第二十章 解直角三角形全章高频重点题型突破（十大高频+十大重难题型，专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

第二十章 解直角三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 锐角三角函数概念辨析 题型2 求锐角三角函数值 题型3 根据锐角三角函数求边长 题型4 已知角度比较三角函数值的大小 题型5 同角三角函数关系式 题型6 特殊三角形的三角函数 题型7 特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型8 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型9 解直角三角形相关计算 题型10 解直角三角形的实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 锐角三角函数求值综合 题型2 同角三角函数关系式综合 题型3 三角函数综合 题型4 解直角三角形的几何问题 题型5 解非直角三角形 题型6 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型7 仰俯角问题 题型8 方位角问题 题型9 坡度比问题 题型10 解直角三角形的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 锐角三角函数概念辨析 1．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 2．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ◆题型2 求锐角三角函数值 4．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（2027九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D．3 ◆题型3 根据锐角三角函数求边长 7．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D在边上，，，，点E在的延长线上，连接，若，则的长为___． 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 9．（2026·广东广州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． ◆题型4 已知角度比较三角函数值的大小 10．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 11．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）比较大小：___________．（填“”，“”或“”） 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 ◆题型5 同角三角函数关系式 13．（25-26九年级上·山东威海·期末）已知是锐角，且，则______． 14．（25-26九年级上·河南周口·期末）计算：s___________． 15．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． ◆题型6 特殊三角形的三角函数 16．（26-27九年级上·上海长宁·期中）计算：． 17．（26-27九年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2) 18．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）计算：_______________． ◆题型7 特殊角的三角函数值判断三角形形状 19．（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 20．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 21．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是___________三角形． ◆题型8 根据特殊角三角函数值求角的度数 22．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 23．（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 24．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． ◆题型9 解直角三角形相关计算 25．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． 27．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在中，，根据下列条件求出的正确数值 (1)： (2)． ◆题型10 解直角三角形的实际应用 28．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 29．（2026·湖北襄阳·模拟预测）热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 30．（25-26九年级上·福建漳州·期末）文昌阁位于长泰区武安镇石岗山上，始建于唐朝，是长泰的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量文昌阁的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B两个观测点．在点测得文昌阁顶部的仰角为，在点测得文昌阁顶部D的仰角为．求文昌阁的高度（结果精确到1米，）． ◆题型1 锐角三角函数求值综合 31．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 32．（26-27九年级下·全国·课后作业）在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 33．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． ◆题型2 同角三角函数关系式综合 34．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 35．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 36．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： (1)______； ______； ______． 观察上述等式，猜想：在中，，都有______； (2)如图4，在中，的对边分别是，利用正弦的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)已知，且，求的值． ◆题型3 三角函数综合 37．（2026·浙江温州·三模）如图，是矩形的对角线，和分别沿着，所在直线进行折叠，使得点和恰好落在对角线上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 38．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 39．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求的余切值； (2)如果点为直线上第一象限内的点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． ◆题型4 解直角三角形的几何问题 40．（2027九年级下·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的值． 41．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 42．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点是的中点，连接，，，． (1)求的长； (2)求． ◆题型5 解非直角三角形 43．（26-27九年级上·山东济宁·开学考试）如图，在中，，，，求的长． 44．（25-26九年级上·全国·阶段检测）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 45．（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． ◆题型6 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 46．（26-27九年级下·全国·周测）在数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，比较和的大小关系，并说明理由． 47．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 48．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图1和图2，在中，，，，点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持 (1)当点在上时，求点与点的最短距离； (2)若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长； (3)当在上，且，求的长； ◆题型7 仰俯角问题 49．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 50．（26-27九年级下·全国·课后作业）某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图①），他们通过自制的测倾器（如图②）在，，三个位置观测，测倾器上的示数如图③所示．测量时，以题中图上距离为准，并精确到． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． (1)【分析规划】选择两个观测位置：点________和点_______． (2)【获取数据】写出所选位置观测角的正切值，并测量观测点之间的图上距离． (3)【推理计算】计算发射塔的图上高度． (4)【换算高度】楼房实际宽度为，请通过测量，换算发射塔的实际高度． 51．（2026九年级上·山东·专题练习）学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点，，，，，，均在同一竖直平面内，求点距离地面的高度．（参考数据：，，，，，） ◆题型8 方位角问题 52．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 53．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 54．（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． ◆题型9 坡度比问题 55．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 56．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡度，斜坡的坡度． (1)求斜坡与坝底的长度（精确到）； (2)求斜坡的坡角α（精确到）． 57．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． ◆题型10 解直角三角形的新定义问题 58．（2026·上海·模拟预测）定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的对顶值．如图，在中，，顶角的对顶值记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的对顶值的定义，解决下列问题： (1)的值为 ． (2)对于，的对顶值的取值范围是 ． (3)如果，其中为锐角，试求的值． 59．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 60．（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 下面是小美学习“解直角三角形”相关知识的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 锐角的余切 【概念】如图1．在中，，我们知道，称为的正弦，即，称为的余弦，即，称为的正切，即．下面我们再给出一个定义：称为的余切，即． 【问题1】在中，，若，，则 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，若，，，求的值． 解：如图3，过点作于点， 在中，∵，∴． 设，，∴，∴（负值已舍去），∴，∴， 在中， …… 任务： (1)问题1中的“▲”应填______． (2)将问题2中的剩余部分补充完整． (3)如图4，在中，，，延长到点，使得，连接，求的值． 61．（25-26九年级上·河北保定·期末）图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 62．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长是（　　） A． B．2 C． D．4 63．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某 数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点,测得潮汐塔底端的俯角为(点，，，在同一平面内)，则潮汐塔的高度为(    )(结果精确到，参考数据：,,) A． B． C． D． 64．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 65．（2025九年级·全国·专题练习）如图，轮船从处以的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测到灯塔位于南偏东方向上．轮船航行半小时到达处，在处观测到灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是（    ） A． B． C． D． 66．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在中，．若，，则_________． 67．（25-26九年级下·浙江·单元复习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台处，测得商业大厦顶部的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在处测得商业大厦底部的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台处测得大厦底部的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知三点共线，，商业大厦的高度______． 68．（25-26九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则______． 69．（25-26九年级下·全国·单元测试）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，如图，，，，延长至点，使，连接，得，．类比这种方法得________． ∴，， ∵， 设， ∴，， ∴， 故答案为：． 70．（2025·内蒙古·二模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为．沿水平方向由点O飞行到达点F，此时测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼与之间的距离的长约为 ________．（结果精确到．参考数据：，） 71．（2026九年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 72．（2026年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷）如图，在四边形中，，过点作于点，是的中点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 73．（2025·湖南衡阳·模拟预测）综合与实践 香炉洲大桥是湘江流域主塔最高、跨度最大的独塔斜拉桥，是湖南基建的标志性成就，更是绿色建造领域的标杆工程．数学实践小组查阅相关资料，其主塔“湘江之钻”造型的高度为202米，这个高度包含了塔基、承台塔座等水下部分，他们计划运用所学知识测量香炉洲大桥的主塔相对于桥面的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点A是大桥主塔顶部一点，为主塔相对于桥面的高度，无人机在主塔上方点C处时，测得主塔顶部A处的俯角，底部B处的俯角，沿水平方向由点C飞行84米到达点D处，在D处测得A处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求大桥主塔相对于桥面的高度；（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【方案反思】 （2）湘湘同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点C到桥面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，84米，）中至多可以删减的数据为_______． 74．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 75．（2025·河北石家庄·三模）跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． (1)数学兴趣一组已测得，，求平台与地面之间的距离．（，结果保留到个位）． (2)数学兴趣二组通过测量得到，，从E处看C的仰角为（即），并由计算器查得，，请问能否根据两个兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 解直角三角形全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 锐角三角函数概念辨析 题型2 求锐角三角函数值 题型3 根据锐角三角函数求边长 题型4 已知角度比较三角函数值的大小 题型5 同角三角函数关系式 题型6 特殊三角形的三角函数 题型7 特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型8 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型9 解直角三角形相关计算 题型10 解直角三角形的实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 锐角三角函数求值综合 题型2 同角三角函数关系式综合 题型3 三角函数综合 题型4 解直角三角形的几何问题 题型5 解非直角三角形 题型6 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型7 仰俯角问题 题型8 方位角问题 题型9 坡度比问题 题型10 解直角三角形的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 锐角三角函数概念辨析 1．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用互余两角三角函数关系，，结合锐角范围内余弦函数单调递减，由推出，进而求出两角之和． 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；     B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26九年级上·上海·单元复习）在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． ◆题型2 求锐角三角函数值 4．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 5．（2027九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦的定义判断，再结合相似的判定和性质，可推得同角的余弦值相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，，即②满足要求； ∵是斜边上的高， ∴在中，，即①满足要求； 由题可知，， 则，， ∴， ∴， ∴， 则，即④满足要求； 综上，比值与的值相等的个数为个． 6．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解即可. 【详解】 解：如图，过点作交于点. 网格小正方形边长为1， ，. 在中，. ◆题型3 根据锐角三角函数求边长 7．（26-27九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D在边上，，，，点E在的延长线上，连接，若，则的长为___． 【答案】 【分析】作，，，则四边形为矩形，得到，，，，证明，得到，设，，求出，的长，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：作，，，垂足分别为，，，则四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 8．（26-27九年级上·全国·单元测试）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 9．（2026·广东广州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义得到与、的关系，代入已知条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，， ∴， ∴ ． ◆题型4 已知角度比较三角函数值的大小 10．（26-27九年级上·山东淄博·开学考试）当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）比较大小：___________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角形的性质，根据锐角三角函数的性质，正弦函数在到范围内是单调递增的，即可得解，熟练掌握锐角三角形函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：因为正弦函数在区间到上单调递增，且， 所以， 故答案为：． 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． ◆题型5 同角三角函数关系式 13．（25-26九年级上·山东威海·期末）已知是锐角，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解； 【详解】， ∴原式 故答案为：． 14．（25-26九年级上·河南周口·期末）计算：s___________． 【答案】0 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 15．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． ◆题型6 特殊三角形的三角函数 16．（26-27九年级上·上海长宁·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 17．（26-27九年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）计算：_______________． 【答案】1 【详解】解： ． ◆题型7 特殊角的三角函数值判断三角形形状 19．（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 20．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）在中，，则是______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，利用绝对值和平方的非负性可得，，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， 故答案为：钝角． 21．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是___________三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． ◆题型8 根据特殊角三角函数值求角的度数 22．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 23．（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 【答案】20 【分析】结合为锐角的取值范围，利用特殊角的余弦值确定的度数，进而求解的值． 【详解】解：∵为锐角 ∴ ∴ ∵，且 ∴ ∴． 24．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． ◆题型9 解直角三角形相关计算 25．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，求角的正切值，已知正切值求边长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据在中，，，可求得，由此可判断A； 根据，代入已知数据，可求得，由此可判断B； 根据勾股定理求得，由此可判断C； 根据正切的定义式求得，由此可判断D． 【详解】解：在中，，， ∴，故A正确，不符合题意； 在中，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，故B错误，符合题意； ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意． 故选：B． 26．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，设，，利用勾股定理可得，解方程求出，从而可知； （2）由可知，根据正弦的定义求出． 【详解】（1）解：， ， 设，， 在中，， ， ， 解得：或(负值舍去)， ； （2）解：由（1）可知， ，， ． 27．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在中，，根据下列条件求出的正确数值 (1)： (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先根据正切的定义求出，再结合特殊角的三角函数值确定的度数； （2）先根据余弦的定义求出，再结合特殊角的三角函数值确定的度数． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴ ◆题型10 解直角三角形的实际应用 28．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由图可知，， 即米． 29．（2026·湖北襄阳·模拟预测）热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ∴，， ∴这栋高楼的高为． 30．（25-26九年级上·福建漳州·期末）文昌阁位于长泰区武安镇石岗山上，始建于唐朝，是长泰的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量文昌阁的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B两个观测点．在点测得文昌阁顶部的仰角为，在点测得文昌阁顶部D的仰角为．求文昌阁的高度（结果精确到1米，）． 【答案】24米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，先理解题意，得出是等腰直角三角形，又因为在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B，得出米，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在点测得文昌阁顶部的仰角为，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在文昌阁底部正前方的平地上选取相距10米的A、B， ∴米， 则， ∴， ∵在点测得文昌阁顶部D的仰角为． ∴ ∵， ∴， ∴， 解得， ∴文昌阁的高度约为米． ◆题型1 锐角三角函数求值综合 31．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数先求出的值，再根据勾股定理求出的长； （2）过点D作，根据角平分线的性质得到，用证明，根据全等的性质和勾股定理求出的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：； （2）解：过点D作交于点E，则，如下图所示， 平分，，， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ， 整理得：， 解得：， ． 32．（26-27九年级下·全国·课后作业）在学习北师版九年级下册第一章时，小华同学对一个角与其倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了研究． (1)【实践探究】在解决“如图①，若在中，，，，求的值”这一问题时，小华想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，则，即转化为求的正切值．请按小华的思路求出的值． (2)【拓展延伸】如图②，若在中，，，，则： ①的值为 ； ②的值为 ． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， ，， ． （2）解：①如图，作的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， ， 在中，，，， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， ， ． ②如图，作交于点，使， ∴， 则， 设，则， ， 设点到，边上的距离为， ∴， ∵， ，即， ， 在中，， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ． 33．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的定义，代入已知线段长求出的长； （2）先由勾股定理求出的长，再算出的长度，最后根据正切的定义求出的值． 【详解】（1）解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ； （2）解：在中， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ． ◆题型2 同角三角函数关系式综合 34．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1 (2)1 (3)证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． (4) 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出、、、 的值，代入、计算即可得答案． （2）根据正弦、余弦的定义求出，，，观察即可可猜想． （3）根据正弦、余弦的定义求出，再根据勾股定理得，代入计算即可得． （4）根据完全平方公式计算得，把，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． 35．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式： ①，；②，；③，． (1)根据上述规律，计算 [注：]． (2)求的值 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据所给等式总结即可； （2）根据（1）中结论计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵， ∴， ∴； ； （2）解：∵， ∴ ． 36．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： (1)______； ______； ______． 观察上述等式，猜想：在中，，都有______； (2)如图4，在中，的对边分别是，利用正弦的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1，1 (2)证明：在中，， ， ． (3) 【分析】（1）根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；继而可想到在中，，都有； （2）在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； （3）利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】（1）解：由图可知：， ， ， 观察上述等式，可猜想：； （2）略 （3）解：， （负值舍去）． ◆题型3 三角函数综合 37．（2026·浙江温州·三模）如图，是矩形的对角线，和分别沿着，所在直线进行折叠，使得点和恰好落在对角线上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， ， 根据折叠的性质可知，，， ， ， 四边形是平行四边形； (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，推出，结合折叠的性质可推出，得到，即可得证； （2）根据矩形和折叠的性质可得，，根据求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， 由折叠可得，，， ， ，即， ， ， ， ，即 ， 四边形的面积为． 38．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解； （2）先证明，得到，再由，即可求解； （3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； （3）解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 39．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求的余切值； (2)如果点为直线上第一象限内的点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据余切值的定义，即可求得． （2）画出图，根据相似三角形的性质即可求得． （3） 根据的角所对边的关系，从而分类讨论找出两个符合条件的点，利用相似即可求得坐标． 【详解】（1）解：根据题意得直线与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为． ，． 在中，，． （2）解：过点作轴交轴于点，则． ． ，． ，，． ．点的坐标为．    （3）解：如图所示： ，． ，．又， 满足题意的点在的延长线上，且 设点()，则． ，，． (ⅰ)当时，，即， 则． 解得． 点的坐标为． (ⅱ)当时，，即． 解得． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或．    【点睛】本题考查余切值、一次函数综合、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键 ◆题型4 解直角三角形的几何问题 40．（2027九年级下·全国·专题练习）如下图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】（1）求交点B的坐标，需联立两条直线的解析式组成方程组求解． （2）求的值，需先求出点A的坐标，过点作x轴的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出斜边的长，最后根据正弦函数的定义（对边比斜边）计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点B是直线与直线的交点， 联立两直线解析式得方程组：， 将代入，得： 将代入，得， 所以，点的坐标为． （2）如图，过点作轴于点， 则，． 由，得，则， ， ， ． 41．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，是上的高，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：是上的高， ， ，． 在和中， ，， 又， ， ． (2)8 (3) 【分析】（1）利用高得到直角，结合正切、余弦的定义，根据已知等量关系推导出线段相等． （2）利用正弦值设参数表示直角三角形三边，结合（1）的结论，根据列方程求出参数，再计算． （3）设线段参数，利用勾股定理建立等式，求出线段的比值，再结合余弦定义计算． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ∴可设，， ∵， ． ，又， ． ∵， ， ， ． （3）解：设，，， ∵， ∴， ． ， 则， ， ∴， ∴， 解得， ． 42．（26-27九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，点是的中点，连接，，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，再由中点的性质等量代换得到，根据等边对等角结合三角形内角和定理推出，进而推出，在中，解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为，在中，根据可设，，根据勾股定理列方程可得，的长，进而得到的长，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴； （2）解：过点作，垂足为， 在中，， 设，， ∵， ∴，解得（负值已舍去）， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴． ◆题型5 解非直角三角形 43．（26-27九年级上·山东济宁·开学考试）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作于点，将分割成两个直角三角形，根据锐角三角函数关系求边长即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，． ． 在中，， ． ． 44．（25-26九年级上·全国·阶段检测）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作）．如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)如图②，中，，若，求的值； (3)如图③，中，，若， ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，为顶角为的等腰三角形，从而可以求得的值； （2）根据中，，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可以解答本题； （3）根据中，， ，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据题意可以解答本题． 【详解】（1）解：∵顶角为的等腰三角形是等边三角形， ∴． （2）解：作于点，如图所示： 中，， ， ， ， 即． （3）解：如图③所示，在上截取，作于点E， 中，，， 设，，则． ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 45．（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． ◆题型6 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 46．（26-27九年级下·全国·周测）在数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】解：．理由如下： 如解图，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N． 在中，， ， ， 在中，， ， ． ， ． 【分析】，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N．利用三角函数表示三角形的高，根据三角形面积计算求解即可． 【详解】解：略． 47．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： 则 （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴ 【点睛】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． 48．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图1和图2，在中，，，，点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持 (1)当点在上时，求点与点的最短距离； (2)若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长； (3)当在上，且，求的长； 【答案】(1)3 (2) (3)3或5 【分析】（1）由垂线段最短可以得到AP是的高时，点与点的最短距离,再利用解直角三角形即可求出AP的长； （2）由勾股定理可求AB，通过证明，再由面积比转化为边长的比，可求AP的长，即可求解； （3）先证明，再利用相似三角形的性质即可 【详解】（1） 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴当点在上时，点到的最短距离为3 （2）如图1中，∵， ∴， ∴， ∵将的面积分成上下， ∴， ∴， ∴， （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∴ 解得或 所以的长为3或5 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和特殊位置求长度是本题的关键． ◆题型7 仰俯角问题 49．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，小明想测量塔的高度．他在处用高为的测倾器测得塔顶的仰角为，再朝塔的方向前进至处，测得塔顶的仰角为．请你帮他计算一下这座塔的高度（结果精确到）． 【答案】 【分析】设，求出，，由列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设，由题意可知，三点共线，三点共线，，，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得 即这座塔的高度为． 50．（26-27九年级下·全国·课后作业）某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图①），他们通过自制的测倾器（如图②）在，，三个位置观测，测倾器上的示数如图③所示．测量时，以题中图上距离为准，并精确到． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． (1)【分析规划】选择两个观测位置：点________和点_______． (2)【获取数据】写出所选位置观测角的正切值，并测量观测点之间的图上距离． (3)【推理计算】计算发射塔的图上高度． (4)【换算高度】楼房实际宽度为，请通过测量，换算发射塔的实际高度． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，，，测得图上（答案不唯一） (3)（答案不唯一） (4)发射塔的实际高度为（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意选择即可； （2）根据图3中的数据求解即可； （3）如图①，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解； （4）测得图上，设发射塔的实际高度为，由题意得，解得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图①，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵，， ∴，． ∵， ∴ 解得， ∴． ∵， ∴， ∴； （4）解：测得图上，设发射塔的实际高度为， 由题意，得， 解得， ∴发射塔的实际高度为． 51．（2026九年级上·山东·专题练习）学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高米．上午某时刻经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米；一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，遮阳棚在主席台阴影区域的宽度米，点，，，，，，均在同一竖直平面内，求点距离地面的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】过E作交于H，由正切的定义得，，即可求解． 【详解】解：如图，过E作交于H， ∵， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， 即点E距离地面的高度米． ◆题型8 方位角问题 52．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)的长度为 (2)解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点 ． 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； （2）略 53．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 【答案】(1) (2)解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ， ， 故需要时间为， 小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【分析】（1）根据，计算即可； （2）根据时间，计算比较解答即可，注意单位的统一； 【详解】（1）解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）略 54．（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)最短距离约为海里 (2)渔船不能在浓雾到来前到达码头，理由如下： 如图，过点作于点． 在中，， 由（1）可知海里， ∴（海里）． ∴（海里）． ∵小时分钟，从经过分钟是， ∴渔船不能在之前到达． ∴若不改变航行速度，渔船不能在浓雾到来前到达码头． 【分析】（1）过点作构造直角三角形，先根据航行时长算出长度，设垂线段，利用的正切表示，结合列方程求解，即为渔船到灯塔的最短距离． （2）在中利用求出，算出总路程，结合船速求出行驶总时长，对比到的时间，判断能否抵达码头． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 由题意，得，，， ∴，． ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得． ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里． （2）解：略． ◆题型9 坡度比问题 55．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）手机导航极大地方便了人们的出行，如图1，嘉淇一家自驾到风景区去爬山，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉淇发现风景区在地的北偏东方向上. (1)的度数为______. (2)，两地的距离为______千米.（结果保留根号） (3)嘉淇一家到风景区后，从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他们的垂直高度上升了米，再从点处沿坡角为的坡面，以米分的速度到达山顶点时，用了分钟，如图所示 ①点到点之间的水平距离为______米； ②山顶点处的垂直高度是米（，结果保留整数） (4)嘉淇一家到达山顶后，嘉淇看到山顶上有一座塔，他便想要利用随身带的无人机测量出塔高．如图，嘉淇将无人机在塔、树上方的处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为米，无人机竖直高度为米，，，在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多米，求塔高.（结果保留根号.参考数据：，，） 【答案】(1) (2)千米 (3)①米；②约米 (4)米 【分析】（1）由方位角求出、，再由三角形内角和求； （2）过点作于点，把斜三角形分成两个直角三角形求解； （3）①由坡度知水平距离是垂直高度的3倍；②由“速度×时间”求坡面的长，再用坡角求垂直上升的高度，加上点已上升的25米； （4）由树顶俯角与树高求出，得，再由塔顶俯角求塔高． 【详解】（1）解：如图1，由题意得， ∵在的北偏西方向， ∴在的南偏东方向， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：过点作于点． 在中，，，， ∴， ． 在中，，， ∴， ∴， ∴，两地的距离为千米． （3）①解：∵坡面的坡度为，垂直高度上升了25米， ∴点到点之间的水平距离为（米）． ②解：∵以20米/分的速度行进了30分钟， ∴坡面的长为（米）． ∵坡面的坡角为， ∴从点到点的垂直上升高度为（米）， ∴山顶点处的垂直高度（米）， ∴山顶点处的垂直高度约为449米． （4）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵树高米，无人机垂直高度米， ∴点与树顶的垂直距离为（米）． ∵树顶的俯角为，则 ， ∴（米）， ∵点到塔底的距离比到树底的距离多8米， ∴（米）． 由塔顶的俯角为得： ， ∴， ∴， ∴塔高为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的综合应用：方位角、坡度与坡角、俯角．关键是把实际问题转化为直角三角形：第（2）问作垂线构造直角三角形；第（3）问理解坡度是垂直高度与水平距离的比；第（4）问先用树高与俯角求水平距离，再由水平距离之间的关系求塔高． 56．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽为，坝高为，斜坡的坡度，斜坡的坡度． (1)求斜坡与坝底的长度（精确到）； (2)求斜坡的坡角α（精确到）． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）过点B作于点E，过点C作于点F，根据坡度比分别求出、的长，然后求出，根据勾股定理求出； （2）根据斜坡的坡度，得出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：过点B作于点E，过点C作于点F，如图所示： 则，， 根据题意得：， ∵梯形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵斜坡的坡度，斜坡的坡度， ∴， ， ∴， 在中，根据勾股定理得： ； （2）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∴． 57．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】(1)方案一中的长度为，方案一不可行； (2)方案二可行，理由如下： 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点， ∴四边形和是矩形， ∴，，，， 设，则， ∵坡道的坡度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴方案二可行． 【分析】过作于点，可得四边形是矩形，则，，由题意可知，坡道的坡度为，所以，解得，然后通过，然后与比较即可； 过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点，则有四边形和是矩形，所以，，，，设，则，根据题意得，然后证明，根据，即，解得，所以，，则，然后与比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，坡道的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为，且， ∴方案一不可行， 答：方案一中的长度为，方案一不可行； （2）略． ◆题型10 解直角三角形的新定义问题 58．（2026·上海·模拟预测）定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的对顶值．如图，在中，，顶角的对顶值记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的对顶值的定义，解决下列问题： (1)的值为 ． (2)对于，的对顶值的取值范围是 ． (3)如果，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）顶角为的等腰三角形是等边三角形，直接按的定义求解即可； （2）根据三角形两边之和大于第三边，求出对顶值范围； （3）作高构造直角三角形，利用设边长，用勾股定理算出，代入定义求． 【详解】（1）解：根据题意可知， ， 为等边三角形， ， ． （2）解：在中，， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作，则， ， 设，， ， ， ， ， ． 59．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ， ，， ． (3)16 【分析】（1）根据三角形面积公式，然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算； （2）根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义，，再等量代换推导出两角和正弦公式； （3）根据与，求出，再利用勾股定理求出高，最后用三角形面积公式算出面积． 【详解】（1）解： ． （2）证明：略 （3）解：过点作，垂足为． ， ． 设，． 在中， ，，． ，． ． 60．（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）阅读与思考 下面是小美学习“解直角三角形”相关知识的学习笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 锐角的余切 【概念】如图1．在中，，我们知道，称为的正弦，即，称为的余弦，即，称为的正切，即．下面我们再给出一个定义：称为的余切，即． 【问题1】在中，，若，，则 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，若，，，求的值． 解：如图3，过点作于点， 在中，∵，∴． 设，，∴，∴（负值已舍去），∴，∴， 在中， …… 任务： (1)问题1中的“▲”应填______． (2)将问题2中的剩余部分补充完整． (3)如图4，在中，，，延长到点，使得，连接，求的值． 【答案】(1) (2) 解：∵，， ∴， ∴． (3) 【分析】本题是三角形的综合题，考查解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形及勾股定理的熟练运用是解题的关键． （1）根据题中所给思路，继续完成计算即可． （2）先由勾股定理求得，再由得出答案； （3）设，由，，可得，，求出，最后由求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 61．（25-26九年级上·河北保定·期末）图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，过点作，垂足为，延长交于点，得四边形是矩形，所以，，求出，则，所以此人要能被摄像头识别，其身高不能超过，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴此人要能被摄像头识别，其身高不能超过， 故选：． 62．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长是（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，包括锐角三角函数的定义与等腰直角三角形的判定及性质．先在中利用正弦函数求出的长度，再由推出，判定为等腰直角三角形，最终求出的长度． 【详解】解：在中，，， ． ， ． 在中，，， 为等腰直角三角形， ． 故选：C． 63．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某 数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点,测得潮汐塔底端的俯角为(点，，，在同一平面内)，则潮汐塔的高度为(    )(结果精确到，参考数据：,,) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，延长交于点，根据等腰直角三角形的性质可知，根据的长度即可求出，利用的正切求出的长度，利用即可求出潮汐塔的高度． 【详解】解：延长交于点， 则有， 无人机在距水平地面， ， ， 是等腰直角三角形， ， 无人机从点沿水平方向飞行到达点， ， ， 在中，，， ， ， ． 故选：C． 64．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义． 如图，过点作交于点．设，则，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点作交于点． 设，则， ，， ， ， ， ∴， ， ， 故选：B． 65．（2025九年级·全国·专题练习）如图，轮船从处以的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测到灯塔位于南偏东方向上．轮船航行半小时到达处，在处观测到灯塔位于北偏东方向上，则处与灯塔的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键． 对图形进行角标注和点标注，根据题目信息得出 ，再求出，进而得出为等腰直角三角形，即，求出即可； 【详解】解：对图形进行角标注和点标注，如图所示： 由题意知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴ 故选：D ． 66．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在中，．若，，则_________． 【答案】12 【分析】过点C作于点D，根据等腰三角形性质得到，，根据，得到，根据勾股定理得，即可得到答案. 【详解】解：过点C作于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 67．（25-26九年级下·浙江·单元复习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台处，测得商业大厦顶部的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在处测得商业大厦底部的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台处测得大厦底部的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知三点共线，，商业大厦的高度______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出． 过点作于点，过点作于点，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明，得，进而可得商业大厦的高． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图所示： ∴， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：商业大厦的高为． 故答案为：． 68．（25-26九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，设直线与y轴的交点为B，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，令直线与轴交于点，求出得出，再结合旋转的性质可得，最后解直角三角形即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：令直线与轴交于点， ∵直线：， ∴当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∴， ∵将直线绕点A逆时针旋转得到直线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 69．（25-26九年级下·全国·单元测试）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，如图，，，，延长至点，使，连接，得，．类比这种方法得________． 【答案】 【分析】在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，在中，，，作的角平分线，作， ∴，， ∵， 设， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，等腰直角三角形的性质，分母有理化，解直角三角形的相关计算，求角的正切值． 70．（2025·内蒙古·二模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为，楼上点E处的俯角为．沿水平方向由点O飞行到达点F，此时测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，则楼与之间的距离的长约为 ________．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长与分别交直线交于G、H，分别利用解三角形求出、、，即可． 【详解】解：延长与分别交直线交于G、H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴楼与之间的距离的长约为． 故答案为： 71．（2026九年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解； （2）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 72．（2026年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷）如图，在四边形中，，过点作于点，是的中点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到，进而求出，由等边对等角得到，进而得到，根据30度角的性质求出，进而根据三角函数计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 是的中点， ， 在中，， ， 在中，， ． 73．（2025·湖南衡阳·模拟预测）综合与实践 香炉洲大桥是湘江流域主塔最高、跨度最大的独塔斜拉桥，是湖南基建的标志性成就，更是绿色建造领域的标杆工程．数学实践小组查阅相关资料，其主塔“湘江之钻”造型的高度为202米，这个高度包含了塔基、承台塔座等水下部分，他们计划运用所学知识测量香炉洲大桥的主塔相对于桥面的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点A是大桥主塔顶部一点，为主塔相对于桥面的高度，无人机在主塔上方点C处时，测得主塔顶部A处的俯角，底部B处的俯角，沿水平方向由点C飞行84米到达点D处，在D处测得A处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求大桥主塔相对于桥面的高度；（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【方案反思】 （2）湘湘同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点C到桥面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，84米，）中至多可以删减的数据为_______． 【答案】（1）大桥主塔相对于桥面的高度AB约为150米；（2）84米和． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）延长交于点G，则，解得到，设米，则米；解得到，则，解方程求出的长，再解求出的长即可得到答案； （2）根据题意可得无人机可直接显示的长，那么解可求出的长，解可求出的长，则可求出的长，因此不需要知道的长和的度数． 【详解】解：（1）如图，延长交于点G，则． 在中，， ∴． 设米，则米． 在中，， ∴，即． 解得（已检验是原方程的解，且符合题意）． ∴米，米． 在中，， ∴． ∴（米）． ∴（米）． 答：大桥主塔相对于桥面的高度约为150米． （2）无人机能实时显示点C到桥面的距离，结合（1）可知，利用数据，求得的长度即可，所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为84米和． 74．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． （1）解直角三角形求出的长，则可求出的长； （2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可； （3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴； （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴； （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为． 75．（2025·河北石家庄·三模）跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． (1)数学兴趣一组已测得，，求平台与地面之间的距离．（，结果保留到个位）． (2)数学兴趣二组通过测量得到，，从E处看C的仰角为（即），并由计算器查得，，请问能否根据两个兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） 【答案】(1)平台与地面之间的距离约为 (2)大跳台最高点的高度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）过点E作于点N，在中，由，即可得出答案； （2）连接．过点C作于点M，延长ED交CM于点P，先证明四边形是矩形．得出，设，在中，由，得，列出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点N， 在中，由， 得． 答：平台与地面之间的距离约为． （2）解：能求出大跳台最高点的高度． 如图，在第（1）题答图的基础上连接．过点C作于点M，延长ED交CM于点P， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴四边形是矩形． ∴， 设， 在中，由， 得， 在中，由， 得， ∵， 即， 解得． ． 答：大跳台最高点的高度约为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $