专题04 解直角三角形章末18易错+6压轴题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦解直角三角形章末易错点与综合应用，通过分层题型构建从概念到压轴的完整训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型|18类|覆盖三角函数概念、特殊角运算、解直角三角形及实际应用（仰俯角/方位角/坡度）等易错点|从三角函数定义到非直角三角形构造，再到生活情境应用，形成概念-计算-应用的递进逻辑| |压轴题型|6类|涉及与相似、函数、模型、折叠等知识综合，强调复杂问题转化|以解直角三角形为核心，融合几何变换与代数运算，体现知识交汇与综合思维|

专题04 解直角三角形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形章末易错题型 易错题型1 正弦的相关概念与求解 易错题型2 余弦的相关概念与求解 易错题型3 正切的相关概念与求解 易错题型4 特殊三角形的三角函数 易错题型5 特殊角三角函数值的混合运算 易错题型6 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 易错题型7 根据特殊角三角函数值求角的度数 易错题型8 已知角度比较三角函数值的大小 易错题型9 同角三角函数关系 易错题型10 互余两角三角函数的关系 易错题型11 解直角三角形的相关计算 易错题型12 解非直角三角形 易错题型13 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 易错题型14 仰俯角问题 易错题型15 方位角问题 易错题型16 坡度坡比问题 易错题型17 解直角三角形的生活实际问题 易错题型18 解直角三角形的其他应用 考点二 解直角三角形章末压轴题型 压轴题型1 解直角三角形压轴 压轴题型2 解直角三角形与相似三角形综合 压轴题型3 解直角三角形与函数综合 压轴题型4 与解直角三角形相关的模型问题 压轴题型5 解直角三角形的应用问题 压轴题型6 解直角三角形的折叠问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形章末易错题型 ◆易错题型1 正弦的相关概念与求解 1．在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数值是角的固有属性，与边长无关是解题关键． 【详解】解：∵在锐角中，各边长扩大为原来的2倍后，所得三角形与原三角形三边对应成比例， ∴所得三角形与原三角形相似， ∴的大小不变． 又∵锐角的正弦值由角的大小决定，与边的长度无关， ∴的正弦值不变． 故选：A． 2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图（见解析），设网格中每个小正方形的边长为1，先得出的长，再计算正弦即可． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长为1， 由图可知，， ∴， ∴． 3．如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接，，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】如图：过A作于F，过D作于G，则，证明 可得，易得；再利用正弦的定义可求得，运用勾股定理求得，最后利用线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过A作于F，过D作于G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． ◆易错题型2 余弦的相关概念与求解 4．如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． 5．在中，，平分，，，那么的余弦值为___________． 【答案】 【分析】由角平分线定义和已知条件得，可证，再由两角对应相等证，利用相似三角形性质求出，过作，设，利用勾股定理列方程求出，再根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 平分， ， ， ， ， ，， ， 解得， 设，则， ∴ 解得， ∴， ． 6．如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，且与的长度之比为，过点作于点，交于点，连接． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质求出，，结合勾股定理求出，，进一步得出，，根据菱形的性质即可求解； （2）根据直角三角形的性质得出，推得，根据余弦的定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵菱形的周长为， ∴． 根据题意可得， 故， 令，， 在中，， 故， ∴，， ∴，． 对于菱形，， 即， 解得， ∴的长为． （2）解：∵，点是的中点， 故， 即， 在中，， 在中，， 故， 即． ◆易错题型3 正切的相关概念与求解 7．如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 8．如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形边长为，则，根据中点的定义得出，利用勾股定理求出，可得，根据正方形的性质得出，可得，进而证明，根据相似三角形的性质求出，，根据正切的定义即可得出答案． 【详解】解：设正方形边长为，则， 是边的中点， ． 在中，， 是的中点， ， 四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ，即， ，， ． 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，E，F分别是边和对角线上的点，连接，，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形的性质得到，则由等边对等角和平行线的性质可推出，再证明，即可证明； （2）解直角三角形可得，设，则，由相似三角形的性质可得，据此列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴． ◆易错题型4 特殊三角形的三角函数 10．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 11．如图，三角形纸片中，点D，E，F分别在边上，，，将这张纸片沿直线翻折，点A与点F重合．若，，则四边形的面积为（     ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】由翻折性质可得，得垂直平分．因为已知，所以可判定为等边三角形，进而得到相关角的度数．证明是的中位线，求出的长度，得的长度．在中利用角度关系求出的长度．利用四边形的对角线互相垂直的性质，代入对角线乘积的一半公式计算面积． 【详解】解：∵沿翻折后点A与F重合， ∴垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴是等边三角形，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，； ∴是的中位线， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 12．如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交边于点，连接交于点．若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】过点E作于点G，交于点H，证明，，求解即可； 【详解】解：过点E作于点M，交于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得，，不符合要求，舍去， 故； ◆易错题型5 特殊角三角函数值的混合运算 13．计算：． 【答案】3 【详解】解： ． 14．计算： 【答案】 【详解】解：原式． 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再进行实数运算即可求解； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂，代入三角函数值，再进行实数运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆易错题型6 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 16．如图，在中，．请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，即为所求： 【分析】本题考查了尺规作图、特殊角的三角函数值，熟练掌握尺规作垂线的方法是解题的关键． 由，可得，进而得到，再利用尺规过点作的垂线即可． 【详解】略 17．在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 18．锐角中，，则的形状是___________. 【答案】等边三角形 【分析】根据特殊角的三角函数判断和的大小，再断三角形的形状即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小是解答本题的关键． ◆易错题型7 根据特殊角三角函数值求角的度数 19．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 20．如图，已知、是矩形对角线上的两点，且，． (1)求证：； (2)若，试求的度数． 【答案】(1) ∵四边形为矩形， ∴，． ∴． ∵，． ∴． 在和中 ，，， ∴． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得到，，进而求得，结合，即可证明结论； （2）证明，可得，设，则．可得，结合锐角三角函数，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∴． ∴． ∴． 21．如果是直角三角形的一个锐角，且的值是方程的一个根，那么三角形的另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D．或者 【答案】B 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值及直角三角形的性质．先求出方程的根，再由的值判断出的度数，由直角三角形的特点求出三角形的另一个锐角的度数即可． 【详解】解：∵解方程， 配方得， ∴， ∵是直角三角形的锐角，， ∴， ∴， ∵直角三角形的两个锐角互余， ∴另一个锐角的度数为． 故选：B． ◆易错题型8 已知角度比较三角函数值的大小 22．比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查已知角度比较三角函数值的大小． 正弦函数值小于1，而，故，即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 23．将，，用“＞”号连接起来为______． 【答案】 【分析】本题考查了已知角度比较三角函数值的大小．通过互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再利用正弦函数在锐角范围内的性质进行比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，， ∵在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大，且， ∴， 即， 故答案为：． 24．将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数比较大小，根据“”将题干三角函数统一，然后根据“锐角的余弦值随角增大而减小”比较大小按要求排列即可. 【详解】解：， 当为锐角时，的值随的增大而减小， ； 故答案为：． ◆易错题型9 同角三角函数关系 25．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，，即可得出； （2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可． 本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 27．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． ◆易错题型10 互余两角三角函数的关系 28．计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）： ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 29．已知部分锐角三角函数值：，，，，计算________．（提示：） 【答案】 【分析】根据互余两角三角函数的关系：即可求解． 【详解】解：∵   ， ∴   ． 故答案为:． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，深刻理解三角函数的定义是解题关键． 30．在中，，在下列叙述中：①；②；③.其中正确的结论是______.（填序号） 【答案】② 【分析】根据三角函数的定义及互余角的三角函数的关系对各个结论进行分析和判断，从中选出结论正确的序号. 【详解】在中，，设斜边，两直角边， ① ∵ ∴，即 故①的结论错误； ②∵，② ∴ 故②的结论正确； ③∵， ∴与不一定相等 故③的结论错误. 故填：②. 【点睛】本题考查互余角的三角函数的关系，熟练运用定义进行推算是关键. ◆易错题型11 解直角三角形的相关计算 31．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 32．如图，在正方形中，M是边上一点，，垂足分别为E，F． (1)求证：． (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由正方形的性质得到，再证明，，则可利用证明； （2）可证明，则可解直角三角形得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴． 33．如图所示，在中，点D为的中点，且，则________． 【答案】 【分析】延长到，使，连接．证明，得到，，设，则，根据三角函数求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：延长到，使，连接． ∵是中点， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆易错题型12 解非直角三角形 34．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 35．如图，在中，，，，则AB的长为__________． 【答案】14 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=CD=3x，则BD=4x，根据勾股定理计算出x的值计算即可． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D， ∵，＜1=tan45°， ∴∠B＜45°， ∵tan45°=tanA=，， 设AD=CD=3x，则BD=4x， ∴， 解得x=2，x=-2舍去， ∴AB=AD+BD=7x=14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，熟练化斜三角形为直角三角形是解题的关键． 36．已知：如图，在△中，，，．求的长． 【答案】． 【分析】过A作AD⊥BC于D，在直角△ABD与直角△ACD中，设，BD与CD都可以用含有k的式子表示出来，根据BD＋CD＝BC即可得到一个关于k的方程，即可求得AC． 【详解】解：过点作于． 在△中，，， 设，则． 在△中，，， ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解非直角三角形，解题的关键是利用辅助线构造直角三角形，将一般三角形的问题转化为直角三角形来解决． ◆易错题型13 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 【答案】(1)坡顶A到水平面的距离约为210米； (2)斜坡的长度约为240米 【分析】（1）过点A作于E，根据正弦的定义求出，即可得到答案； （2）过点D作于F，于G，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念计算即可． 【详解】（1）解：（1）过点A作于E，  在中，米，  则（米），  答：坡顶A到水平面的距离约为210米； （2）解：过点D作于F，于G，  则四边形为矩形，  ，  在中，米，  则（米），  （米），  的坡比，  ，  ，  （米），  答：斜坡的长度约为240米． 38．如图，中，，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 构造直角三角形，过点作于点，利用特殊角的三角函数值求出、的长，进而求出的长，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中， ， ， ， ， ， 在中， ． 故答案为：． 39．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． ◆易错题型14 仰俯角问题 40．为了测量旗杆的高度，在离旗杆米的C处，用高米的测角仪测得旗杆顶部A的仰角为，求旗杆的高．（精确到米，） 【答案】9.6米 【详解】解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中， ∵米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：旗杆的高是米． 41．清风阁位于安徽省合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年、弘扬包公精神、宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图，某数学小组开展了测量清风阁高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．观测点和清风阁分别在包河的两侧，美美同学用高度为1米的测角仪，在点A处测得清风阁顶M的仰角为，然后她沿坡度的斜坡走了13米到达点C，又用同样的测角仪测得清风阁顶M的仰角为．求清风阁的高度（A，B，C，D，M，N在同一平面内，结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】米 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形列方程逐一推算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 根据题意， ∴点共线，点共线，点共线， 根据题意可得四边形，四边形，四边形，四边形为矩形， 米，， ∵， ∴设米，米， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负数舍去）， 米， 米， 米， 米， 米， 设米，则米， ， 米， 米， 米， ，即， 解得， 米， 答：清风阁的高度约为米． 42．觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔的高度约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理求得，设．得出，过点作，垂足为．，．在中，，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，． 在中，，， ． 答：的长为． （2）由题意， 在中，，， ． 在中，设． ， ． ． 过点作，垂足为． 由题意，得，． ， ． 在中，， ． ，解得． ． 答：塔的高度约为． ◆易错题型15 方位角问题 43．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 【答案】 【分析】过作于，根据等腰三角形的判定得出，在中解直角三角形即可解答； 【详解】解：如图，过作于，则就是灯塔到环海路的距离， 依题意，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴灯塔到环海路的距离为米． 44．如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离． 【答案】船离观测站的距离为 【分析】过点作于点，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系和三角函数，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， 由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， 在中，， ∴． 答：船离观测站的距离为． 45．如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． (1)求该轮船的航行速度； (2)求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】(1)该轮船的航行速度为 (2)点，间的距离为. 【分析】（1）易得为顶角为120度的等腰三角形，为直角三角形，作，三线合一结合勾股定理求出的长，勾股定理求出的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （2）作于点，设，则，分别解和，即可. 【详解】（1）解：由题意，得 ∴， ∵上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处， ∴ 作于点， 则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 故该轮船的航行速度为； 答：该轮船的航行速度为； （2）解：作于点， ∵点到的距离是到的距离的2倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 故点，间的距离为. ◆易错题型16 坡度坡比问题 46．如图，某校准备在坡度的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图， 由题意可得，，， ∵某校准备在坡度的山坡上植树， ∴， ∴， ∴． 47．如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为___________． 【答案】 米 【分析】分别过、作，，四边形为矩形，根据斜坡的坡比为结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，再根据勾股定理求得答案． 【详解】解：分别过、作，，则， ∵斜坡的坡比，即，不妨设，则， 在中根据勾股定理：， ，解得或（不合题意，舍去）， ∴， 又∵背水坡的坡比， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ． 48．项目学习 项目背景： 四美琉璃塔位于山西省太原市文瀛公园南湖东岸的假山上，塔高12层，整体造型玲珑精致，极具观赏性．某校项目学习小组计划测量四美琉璃塔的高度． 方案设计： 如图，观察员在地面上的点处进行观察，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，向前行进到达假山的坡底点处，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，斜坡的坡度． 数据应用： 已知图中各点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上，与水平地面垂直．请根据上述数据，计算四美琉璃塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】延长交于点，则，设，则，，解直角三角形表示出，，然后列方程求出，然后求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，则． 根据题意，得，， ，斜坡的坡度， ， 设，则，． 在中，，， ． 在中，，， ． ． 解得． ，． ． 答：四美琉璃塔的高度约为． ◆易错题型17 解直角三角形的生活实际问题 49．在庆祝中国共青团成立100周年的歌咏比赛中，用的是如图①这款话筒支架，图②是其示意图，是三脚支架，支撑杆与悬臂支架交于点可绕点O旋转，已知，点O到地面的垂直距离为． 当嘴巴与地面的距离与点A与地面的距离相等时，扩音效果最佳． (1)表演者小红的嘴巴离地面距离是，当悬臂支架绕点O旋转至时，求此时的点A的高度对小红的扩音效果是最佳的吗？(精确到) (2)表演者小方的嘴巴离地面高度是，为使扩音效果最佳，需把的度数调为多少度？ 参考数据：， 【答案】(1)点A的高度对小红的扩音效果不是最佳的，见解析 (2)需把的度数大约调至 【分析】（1）过点A作垂直于直线于点H，过点O作于点P，分别计算出，再解直角三角形得到即可判断； （2）先求，进而得到，再求角即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作垂直于直线于点H，过点O作于点P， ∵， ∴. ∴. ∵在中，， ∴， ∴ ∴点A的高度对小红的扩音效果不是最佳的； （2）当时， ， ∴在中，， 又∵ ∴， ∴. 答：需把的度数大约调至. 50．图1是某款沙滩椅，图2是该款沙滩椅放置在地面上的示意图，已知，，，，可通过调试与的夹角调整靠背高度，当时，求H到地面的高度.（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】点H到地面的高度为． 【分析】根据正切的定义求出，结合三角形外角的性质求出，过H作于M，在中，根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 过H作于M， ∴， 答：点H到地面的高度为． 51．项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成．某校课外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动报告． 项目主题 天幕帐篷中的数学 天幕概述 天幕布米，支撑杆可伸缩，且于点；两根长度相同的拉绳和分别固定于地面上点和点处，点共线，点共线；地面固定点与点之间的距离米，． 测量工具 皮尺：测量水平距离． 方案说明 支撑杆由伸长至（点位置不变，点升高到点）；固定点分别移动至点，米，且点在同一条直线上；在这个过程中，拉绳长度保持不变． 示意图 请你根据以上信息，完成下列任务：（，结果精确到0.1米） (1)求拉绳的长度； (2)求支撑杆伸长后的高度． 【答案】(1)拉绳的长度为米 (2)支撑杆伸长后的高度为米. 【分析】（1）根据三线合一，解直角三角形，求出的长，进而求出的长即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 答：拉绳的长度为米； （2）解：由（1）和题意，可知，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 答：支撑杆伸长后的高度为米. ◆易错题型18 解直角三角形的其他应用 52．图1所示是树龄约3000年的晋祠卧龙柏，由于它形似卧龙，树身向南倾斜，主体树干头枕树龄约1500年的撑天柏，形若游龙侧卧而得名．某综合与实践小组成立卧龙柏和撑天柏研究小组，小组调研时，结合部分测量数据和查阅资料获得的数据制作了如下研究报告． 项目课题 晋祠卧龙柏和撑天柏研究报告 调查方式 ①查阅资料；②实地测量；③专家咨询 数据整理 研究过程 示意图绘制 实地测量： ①卧龙柏和撑天柏均生长在高度为1.5米的台基上，即米； ②卧龙柏主体树干被撑天柏托住，其中，与的交点为M，F为的中点，垂直于水平面的支撑杆米； 查阅资料： ①卧龙柏主体树干顶端恰好经过圣母殿上檐翼角尖点B，点B距台基的高度为米，卧龙柏主体树干与水平面的夹角． （说明：为便于计算，图中所有涉及的点，均在同一竖直平面内） 工作人员评价 该小组同学在研究过程中，针对测量不到的数据主动查资料、抠细节、核数据，像真正的研究者一样，用证据说话，用逻辑求证，这才是做学问最珍贵的样子 …… …… 结合上述信息完成下列作答．（结果保留两位小数，参考数据：，，） (1)填空：结合研究报告计算______米； (2)工作人员提示，如图2，在主体树干上长出一根分枝，该分枝上最高点C也是卧龙柏的最高点，用一条虚线将整棵弯曲的卧龙柏的树根中心与树顶中心连接，即虚线，则虚线称为卧龙柏的整树等效中轴线，且卧龙柏的整树等效中轴线与水平面的夹角．若卧龙柏最高点在圣母殿上檐翼角尖点的正上方，求出卧龙柏最高点到地面的距离． (3)反思：研究小组在专业工作人员的指导下发现，不论是的长度还是卧龙柏的高度，计算结果与实际数据均有较大误差，请你结合上述信息分析产生误差的原因（写出一条即可）． 【答案】(1) (2)卧龙柏最高点到地面的距离为22.77米． (3)解：示意图中树干直径忽略不计，而实际卧龙柏和撑天柏直径无法忽略不计；示意图中树干抽象为线段，而实际卧龙柏和撑天柏是蜿蜒的．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据题意可得米，解直角三角形求出，易证，利用相似三角形的性质即可求解； （2）解直角三角形求出，，即可解答； （3）结合实际解答即可． 【详解】（1）解：在中，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点，即， ∴， ∴米； （2）解：在中，，，米， ∴． ∴（米）． 在中，，，米， ∴． ∴（米）， ∴（米）， 答：卧龙柏最高点到地面的距离为22.77米； （3）略 53．小李同学准备外出参加活动，需网购一拉杆箱．图①、图②分别是她在网上看到的某型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度相等，点B、点F在上，点C在上，支杆，，，，请根据以上信息，解决下列问题． (1)求的长度； (2)求拉杆端点A到水平滑杆的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于，在中，解直角三角形可求出，的长，再根据是等腰直角三角形求出、，根据，求出的长，进而求出即可； （2）过点作交的延长线于， 在中，解直角三角形可求出的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ， ，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作交的延长线于， ， ． 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为． 54．2026马年春晚的《武》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国机器人硬核实力．如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，点距地面的高度为．（参考数据：，，） (1)求的度数； (2)若点距地面的高度为，求小腿的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据，，得出，即点到地面的高度等于，根据，得出，在中，求出，结合，得出，则，即可求解． （2）根据，得出，延长交的延长线于，得出到地面高度，则，在中，解直角三角形求出．根据题意可得，结合求解即可． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴点到地面的高度等于， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，即， ∴， 延长交的延长线于， ∵，， ∴， ∴为水平线段，点和距地面高度相等，即到地面高度， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 根据题意可得， ∴． 考点二 解直角三角形章末压轴题型 ◆压轴题型1 解直角三角形压轴 55．在中，点在线段上，，，， (1)若，求的长． (2)若，延长到，连接，此时，求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，得出，证明，得出，即可解答； （2）过点作于点，由，推出，由，推出，在中，因为，可得，再证明，在中利用勾股定理即可解决问题； 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点． ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∵， ， ， ． （2）解：过点作于点． ， ， ， ， ， ， 在中，∵， ， ， ， ， ， ， 在中，． 56．根据题意，完成以下各题 (1)【证明体验】如图1，正方形中，E，F分别是边和对角线上的点，，．求证：． (2)【思考探究】如图2，矩形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，，，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E，F分别是线段和上的点，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ； (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的性质，结合可得，再由，可证得； （2）由勾股定理解得的长，连接交于点O，由，得到，继而证得，最后由相似三角形的对应边成比例解答； （3）设对角线、相交于点O，由菱形对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理解得，的长，再根据菱形对角线平分一组对角可证得，最后根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点O， ∵四边形是矩形，，， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：菱形中， 设对角线、相交于点O， ，且与互相平分，， ，， 中，， ，， ， ∴，则， ． 57．已知正方形中，．E是边上一点（不与B，C重合），，连接，作点B关于的对称点F．连接，，，． (1)求的度数． (2)当是直角三角形时，求证：是和的比例中项． (3)在（2）的条件下，求以及的值． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是和的比例中项． (3)， 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据四边形内角和等于得到，根据折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可； （2）连接，证明，根据相似三角形的性质得到，进而得到，证明结论； （3）过点F作交于点H，根据，得到，根据正切的定义求出，根据勾股定理得出的值． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点F作交于点H， 由（2）可知：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 同理可得：， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． ◆压轴题型2 解直角三角形与相似三角形综合 58．已知的顶点E在的内部，点D，E在直线上方． (1)如图1，连接，，，若和都是等边三角形，C，E、D三点共线，，求的比值； (2)如图2，连接，，，（），若，，求的值（用含n的代数式表示）； (3)在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，连接并延长交边于点F，连接，，若，与相似时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为﹒ 【分析】（1）过点A作于点H，可得，据此计算即可求解； （2）先证明，得到，再证明，即可求出； （3）先求出，，，①当时，证明，进而证明，设，则，可得，，根据，即可求解；②当时，则，证明，即可证明，即可得到E、H重合，C、F重合，从而得到﹒ 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，相似比为 又， ∴， 设，则， 如图，过点A作于点H， ∵是等边三角形， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，， ∴； （2）解：如图，∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴； （3）解：∵，，， ∴，， ∴，，， ①如图，∵，，， ∴． 当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，作，交于点M， ∵， ∴， ∴设，则，可得，， ∵， ∴，即， ∴，， ∴﹒ 如图，过点F作于点G， ， ， ∴﹒ ∵， ∴，解得；   ②如图，当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E，H重合，点C，F重合， ∴， 此时点E不在直线上方，不符合题意，舍去； 综上所述，的长为﹒ 59．已知：矩形，，连接，点E和点F分别是边和边上的点（点F不与点A，点B重合）．且，过点E作交线段于点P，连接． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)若， ①如图2，当时，求证：点P是的中点； ②若，直接写出的值； ③连接，点M在线段上，连接，，，点K在平面内，连接，得到，且与相似，平移，当的一个顶点与点A重合时运动停止，直接写出平移的最短距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；③ 【分析】（1）可推出，，进而得出，从而得出结论； （2）①计算得出，证明，进一步得出结论； ②设，表示出，根据列出方程； ③推出是直角三角形，设，则，，根据列出方程，从而求得a，从而得出，，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）①证明：如图1， 连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点是的中点； ②解：设，则， 由得， ， ∴， ∴， ∴； ③解：如图2， 连接，延长，交于， 作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平移的最短距离为：． 60．在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层深入的探究． 在中，点E为边上的一点，连接，以为边作，边交的延长线于点F． (1)【初步感知】如图1，当是正方形时，求证：． (2)【深入探究】如图2，当是矩形时，，，连接，分别交和于点M、N，若点E为的中点，求的值． (3)【拓展探究】如图3，在中，，当时，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质可证明，，再证明，得到，则可证明； （2）由矩形的性质可得，，，，由线段中点的定义可得；证明， 推出，；延长交的延长线于点T，证明，得到，，则；证明，推出，则可得到，即可得到； （3）由平行四边形的性质可得，；可证明；解直角三角形得到，设，则；过点E作交的延长线于点D，设交于点P，则，解直角三角形得到，设，则，，证明，解直角三角形得到，则；证明， 得到，则，可推出，则． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵点E为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 如图所示，延长交的延长线于点T， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∵， ∴，即； ∵， ∴， 设，则； 如图所示，过点E作交的延长线于点Q，设交于点P，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． ◆压轴题型3 解直角三角形与函数综合 61．如图，开口向下的抛物线与轴正负半轴分别交于、点，与轴交于点，且； (1)直接写出点坐标（ ，0），并求的值； (2)抛物线在第三象限内图象上是否存在一点，在轴负半轴上有一点，使以点、点、点为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在线段上有一点，连结、，若，则直接写出点坐标（ ， ） 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）令，可解得或，所以，当时，，根据，建立关于的方程，求解即可； （2）设点的横坐标为，则，分情况进行讨论，根据相似三角形的性质进行列方程求解； （3）求出直线的解析式为：，取点，连接，则，作过点，，三点的圆，圆心为，该圆与线段交于点，点即为所求，设，利用半径列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当， 解得或， ，， ， 当时，， ， ， ， 解得； （2）解：由（1）得，， 在中，，，根据勾股定理可得， 设点的横坐标为，则， 当点为直角顶点时： ①若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ，， ， 解得，不符合题意； ②若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ， 解得，此时； 此时点的坐标为； 当点为直角顶点时： ①若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ， 解得，此时； 过点作轴，设的长度为， ，， ， ， 解得． ； 点的坐标为； ②若，根据相似三角形的性质可知，， 即， ， 解得，不符合题意， 综上，点的坐标为：或； （3）解：，， 直线的解析式为：， 如图，取点，连接，则， 作过点，，三点的圆，圆心为，该圆与线段交于点，点即为所求， 此时半径， 设， ， ， ， 解得或（舍去， ． 62．在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于，两点，顶点为B．点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． (1)求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标． (2)当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作轴，交抛物线对称轴于点E，连接．若，求a的值． (3)若抛物线在点A和M之间的部分（包含A，M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求a的值． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或0 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再配方成顶点式，进而可得出顶点坐标． （2）根据题意分别得出点A和点E的坐标，然后得出和，然后根据正切的定义得出关于a的一元二次方程，因式分解法解方程即可． （3）根据点A的坐标分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入， ， 解得：， ∴， ∴顶点B的坐标为． （2）解：∵点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． ∴， ∵轴，交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴，， ∴， 整理得：， 解得或（舍去） （3）解：，，，， 分四种情况求解： 当时，，， ∴， 整理得：， 解得或（舍） 当时，，， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，，， ∴， 整理得： 解得（舍）， 当时，，， ∴， 整理得：， 解得（舍），（舍） 综上所述：a的值为或0． 63．如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，交轴于点，已知点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离； (3)直线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点到直线的距离最大为， (3)解：存在，点的坐标为，理由如下， 在中，令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：当点在的下方时， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， 此时点的坐标为； 如图：当点在的上方时，作轴于， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵点在的上方且在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先证明为等腰直角三角形，得出，作轴交于点，设，则，表示出，作于，则为等腰直角三角形，得出，当最大时，的值最大，即点到直线的距离最大，结合二次函数的性质计算即可得出结果； （3）求出，直线的解析式为，分两种情况：当点在的下方时，当点在的上方时，作轴于，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：联立， 解得或， ∴抛物线与直线的另一个交点坐标为， 在直线中，令，则， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作轴交于点， 设，则， ∴， 作于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，的值最大，即点到直线的距离最大， ∵，且， ∴当时，的值最大，为， ∴点到直线的距离最大为，此时，即； ∴点到直线的距离最大为，； （3）略． ◆压轴题型4 与解直角三角形相关的模型问题 64．中，，D为边上一点（点D不与端点重合）点D关于直线的对称点为点E，连接，．在直线上取一点F，使，直线与直线交于点． (1)如图1，若，，连接，． ①，求的度数（用含的代数式表示）； ②求证：． (2)如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图，在上截取，连接交于点， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∵点关于直线的对称点为点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵，， ， ， 记与的交点为点， 由轴对称可得：， 在中，， ， ； (2)或 【分析】（1）①由三角形内角和定理及外角定理结合即可求解； ②在上截取，连接交于点，先证明，再证明四边形是平行四边形，可得，记与的交点为点，则由轴对称可知：，再解即可； （2）连接，记与的交点为点，由轴对称知，当点在边上时，由于，当为等腰三角形时，只能是，同（1）方法得中，，解得，然后设，解直角三角形，表示出，即可求解；当点在延长线上时，只能是，设，在中，，解得，设，解直角三角形求出即可求解． 【详解】（1）①解：如图， ， ， ， ， ， ， ； ②略 （2）解：如图，记与的交点为点， ， ， 由轴对称知， 当点在边上时，由于， ∴当为等腰三角形时，只能是， 同（1）①方法得， ， ， ， ， 中，， 解得， ， ∵， ∴为等边三角形， ， 设， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， ； 当点在延长线上时，只能是，如图， 设， ， ， ， ， ， ∴在中，， 解得， ， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ， ， ； 综上所述：或． 65．【证明体验】 (1)如图，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，求证：． 【思考探究】 (2)如图，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求的长．请直接写出答案 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，得到，推出，可得结论； （2）连接，交于点，先计算，得到，推出，证明，可得，即可求解； （3）设与交于点，通过证明，可求，由菱形的面积公式可求，由锐角三角函数可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点， 四边形是矩形，，， ，，，， ，，, ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：如图，设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 66．【问题情境】 (1)如图1，在正方形中，分别是上的点，于点Q．求证：． 【尝试应用】 (2)如图2，正方形网格中，点为格点，交于点O．求的值． 【拓展提升】 (3)如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交、、于点、、，求的值． 【答案】(1)证明：作交于点，交于点，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）作交于点，交于点，证明四边形是平行四边形，得出，再由证得，即可得出结论； （2）将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，由勾股定理和勾股定理的逆定理证，再由，即可得出结果； （3）作交于点G，连接，先证明，得，进而得，再证明是等腰直角三角形，得，最后证明，由相似三角形的性质得出，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得，计算即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，如图2所示， ∴， 设正方形网格的边长为单位1，则 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作交于点G，连接，如图3所示， 则， ∵正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ， 在正方形与正方形中，， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． ◆压轴题型5 解直角三角形的应用问题 67．海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔杆顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据） (1)填空： °， 米； (2)求塔杆的长度； (3)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1) (2)塔杆的长度是90米 (3)风叶的长为59米 【分析】（1）由题意可知答案； （2）在中，利用和，计算即可； （3）设，作辅助线构造矩形，利用推出，用x表示和的长度，再根据列方程求解，得到长度． 【详解】（1）解：由题意可知：米； （2）根据题意，可知， ， 米， 塔杆的长度是90米； （3）如下图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为米， ， 四边形为矩形， 米， ， ， ， ， ， 解得：， 风叶的长为59米． 68．综合与实践： 小张同学在物理课上学习了光的反射定律以及光的折射定律，他做了相关实验，想从数学角度进一步理解物理定律，他利用查到材料如下： 材料一：光的反射定律与折射定律 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 光从空气射入水中会发生折射现象（如图2），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．    材料二：光的反射实验 如图3，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为． （参考数据：，，） 材料三：光的折射定律实验 如图4，为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图4，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得． 请你运用所学知识帮助小张同学填写实验数据清单：   （所有最后处理结果均保留3位有效数字） 【实验数据计算处理清单】： (1)根据材料一光的折射定律与材料三光的折射定律实验，可知水的折射率__________． (2)根据材料二光的反射定律与材料二光的反射定律实验： ①：点到平面镜的距离是________厘米． ②：移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，入射角的度数为__________． ③：在②的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_______厘米． 【答案】(1)1.33 (2)①；②；③ 【分析】（1）过点作交于点，根据题意得，，，推出，则有，证明四边形是矩形，得到，，再根据正弦的定义求出，，最后结合题意即可求出水的折射率的值； （2）①设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点，证明，则有，进而解直角三角形，即可求解； ②设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点，得出是等腰直角三角形，进而即可求解； ③作关于的对称点，连接，并延长交分别为，得出，，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图4，过点作交于点， ∵为一圆柱形敞口容器的纵切面， ∴，， ∵水面到达容器高度一半， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴，， 由题意得，入射角，折射角， ∴，， ∴； （2）解：①如图3，设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点， 则， 由光的反射定律可知，， 又 ∴， ∴， ∴， ∵入射角为， ∴， ∴， 即点到平面镜的距离是厘米； ②如图3，设入射光线经平面镜反射后经过点（点为入射光线与平面镜的交点），作于点， 则， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴入射角的度数为； ③如图3，作关于的对称点，连接，并延长交分别为， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即的长度是厘米； 69．综合与实践：请根据以下素材，完成探究任务． 素材 某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2、图3是其侧面示意图，点、、 在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管 米，且套管的长度不变． 已知条件 米，，，（参考数据：，，，，，） (1)任务一：如图2，求此时液压杆端到的距离及的长度； (2)任务二：如图3，若伸长到最大长度，消防人员在云梯末端工作台点 处高空救援时，云梯绕着点逆时针旋转（），过点作垂足为，过点 作，垂足为，，垂足为 ，测得铅直高度升高了米（即米），求伸长到的最大长度． 【答案】(1)此时液压杆端到的距离为 米；液压杆的长度约为米 (2)伸长到的最大长度为米 【分析】（1）过点A作于点，解，求得，即为液压杆端到的距离，进而解，即可求得的长； （2）解求得，进而得出，求得，根据得出，，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点E 在中， 米，， ∴米， ∵在中，， ∴， 答：液压杆的长度约为3米； （2）解：如图3， 依题意四边形为矩形， ∴， 由题意，在中，，， ∴（米）， ∴（米）， ∵，， ∴ 在中，， ∴， ∵ 又米 ∴米， ∴米，米， ∴米， 答：伸长到的最大长度为米． ◆压轴题型6 解直角三角形的折叠问题 70．如图，矩形中，为上一点，为上一点，分别沿，折叠，，两点刚好都落在矩形内一点，且，则______．    【答案】 ：1． 【分析】如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．解直角三角形求出AC，CD即可解决问题． 【详解】解：如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．    由翻折的性质可知，PA＝PC＝BC＝x， ∵∠APC＝120°，PH⊥AC， ∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°， ∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝ ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴CD＝AB＝ = ， ∴ ， 故答案为： ：1． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 71．如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 【答案】 【分析】点M作，交的延长线于点K，设，则，根据勾股定理，求得，；继而就可以确定；过点E作于点H，证明，继而得到，解答即可． 【详解】解：如图，过点M作，交的延长线于点K，根据折叠的性质，得， 由平行四边形纸片中，，，， ，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得， 解得， ∴； ，， ， ； 过点E作于点H， ，，， 由平行四边形纸片中，， 则， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 72．如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得， ，即， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴构造直角三角形，根据点坐标结合正切定义求出，利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求出即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ∴， ∴， ，故选项A错误， ，故选项B错误， ，故选项C正确， ，故选项D错误． 3．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度：，在离点米的处，测得教楼顶端的仰角为，则一教楼的高度约为（     ）米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点， 在中利用坡度的定义求得的长，则即可求得，然后在直角中利用三角函数求得的长，进而求得的长. 【详解】延长交直线于点， ∵在中， ， ∴设， 则， 又∵， ∴， ， ∵， ， 在中， ， (米)， ∵， ∴(米). 4．如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件设，则，根据矩形的性质及折叠的性质得出，再由勾股定理确定，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 5．如图1，四边形为学校操场观赛台的横截面，此刻阳光射入观赛区内，已知米，太阳光与地平面的夹角为，若学校计划安装一个直角形太阳棚，如图2，为太阳棚横截面，，为了能完全遮挡太阳光射入观赛区，则太阳棚的长度至少为（     ） A．3米 B．米 C．米 D．1.5米 【答案】B 【分析】根据题意结合平行线的性质可得，利用正切的定义即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵，米， ∴（米）． 6．已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 【答案】8或24 【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算即可． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图1， ，， ， ， ， ； 当是钝角三角形时，如图2， ，， ， ， ， ， 综上，的面积为8或24． 7．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 【答案】 【分析】设，则，由折叠可得，再结合矩形的性质和勾股定理计算得出，最后再由正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵是的中点， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ， 解得， ， ∴． 8．已知：如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作于点，在中利用三角函数求出，在中利用三角函数求出． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴． 9．如图，点E为对角线长为的正方形的对角线上一点，且，点P为上任意一点，于点Q，于点R，则________． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，由题意可得，从而得，在中，可得，可得，再利用，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在矩形中，，，E为边的中点，F为边上一动点，将四边形沿所在的直线折叠，点C、D的对应点分别为、，若点恰好落在对角线上，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，过点F作于点P，则四边形为矩形，易得，，再在直角三角形中，利用角的正弦值求解即可． 【详解】解：如图，过点F作于点P，则四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可知，EF垂直平分， , ， 在中，， ． 11．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解； （2）把各特殊角的三角函数值代入原式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．如图，在中，，设；若关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)试求的值； (2)在（1）问的基础上，若周长为，求三边的长分别是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程有两个相等的实数根，则，由此计算的值． （2）由（1）得出两边的比值，根据比值设未知数，并利用勾股定理表示第三边，利用周长列方程求得未知数的值，即可代入计算三边长． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴ ∴， ∵是直角三角形的锐角， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：在中，，， 设， 则， ∵周长为， ∴， ∴， ∴， 即三边长分别为． 13．阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______； 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在边上截取，连接（如图2），通过构造有特殊角（）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请回答：______． (2)解决问题：如图3，在等腰中，，，请借助构造出的角，并计算值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据等腰直角三角形的性质得出，根据三角形外角性质得出，根据等角对等边得出，进而得出，根据正切函数的定义即可得出答案； （2）延长至，使，过点作于，根据可得，设，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，进而得出，根据外角性质得出，，根据正切函数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：如图，延长至，使，过点作于， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，中，，，D是边上的一点（不与A、B点重合），O是的中点，过点C作的平行线交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，求的值； (2)若，，，求； (3)若，，求（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明得到，则，再证明，可得； （2）先证明是等腰直角三角形求得 ，再由全等三角形的性质和相似三角形的性质求得，在中，利用勾股定理求解即可； （3）设，则，， ，由全等三角形的性质和相似三角形的性质求得，，过C作于点H，根据等腰三角形的性质可得，在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，则， 由（1）知，， ∴，则， ∴在中，； （3）解：设，由（1）知， ∵，， ∴，，则， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 过C作于点H，如图，则， 在中，， 即． 15．已知，点E是中点，点D是延长线上的一点，连接． (1)如图1，若，，，，则________． (2)如图2，过点C作交延长线于点F．若，，求证：． (3)如图3，若，是否存在实数m，使得当时，？若存在，请直接写出m的值（用含的式子表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：连接， ∵， ∴，， ∵点E是中点， ∴， ∴， ∴，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴ (3)存在， 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质，结合题目条件可推得是等边三角形，则，根据点E是中点，可知，利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）连接，根据平行的性质可证得，从而推得，，然后根据平行的性质，推得，结合，得是等边三角形，从而推得，即可得证； （3）延长至点，使得，连接，，，则可得，从而推得，则，证明,即，过点作于，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是中点， ∴， 则， ∵， ∴， ∴； （2）详解见答案； （3）解:存在，； 延长至点，使得，过点作于，连接，，， ∵点E是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ，， ， （）， ， ． 【点睛】本题（3）问涉及倍长中线模型，根据中点条件构造“8”字全等． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解直角三角形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形章末易错题型 易错题型1 正弦的相关概念与求解 易错题型2 余弦的相关概念与求解 易错题型3 正切的相关概念与求解 易错题型4 特殊三角形的三角函数 易错题型5 特殊角三角函数值的混合运算 易错题型6 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 易错题型7 根据特殊角三角函数值求角的度数 易错题型8 已知角度比较三角函数值的大小 易错题型9 同角三角函数关系 易错题型10 互余两角三角函数的关系 易错题型11 解直角三角形的相关计算 易错题型12 解非直角三角形 易错题型13 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 易错题型14 仰俯角问题 易错题型15 方位角问题 易错题型16 坡度坡比问题 易错题型17 解直角三角形的生活实际问题 易错题型18 解直角三角形的其他应用 考点二 解直角三角形章末压轴题型 压轴题型1 解直角三角形压轴 压轴题型2 解直角三角形与相似三角形综合 压轴题型3 解直角三角形与函数综合 压轴题型4 与解直角三角形相关的模型问题 压轴题型5 解直角三角形的应用问题 压轴题型6 解直角三角形的折叠问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形章末易错题型 ◆易错题型1 正弦的相关概念与求解 1．在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 2．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（      ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接，，若，，则的长为______． ◆易错题型2 余弦的相关概念与求解 4．如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 5．在中，，平分，，，那么的余弦值为___________． 6．如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，且与的长度之比为，过点作于点，交于点，连接． (1)求的长； (2)求的值． ◆易错题型3 正切的相关概念与求解 7．如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，E，F分别是边和对角线上的点，连接，，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． ◆易错题型4 特殊三角形的三角函数 10．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．如图，三角形纸片中，点D，E，F分别在边上，，，将这张纸片沿直线翻折，点A与点F重合．若，，则四边形的面积为（     ） A． B．12 C． D． 12．如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交边于点，连接交于点．若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 ◆易错题型5 特殊角三角函数值的混合运算 13．计算：． 14．计算： 15．计算： (1) (2) ◆易错题型6 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 16．如图，在中，．请用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 17．在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 18．锐角中，，则的形状是___________. ◆易错题型7 根据特殊角三角函数值求角的度数 19．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 20．如图，已知、是矩形对角线上的两点，且，． (1)求证：； (2)若，试求的度数． 21．如果是直角三角形的一个锐角，且的值是方程的一个根，那么三角形的另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D．或者 ◆易错题型8 已知角度比较三角函数值的大小 22．比较大小：______（填“”、“”或“”）． 23．将，，用“＞”号连接起来为______． 24．将的值按由小到大的顺序（“”连接）排列是______________． ◆易错题型9 同角三角函数关系 25．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 26．在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 27．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． ◆易错题型10 互余两角三角函数的关系 28．计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）： ． 29．已知部分锐角三角函数值：，，，，计算________．（提示：） 30．在中，，在下列叙述中：①；②；③.其中正确的结论是______.（填序号） ◆易错题型11 解直角三角形的相关计算 31．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 32．如图，在正方形中，M是边上一点，，垂足分别为E，F． (1)求证：． (2)若， ，求的长． 33．如图所示，在中，点D为的中点，且，则________． ◆易错题型12 解非直角三角形 34．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 35．如图，在中，，，，则AB的长为__________． 36．已知：如图，在△中，，，．求的长． ◆易错题型13 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 37．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 38．如图，中，，，，则_____． 39．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． ◆易错题型14 仰俯角问题 40．为了测量旗杆的高度，在离旗杆米的C处，用高米的测角仪测得旗杆顶部A的仰角为，求旗杆的高．（精确到米，） 41．清风阁位于安徽省合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年、弘扬包公精神、宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图，某数学小组开展了测量清风阁高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．观测点和清风阁分别在包河的两侧，美美同学用高度为1米的测角仪，在点A处测得清风阁顶M的仰角为，然后她沿坡度的斜坡走了13米到达点C，又用同样的测角仪测得清风阁顶M的仰角为．求清风阁的高度（A，B，C，D，M，N在同一平面内，结果精确到0.1，参考数据：，，） 42．觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） ◆易错题型15 方位角问题 43．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 44．如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正西方向，，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向．求船离观测站的距离． 45．如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． (1)求该轮船的航行速度； (2)求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． ◆易错题型16 坡度坡比问题 46．如图，某校准备在坡度的山坡上植树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 47．如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为___________． 48．项目学习 项目背景： 四美琉璃塔位于山西省太原市文瀛公园南湖东岸的假山上，塔高12层，整体造型玲珑精致，极具观赏性．某校项目学习小组计划测量四美琉璃塔的高度． 方案设计： 如图，观察员在地面上的点处进行观察，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，向前行进到达假山的坡底点处，并测得琉璃塔顶部点的仰角为，斜坡的坡度． 数据应用： 已知图中各点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上，与水平地面垂直．请根据上述数据，计算四美琉璃塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，） ◆易错题型17 解直角三角形的生活实际问题 49．在庆祝中国共青团成立100周年的歌咏比赛中，用的是如图①这款话筒支架，图②是其示意图，是三脚支架，支撑杆与悬臂支架交于点可绕点O旋转，已知，点O到地面的垂直距离为． 当嘴巴与地面的距离与点A与地面的距离相等时，扩音效果最佳． (1)表演者小红的嘴巴离地面距离是，当悬臂支架绕点O旋转至时，求此时的点A的高度对小红的扩音效果是最佳的吗？(精确到) (2)表演者小方的嘴巴离地面高度是，为使扩音效果最佳，需把的度数调为多少度？ 参考数据：， 50．图1是某款沙滩椅，图2是该款沙滩椅放置在地面上的示意图，已知，，，，可通过调试与的夹角调整靠背高度，当时，求H到地面的高度.（结果精确到．参考数据：，，，，，） ∴， 51．项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成．某校课外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动报告． 项目主题 天幕帐篷中的数学 天幕概述 天幕布米，支撑杆可伸缩，且于点；两根长度相同的拉绳和分别固定于地面上点和点处，点共线，点共线；地面固定点与点之间的距离米，． 测量工具 皮尺：测量水平距离． 方案说明 支撑杆由伸长至（点位置不变，点升高到点）；固定点分别移动至点，米，且点在同一条直线上；在这个过程中，拉绳长度保持不变． 示意图 请你根据以上信息，完成下列任务：（，结果精确到0.1米） (1)求拉绳的长度； (2)求支撑杆伸长后的高度． ◆易错题型18 解直角三角形的其他应用 52．图1所示是树龄约3000年的晋祠卧龙柏，由于它形似卧龙，树身向南倾斜，主体树干头枕树龄约1500年的撑天柏，形若游龙侧卧而得名．某综合与实践小组成立卧龙柏和撑天柏研究小组，小组调研时，结合部分测量数据和查阅资料获得的数据制作了如下研究报告． 项目课题 晋祠卧龙柏和撑天柏研究报告 调查方式 ①查阅资料；②实地测量；③专家咨询 数据整理 研究过程 示意图绘制 实地测量： ①卧龙柏和撑天柏均生长在高度为1.5米的台基上，即米； ②卧龙柏主体树干被撑天柏托住，其中，与的交点为M，F为的中点，垂直于水平面的支撑杆米； 查阅资料： ①卧龙柏主体树干顶端恰好经过圣母殿上檐翼角尖点B，点B距台基的高度为米，卧龙柏主体树干与水平面的夹角． （说明：为便于计算，图中所有涉及的点，均在同一竖直平面内） 工作人员评价 该小组同学在研究过程中，针对测量不到的数据主动查资料、抠细节、核数据，像真正的研究者一样，用证据说话，用逻辑求证，这才是做学问最珍贵的样子 …… …… 结合上述信息完成下列作答．（结果保留两位小数，参考数据：，，） (1)填空：结合研究报告计算______米； (2)工作人员提示，如图2，在主体树干上长出一根分枝，该分枝上最高点C也是卧龙柏的最高点，用一条虚线将整棵弯曲的卧龙柏的树根中心与树顶中心连接，即虚线，则虚线称为卧龙柏的整树等效中轴线，且卧龙柏的整树等效中轴线与水平面的夹角．若卧龙柏最高点在圣母殿上檐翼角尖点的正上方，求出卧龙柏最高点到地面的距离． (3)反思：研究小组在专业工作人员的指导下发现，不论是的长度还是卧龙柏的高度，计算结果与实际数据均有较大误差，请你结合上述信息分析产生误差的原因（写出一条即可）． 53．小李同学准备外出参加活动，需网购一拉杆箱．图①、图②分别是她在网上看到的某型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度相等，点B、点F在上，点C在上，支杆，，，，请根据以上信息，解决下列问题． (1)求的长度； (2)求拉杆端点A到水平滑杆的距离．（结果保留根号） 54．2026马年春晚的《武》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国机器人硬核实力．如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，点距地面的高度为．（参考数据：，，） (1)求的度数； (2)若点距地面的高度为，求小腿的长． 考点二 解直角三角形章末压轴题型 ◆压轴题型1 解直角三角形压轴 55．在中，点在线段上，，，， (1)若，求的长． (2)若，延长到，连接，此时，求的长． 56．根据题意，完成以下各题 (1)【证明体验】如图1，正方形中，E，F分别是边和对角线上的点，，．求证：． (2)【思考探究】如图2，矩形中，，，E，F分别是边和对角线上的点，，，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E，F分别是线段和上的点，，，求的长． 57．已知正方形中，．E是边上一点（不与B，C重合），，连接，作点B关于的对称点F．连接，，，． (1)求的度数． (2)当是直角三角形时，求证：是和的比例中项． (3)在（2）的条件下，求以及的值． ◆压轴题型2 解直角三角形与相似三角形综合 58．已知的顶点E在的内部，点D，E在直线上方． (1)如图1，连接，，，若和都是等边三角形，C，E、D三点共线，，求的比值； (2)如图2，连接，，，（），若，，求的值（用含n的代数式表示）； (3)在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，连接并延长交边于点F，连接，，若，与相似时，求的长． 59．已知：矩形，，连接，点E和点F分别是边和边上的点（点F不与点A，点B重合）．且，过点E作交线段于点P，连接． (1)如图1，求证：是等边三角形； (2)若， ①如图2，当时，求证：点P是的中点； ②若，直接写出的值； ③连接，点M在线段上，连接，，，点K在平面内，连接，得到，且与相似，平移，当的一个顶点与点A重合时运动停止，直接写出平移的最短距离． 60．在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层深入的探究． 在中，点E为边上的一点，连接，以为边作，边交的延长线于点F． (1)【初步感知】如图1，当是正方形时，求证：． (2)【深入探究】如图2，当是矩形时，，，连接，分别交和于点M、N，若点E为的中点，求的值． (3)【拓展探究】如图3，在中，，当时，，求的值． ◆压轴题型3 解直角三角形与函数综合 61．如图，开口向下的抛物线与轴正负半轴分别交于、点，与轴交于点，且； (1)直接写出点坐标（ ，0），并求的值； (2)抛物线在第三象限内图象上是否存在一点，在轴负半轴上有一点，使以点、点、点为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在线段上有一点，连结、，若，则直接写出点坐标（ ， ） 62．在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于，两点，顶点为B．点A是抛物线上一个动点，其横坐标为a． (1)求该抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标． (2)当点A在抛物线对称轴左侧时，过点A作轴，交抛物线对称轴于点E，连接．若，求a的值． (3)若抛物线在点A和M之间的部分（包含A，M两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求a的值． 63．如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，交轴于点，已知点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离； (3)直线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标．若不存在，请说明理由． ◆压轴题型4 与解直角三角形相关的模型问题 64．中，，D为边上一点（点D不与端点重合）点D关于直线的对称点为点E，连接，．在直线上取一点F，使，直线与直线交于点． (1)如图1，若，，连接，． ①，求的度数（用含的代数式表示）； ②求证：． (2)如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 65．【证明体验】 (1)如图，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，求证：． 【思考探究】 (2)如图，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求的长．请直接写出答案 66．【问题情境】 (1)如图1，在正方形中，分别是上的点，于点Q．求证：． 【尝试应用】 (2)如图2，正方形网格中，点为格点，交于点O．求的值． 【拓展提升】 (3)如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交、、于点、、，求的值． ◆压轴题型5 解直角三角形的应用问题 67．海南东方市是海南省重要的风电基地，其沿海风电场的巨型风电机组将源源不断的清洁海风转化为电能．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔杆重合时（即O，C，D在一直线上），在与塔底D水平距离为120米的E处，测得塔杆顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O在同一平面内．（参考数据） (1)填空： °， 米； (2)求塔杆的长度； (3)求风叶的长度．（精确到1米） 68．综合与实践： 小张同学在物理课上学习了光的反射定律以及光的折射定律，他做了相关实验，想从数学角度进一步理解物理定律，他利用查到材料如下： 材料一：光的反射定律与折射定律 如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 光从空气射入水中会发生折射现象（如图2），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．    材料二：光的反射实验 如图3，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为． （参考数据：，，） 材料三：光的折射定律实验 如图4，为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图4，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得． 请你运用所学知识帮助小张同学填写实验数据清单：   （所有最后处理结果均保留3位有效数字） 【实验数据计算处理清单】： (1)根据材料一光的折射定律与材料三光的折射定律实验，可知水的折射率__________． (2)根据材料二光的反射定律与材料二光的反射定律实验： ①：点到平面镜的距离是________厘米． ②：移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，入射角的度数为__________． ③：在②的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_______厘米． 69．综合与实践：请根据以下素材，完成探究任务． 素材 某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2、图3是其侧面示意图，点、、 在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管 米，且套管的长度不变． 已知条件 米，，，（参考数据：，，，，，） (1)任务一：如图2，求此时液压杆端到的距离及的长度； (2)任务二：如图3，若伸长到最大长度，消防人员在云梯末端工作台点 处高空救援时，云梯绕着点逆时针旋转（），过点作垂足为，过点 作，垂足为，，垂足为 ，测得铅直高度升高了米（即米），求伸长到的最大长度． ◆压轴题型6 解直角三角形的折叠问题 70．如图，矩形中，为上一点，为上一点，分别沿，折叠，，两点刚好都落在矩形内一点，且，则______．    71．如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 72．如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（     ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，且与x轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为米，它的坡度：，在离点米的处，测得教楼顶端的仰角为，则一教楼的高度约为（     ）米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） A． B． C． D． 4．如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．如图1，四边形为学校操场观赛台的横截面，此刻阳光射入观赛区内，已知米，太阳光与地平面的夹角为，若学校计划安装一个直角形太阳棚，如图2，为太阳棚横截面，，为了能完全遮挡太阳光射入观赛区，则太阳棚的长度至少为（     ） A．3米 B．米 C．米 D．1.5米 6．已知在中，，，过点A作边上的高，垂足为点D，且，则的面积为______． 7．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，若，，则的值为________． 8．已知：如图，在中，，，，则的长为________． 9．如图，点E为对角线长为的正方形的对角线上一点，且，点P为上任意一点，于点Q，于点R，则________． 10．如图，在矩形中，，，E为边的中点，F为边上一动点，将四边形沿所在的直线折叠，点C、D的对应点分别为、，若点恰好落在对角线上，则的长为______． 11．计算： (1)． (2)． 12．如图，在中，，设；若关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)试求的值； (2)在（1）问的基础上，若周长为，求三边的长分别是多少？ 13．阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______； 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在边上截取，连接（如图2），通过构造有特殊角（）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． (1)请回答：______． (2)解决问题：如图3，在等腰中，，，请借助构造出的角，并计算值． 14．如图，中，，，D是边上的一点（不与A、B点重合），O是的中点，过点C作的平行线交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，求的值； (2)若，，，求； (3)若，，求（用含的代数式表示）． 15．已知，点E是中点，点D是延长线上的一点，连接． (1)如图1，若，，，，则________． (2)如图2，过点C作交延长线于点F．若，，求证：． (3)如图3，若，是否存在实数m，使得当时，？若存在，请直接写出m的值（用含的式子表示）；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $