐角， 所以平面MMB与平面ABD夹角的余弦值为2 7 D 答案第10页（共10页）