专题12 解直角三角形实际测量应用压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

专题12 解直角三角形实际测量应用压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角双观测模型（共高，底边共线）【最高频】 题型二、俯角模型（高处观测地面两点） 题型三、坡度（坡比）+ 解直角三角形综合【安徽压轴常客】 题型四、方位角模型（航海、测量小岛，非共线，双 Rt△） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法口诀：一标二构三设四列五验 1.标条件：读题，标出已知角度、距离、仰角、俯角、坡角、方位角；区分水平距离、竖直高度、斜距。 仰角：视线向上与水平线夹角；俯角：视线向下与水平线夹角；二者为内错角时相等。 坡角：坡面与水平面夹角；坡度（坡比）。 方位角：从正北/正南方向开始偏转的角度（如北偏东）。 2.构造直角三角形：无直角就作垂线！过观测点、目标点向水平线/竖直线作高，是本题唯一辅助线。 > 压轴绝大多数是双直角三角形共高模型（两个Rt△共享一条高线，底边在同一直线上）。 3.设未知数：优先设公共高为（最省事），不要乱设。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角双观测模型（共高，底边共线）【最高频】 【典例1】．（24-25九年级上·安徽池州·阶段检测）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．16米 【典例2】．如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 _____.（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈） 【典例3】．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）五育并举润桃李，立德树人育新苗，利辛中学五育融合，让每一位学子全面发展向阳而生，美术手工课小明的追光少年团队手工作品风筝A和小强的润心笃志团队的手工作品风筝B完美收官，他们一起到操场试飞风筝．风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处（如图）．现已知风筝A的引线（线段）长，风筝B的引线（线段）长，在C处测得风筝A的仰角为，风筝B的仰角为 (1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？ (2)求风筝A与风筝B的水平距离．（精确到；参考数据：，，，，） 题型模版 特征：在地面上两个不同观测点观测同一个物体顶端，得到两个仰角，两点间距已知，求物体高度。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）宿州万达广场CBD双子楼是宿州市的标志性建筑．某数学兴趣小组用无人机测量双子楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得双子楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得双子楼底端B的俯角为，点均在同一平面内，求双子楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【变式3】．（2026·安徽合肥·三模）如图，某高楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，其高度为130米，在楼底端点测得的仰角为，在高楼的顶端点测得的仰角为，，之间的距离为80米，、、在同一直线上，且，． (1)求高楼的高度； (2)求发射塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，，，） 题型二、俯角模型（高处观测地面两点） 【典例4】．（2024·安徽六安·二模）如图，某测绘小组计划利用无人机测量某段山体的长度AB，无人机飞行速度为，无人机先是悬停在山体边缘A点正上方C处，然后沿山体的平行方向飞行18s到D处悬停，测得山体边缘A点的俯角为，然后继续向前飞行到达E处，测得山体边缘B点的俯角为．试求山体的长度．（参考数据：，，） 题型模版 1.特征：观测点在高台/楼顶向下看地面两点，得到两个俯角；本质与仰角模型一样，俯角转成水平线下方夹角，内错角相等，等价于地面看上来。 2.提醒：很多学生容易把俯角直接放进直角三角形对边，出错！俯角是视线和水平线夹角，不是视线和竖直线夹角。 【变式1】．（2024九年级·安徽淮南·阶段检测）如图所示，小颗在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高.现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为30m，则树的高度为___（结果保留根号）， 【变式2】．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深海的利器，如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点B处时，科研人员在海面的观察点A测得点B的俯角为；当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底C处时，在观察点A测得点C的俯角为，求点C到海面的深度．（结果精确到0.1千米，参考，） 【变式3】．（2026·安徽宿州·二模）如图，工程队用无人机测量一段隧道的长度，无人机在空中C点测得，点A的俯角为，再将无人机沿方向飞行至点D处，测得点B的俯角为，已知，求隧道的长度．（参考数据：，．） 题型三、坡度（坡比）+ 解直角三角形综合【安徽压轴常客】 【典例5】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知斜坡长，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡度为，则休闲平台的长是（   ） A． B． C． D． 【典例6】．（25-26九年级上·安徽池州·期末）汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了20米，则汽车上升了___________米． 【典例7】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高米，斜坡的坡角，斜坡的坡度，求坝底宽的长．（答案保留根号） 题型模版 1.特征：包含斜坡，先处理斜坡：坡比i=tanα，先把斜坡的竖直高度、水平宽度算出来，再衔接上方/下方的仰角三角形。 2.套路：斜坡单独拆一个Rt△，算出高和水平长，再和后面观测三角形拼接。 【变式1】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度______．    【变式3】．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）综合与实践 目标 测量某写字楼的高度 工具 测角仪、卷尺 素材1 小敏借助测角仪在点处测得楼顶的仰角为，在点处有一斜坡，小敏上斜坡至点处，测得楼顶的仰角为，测角仪与地面的高度忽略不计． 素材2 用卷尺测得斜坡的长为5米，斜坡的高米． 任务一 （1）计算斜坡的坡比． 任务二 （2）求写字楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：，tan） 题型四、方位角模型（航海、测量小岛，非共线，双 Rt△） 【典例8】．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【典例9】．如图，某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东75°方向上，且该舰艇以每小时10海里的速度沿南偏东15°方向航行，11小时到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东75°方向上，则B处到灯塔C的距离为________海里.    【典例10】．（2026·安徽·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 题型模版 1.特征：北偏东、南偏西这类方位描述，一般是轮船航行观测小岛；先画十字正北正南坐标轴。 2.关键点： 正北线互相平行，利用平行线得到等角； 通常过目标点向航线作垂线，造共高直角三角形； 3.常考：判断轮船有没有触礁（求小岛到航线的最短距离，和危险半径比较）。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 【变式2】．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为________海里．    【变式3】．（2026·安徽马鞍山·三模）随着节假日的来临，某景区为了吸引纷至沓来的市民和游客，在景区内设置了如图所示的，，三个拍照留念点，其中在的正东方向．小鸣一家从处出发，沿北偏东方向走了到达处，拍照留念之后再从处出发，沿南偏东方向来到最后一个拍照留念点处，求处与处的距离．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡，迎水坡的坡度，则坝高的长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为6米，坡度，长为5米，则古塔的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2025·安徽亳州·三模）小华在公园里测量一棵古树的高度，他站在离树根8米远的地方，测得树顶的仰角为，已知小华的眼睛离地面米，那么古树的高度约为（参考数据：）（    ） A．5.1米 B．6.2米 C．7.1米 D．8.1米 4．（2024九年级上·安徽合肥·期末）董铺水库位于合肥市西北近郊，是一座以合肥城市防洪为主，结合城市供水、郊区农菜灌溉及发展水产养殖等综合利用的大型水库，如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡与水平方向的夹角为，地下停车场层高米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（    ）    A．3 B． C． D． 6．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度___________．（参考数据：，，） 8．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为_____海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）． 9．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬1米耗能，若某人爬坡时，其垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为，则他耗能______．（参考数据：，）    10．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测的两点的俯角分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为_______ 三、解答题 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在点用垂直于地面放置的测角仪测得顶端的仰角为，在处测得的仰角为两点水平距离为，测角仪高为．求全向信标台的高度（结果精确到）．（参考数据：） 12．（2026·安徽芜湖·二模）某数学兴趣小组利用解直角三角形相关知识在一草地上开展测量实践活动．如图，小组成员分别在，两个观测点观察目标的位置（目标不能直接到达），已知，两观测点相距，观测点在观测点的东北方向，目标在观测点的北偏西方向，在观测点的北偏西方向，求目标与观测点之间的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，） 13．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）某数学兴趣小组到一体育场馆利用看台测量旗杆的高度，如图所示，旗杆剖面图与看台斜坡剖面图在同一平面内，在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡处，测得旗杆顶端的仰角为，且斜坡的坡度，其中点，，，在同一条水平直线上．求： (1)点到地面的距离； (2)旗杆的高．（精确到米）（参考数据：，，） 14．（25-26九年级上·安徽六安·期末）在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆的高度，他从旗杆底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得旗杆顶部的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点、、、、在同一平面内． (1)求最佳测量点到地面的距离； (2)求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 15．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 16．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）综合与实践：学习解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘点A处投射到底部点B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 17．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）“限速红线不可碰，安全底线记心间”，为了解“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段车辆行驶速度，在离下坡路终点3米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为10°；区间测速的终点为下坡路终点C处，此时电子眼的俯角为（A，B，C，D四点在同一平面）． (1)______°，______°； (2)求电线杆的高度； (3)已知“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段坡比，如果该路段限速米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 解直角三角形实际测量应用压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角双观测模型（共高，底边共线）【最高频】 题型二、俯角模型（高处观测地面两点） 题型三、坡度（坡比）+ 解直角三角形综合【安徽压轴常客】 题型四、方位角模型（航海、测量小岛，非共线，双 Rt△） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法口诀：一标二构三设四列五验 1.标条件：读题，标出已知角度、距离、仰角、俯角、坡角、方位角；区分水平距离、竖直高度、斜距。 仰角：视线向上与水平线夹角；俯角：视线向下与水平线夹角；二者为内错角时相等。 坡角：坡面与水平面夹角；坡度（坡比）。 方位角：从正北/正南方向开始偏转的角度（如北偏东）。 2.构造直角三角形：无直角就作垂线！过观测点、目标点向水平线/竖直线作高，是本题唯一辅助线。 > 压轴绝大多数是双直角三角形共高模型（两个Rt△共享一条高线，底边在同一直线上）。 3.设未知数：优先设公共高为（最省事），不要乱设。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角双观测模型（共高，底边共线）【最高频】 【典例1】．（24-25九年级上·安徽池州·阶段检测）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．16米 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键． 首先根据得到，然后利用得到，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 米， 故选：B． 【典例2】．如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 _____.（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈，tan53°≈） 【答案】8.6米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：由题意知，∠A=37°，∠DBC=53°，∠D=90°，AB=5， 在Rt△CBD中，tan∠DBC=， ∴BC=≈， 在Rt△CAD中，tan∠A=，即=tan37°≈ ∴解得：CD=≈8.6， 答：观光塔CD的高度约为8.6米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键． 【典例3】．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）五育并举润桃李，立德树人育新苗，利辛中学五育融合，让每一位学子全面发展向阳而生，美术手工课小明的追光少年团队手工作品风筝A和小强的润心笃志团队的手工作品风筝B完美收官，他们一起到操场试飞风筝．风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处（如图）．现已知风筝A的引线（线段）长，风筝B的引线（线段）长，在C处测得风筝A的仰角为，风筝B的仰角为 (1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？ (2)求风筝A与风筝B的水平距离．（精确到；参考数据：，，，，） 【答案】(1)小明的A风筝更高 (2)米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）在和中，根据锐角三角函数求出的长，即可求解； （2）在和中，根据锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， （米）， 在中，， （米）， ， 小明的A风筝更高； （2）解：在中，， （米）， 在中，， （米）， （米）， 即风筝A与风筝B的水平距离为米． 题型模版 特征：在地面上两个不同观测点观测同一个物体顶端，得到两个仰角，两点间距已知，求物体高度。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点作，为垂足，由锐角三角函数的定义求出的长，再由即可得出结论． 【详解】解：过点作，为垂足，如图所示： 则四边形为矩形，米， 米， 在中，， ， （米， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键是构造出直角三角形． 【变式2】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）宿州万达广场CBD双子楼是宿州市的标志性建筑．某数学兴趣小组用无人机测量双子楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得双子楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得双子楼底端B的俯角为，点均在同一平面内，求双子楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形，延长交直线于点，可求得，结合，可求得． 【详解】 解：延长交直线于点． 平行于地面，垂直于地面， ，． ， ． 在中，，， ． 双子楼的高度为． 【变式3】．（2026·安徽合肥·三模）如图，某高楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，其高度为130米，在楼底端点测得的仰角为，在高楼的顶端点测得的仰角为，，之间的距离为80米，、、在同一直线上，且，． (1)求高楼的高度； (2)求发射塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)高楼的高度约为178米 (2)发射塔的高度约为14米 【知识点】已知正弦值求边长、已知余弦求边长、已知正切值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点作于，构造矩形与直角三角形： （1）利用的米、，求出与，结合米得到； （2）由矩形性质得，再在中利用求出，最后得到发射塔高度． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， 米， 米， 在中，， （米）， （米）， 高楼的高度约为178米． （2）解：过点作，垂足为， 在中，，米， （米）， 由（1）得：米， 在中，， （米）， 米， （米）， 发射塔的高度约为14米． 题型二、俯角模型（高处观测地面两点） 【典例4】．（2024·安徽六安·二模）如图，某测绘小组计划利用无人机测量某段山体的长度AB，无人机飞行速度为，无人机先是悬停在山体边缘A点正上方C处，然后沿山体的平行方向飞行18s到D处悬停，测得山体边缘A点的俯角为，然后继续向前飞行到达E处，测得山体边缘B点的俯角为．试求山体的长度．（参考数据：，，） 【答案】山体的长度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，过作于，根据三角函数的定义即可得到结论，熟练掌握正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：无人机飞行速度为， ，， ， ， 过作于， 则，， ，， ， ， 答：山体的长度为． 题型模版 1.特征：观测点在高台/楼顶向下看地面两点，得到两个俯角；本质与仰角模型一样，俯角转成水平线下方夹角，内错角相等，等价于地面看上来。 2.提醒：很多学生容易把俯角直接放进直角三角形对边，出错！俯角是视线和水平线夹角，不是视线和竖直线夹角。 【变式1】．（2024九年级·安徽淮南·阶段检测）如图所示，小颗在自家楼房的窗户A处，测量楼前的一棵树CD的高.现测得树顶C处的俯角为45°，树底D处的俯角为60°，楼底到大树的距离BD为30m，则树的高度为___（结果保留根号）， 【答案】（－30）m 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E．则在图中得到两个直角三角形，利用三角函数定义分别计算出ED和EC，求差即可． 【详解】过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E． 则∠AEC=∠BDC=90°， ∵∠EAC=45°，∠AEC==90°， ∴AE=EC=BD=30米， ∴EC=30米． ∵tan∠ADB=tan∠EAD=， ∴AB=30•tan60°=（米）， （米）． 故答案为（－30）m． 【点睛】本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深海的利器，如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点B处时，科研人员在海面的观察点A测得点B的俯角为；当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底C处时，在观察点A测得点C的俯角为，求点C到海面的深度．（结果精确到0.1千米，参考，） 【答案】3.5千米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了直角三角形的应用中的仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及运用数形结合思想．延长交于点，设（千米），则（千米），分别在和中运用锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】延长交于点， 由题意得：，，，（千米）， 设（千米），则（千米）， 在中，， 在中，， 联立得： 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （千米）， 答：点到海面的深度约为3.5千米． 【变式3】．（2026·安徽宿州·二模）如图，工程队用无人机测量一段隧道的长度，无人机在空中C点测得，点A的俯角为，再将无人机沿方向飞行至点D处，测得点B的俯角为，已知，求隧道的长度．（参考数据：，．） 【答案】隧道的长度为 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点C作延长线于点E，过点B作延长线于点F，则，四边形是矩形，由此得到，在，中，运用解直角三角形的计算得到的值，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点C作延长线于点E，过点B作延长线于点F，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴隧道的长度为． 题型三、坡度（坡比）+ 解直角三角形综合【安徽压轴常客】 【典例5】．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，已知斜坡长，坡角（即）为，，现计划在斜坡中点处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线的休闲平台和一条新的斜坡．若修建的斜坡的坡度为，则休闲平台的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、特殊角的三角函数值以及坡比，过点作于点，延长交于点，先用坡角得到，，再证明是矩形，得到，再用坡比计算即可得到． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， 则， ，， ， ， ， ， ， ，， 平行于，， 是矩形， ， ， ， 斜坡的坡度为， ， ， ． 故选：D． 【典例6】．（25-26九年级上·安徽池州·期末）汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了20米，则汽车上升了___________米． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度定义，铅直高度与水平宽度之比为，设上升高度为h米，则水平宽度为米，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设汽车上升了h米，则水平宽度为米． 由勾股定理，得 ，即 ， 解得（舍去负值）． 故答案为：． 【典例7】．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高米，斜坡的坡角，斜坡的坡度，求坝底宽的长．（答案保留根号） 【答案】坝底宽的长为米 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； 解直角三角形求出，根据坡度的概念求出，证明四边形是矩形，可得的长度，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：米， ∵斜坡的坡度， ∴，即， ∴米， ∵坝高，，梯形中，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴米， ∴坝底宽米． 题型模版 1.特征：包含斜坡，先处理斜坡：坡比i=tanα，先把斜坡的竖直高度、水平宽度算出来，再衔接上方/下方的仰角三角形。 2.套路：斜坡单独拆一个Rt△，算出高和水平长，再和后面观测三角形拼接。 【变式1】．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比． 根据题意可得，把，代入即可算出的长，再利用勾股定理算出的长即可． 【详解】解：迎水坡的坡度， ， ， ， ． 在中， ． 故选C． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度______．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理．先由勾股定理得出，再由坡度的定义即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，， ， 斜坡的坡度， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）综合与实践 目标 测量某写字楼的高度 工具 测角仪、卷尺 素材1 小敏借助测角仪在点处测得楼顶的仰角为，在点处有一斜坡，小敏上斜坡至点处，测得楼顶的仰角为，测角仪与地面的高度忽略不计． 素材2 用卷尺测得斜坡的长为5米，斜坡的高米． 任务一 （1）计算斜坡的坡比． 任务二 （2）求写字楼的高度．（结果精确到1米，参考数据：，tan） 【答案】（1）；（2）写字楼的高度为25米． 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了勾股定理、坡比的定义、解直角三角形的应用（仰角问题）以及方程思想，熟练掌握通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数和勾股定理建立方程求解是解题的关键． （1）过点作于，在中，利用勾股定理求出的长度，再根据坡比的定义（垂直高度与水平宽度的比）计算斜坡的坡比． （2）过点作于，设米，根据表示出和的长度，再结合中的关系列出方程，求解后得到的高度． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 米，米， 米， ． （2）解：如图，过点作于点． 根据题意，可得米． 设米，则米， 米， 米． 在中，， ，解得， （米）． 答：写字楼的高度为25米． 题型四、方位角模型（航海、测量小岛，非共线，双 Rt△） 【典例8】．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【答案】B 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解． 【详解】作的延长线于点N， 根据题意可得，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 设该船的速度为，则． ∵在中，， ∴， ∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是， ∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午， 故选：B 【典例9】．如图，某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东75°方向上，且该舰艇以每小时10海里的速度沿南偏东15°方向航行，11小时到达B处，在B处测得灯塔C在北偏东75°方向上，则B处到灯塔C的距离为________海里.    【答案】20 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据题意得出，，据此即可求解． 【详解】根据题意：(海里)， 如图，根据题意： ， ， ∴， ， ∴， ∴， 答：B处到灯塔C的距离为海里． 故答案为：．    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 【典例10】．（2026·安徽·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】快递小哥这个过程中总共走了 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点作于点，过点作于点．在中求出，．在中求出，进而可求出快递小哥这个过程中总共走了多少米． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 由图可知，四边形是矩形， ，． 根据题意，，， ， ． ， ， ， ， ． 答：快递小哥这个过程中总共走了． 题型模版 1.特征：北偏东、南偏西这类方位描述，一般是轮船航行观测小岛；先画十字正北正南坐标轴。 2.关键点： 正北线互相平行，利用平行线得到等角； 通常过目标点向航线作垂线，造共高直角三角形； 3.常考：判断轮船有没有触礁（求小岛到航线的最短距离，和危险半径比较）。 【变式1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据题意，求得，再结合勾股定理，根据追及问题求法计算即可； 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识相结合是解题的关键． 【详解】∵走私船在处的南偏东方向上， ， 走私船在处沿南偏西方向行驶， ， 设追上走私船所需时间是小时， 则 解得 (不合题意，舍去)或 故选：C． 【变式2】．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为________海里．    【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】设海里，可得海里，海里，然后根据海里列方程求解即可． 【详解】解：设海里， 依题意得，，，海里， 海里，海里， 海里，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握含特殊角的三角形的边角关系是解题的关键． 【变式3】．（2026·安徽马鞍山·三模）随着节假日的来临，某景区为了吸引纷至沓来的市民和游客，在景区内设置了如图所示的，，三个拍照留念点，其中在的正东方向．小鸣一家从处出发，沿北偏东方向走了到达处，拍照留念之后再从处出发，沿南偏东方向来到最后一个拍照留念点处，求处与处的距离．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】处与处的距离长为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过点作，由题意易得，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意得：， ∴在中，，， ∴在中，， ∴； 答：处与处的距离长为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡，迎水坡的坡度，则坝高的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和勾股定理． 利用坡比的定义得出，进而利用勾股定理计算即可． 【详解】解：迎水坡的坡比是， ， 解得， ， 解得：（负值舍去）， 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为6米，坡度，长为5米，则古塔的高度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 作，由，可设，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论． 【详解】解：如图，作，垂足分别为， 则四边形是矩形， 则， 斜坡，设， ， ，则， ， ， ， ， ， 即古塔的高度为米， 故选：A． 3．（2025·安徽亳州·三模）小华在公园里测量一棵古树的高度，他站在离树根8米远的地方，测得树顶的仰角为，已知小华的眼睛离地面米，那么古树的高度约为（参考数据：）（    ） A．5.1米 B．6.2米 C．7.1米 D．8.1米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，线段的长表示古树的高度，线段的长表示小华的眼睛离地面的距离，线段的长表示小华离树根的距离，过点作于E，证明四边形是矩形，得到米，米，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，线段的长表示古树的高度，线段的长表示小华的眼睛离地面的距离，线段的长表示小华离树根的距离，过点作于E， 由题意得，米，米，，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，米， ∴米， ∴古树的高度约为米， 故选：B． 4．（2024九年级上·安徽合肥·期末）董铺水库位于合肥市西北近郊，是一座以合肥城市防洪为主，结合城市供水、郊区农菜灌溉及发展水产养殖等综合利用的大型水库，如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求出，熟记坡度的概念是解题的关键． 【详解】解：∵水坡的坡度， ∴， ∵坡高， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡与水平方向的夹角为，地下停车场层高米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点C作，利用求解即可，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点C作，如图，    ∴， ∵， ∴， ∵米， ∴， ∴米， 故选：D． 6．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东方向，则这段河的宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】作交的延长线于，设，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：作交的延长线于， 设， ， ， ， ， 则， 解得， 答：这段河的宽约为米． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 二、填空题 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡度为．依据他们测量的数据求出大树的高度___________．（参考数据：，，） 【答案】48米/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握三角函数的相关定义和运算是解题关键．作于，过点作于点，根据题意可得，然后利用勾股定理求出米，得出米，证明四边形为矩形，易得，；设米，证明为等腰直角三角形，可得米，进一步可得米，米，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：作于，过点作于点，如图所示： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设米， 在中，， ∴， ∴米， ∴在矩形中，米，米， 在中，米， ∵， ∴， 解得：， 答：大树的高度约为48米． 故答案为：48． 8．如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为_____海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）． 【答案】11． 【分析】作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA=9，再解Rt△PBC，得出PB= ≈11． 【详解】解：如图，作PC⊥AB于C， 在Rt△PAC中，PA=18，∠A=30°，∴PC=PA=×18=9； 在Rt△PBC中，PC=9，∠B=55°，∴PB=≈11， 即此时渔船与灯塔P的距离约为11海里． 故答案为：11 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义．解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 9．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬1米耗能，若某人爬坡时，其垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为，则他耗能______．（参考数据：，）    【答案】 【分析】本题考查了斜坡的计算，运用正弦函数计算即可． 【详解】设斜坡爬行x米， ∵垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为， ∴， 解得(米)， ∵每爬1米耗能， ∴耗能为 故答案为：． 10．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测的两点的俯角分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为_______ 【答案】 【分析】过点E、F作EG⊥CD，FH⊥CD，在Rt△CEG中，sin∠CEG=，CG= ，在Rt△CFH中，sin∠CFH=，CH= ．由HG=CG﹣CH，列方程﹣=3，求解即可． 【详解】解：分别过点E、F作EG⊥CD，FH⊥CD，垂足分别为G、H， 设摆绳CD的长度为xcm．则CE=CF=xcm． 由题意知：HG=3cm， ∵ABEG，ABHF， ∴∠CEG=∠ACE=α=60°，∠CFH=∠BCF=β=30°． 在Rt△CEG中，sin∠CEG=， ∴CG=CEsin∠CEG=xsin60°=， 在Rt△CFH中，sin∠CFH=， ∴CH=CFsin∠CFH=xsin30°=． ∵HG=CG﹣CH， ∴﹣=3， 解得x=． 答：摆绳CD的长度为cm． 故答案为：． ． 【点睛】本题考查解直角三角形应用，通过构图，利用俯角找出升高位置HG，用CD=x构造方程是解题关键． 三、解答题 11．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在点用垂直于地面放置的测角仪测得顶端的仰角为，在处测得的仰角为两点水平距离为，测角仪高为．求全向信标台的高度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】全向信标台的高度约为． 【分析】本题考查了与俯角仰角有关的解直角三角形的应用问题，利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键． 根据题意得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，在中，根据三角函数的定义得到，结合即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：全向信标台的高度约为． 12．（2026·安徽芜湖·二模）某数学兴趣小组利用解直角三角形相关知识在一草地上开展测量实践活动．如图，小组成员分别在，两个观测点观察目标的位置（目标不能直接到达），已知，两观测点相距，观测点在观测点的东北方向，目标在观测点的北偏西方向，在观测点的北偏西方向，求目标与观测点之间的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，） 【答案】目标与观测点之间的距离约为 【分析】过点，作点所在水平线的垂线，垂足分别为，，过点作，垂足为，根据的正切可以得到，根据的正切可以得到，解方程求出，，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，过点，作点所在水平线的垂线，垂足分别为，，过点作，垂足为， 由题意可知，，， 设， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， ，， ， 答：目标与观测点之间的距离约为． 13．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）某数学兴趣小组到一体育场馆利用看台测量旗杆的高度，如图所示，旗杆剖面图与看台斜坡剖面图在同一平面内，在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡处，测得旗杆顶端的仰角为，且斜坡的坡度，其中点，，，在同一条水平直线上．求： (1)点到地面的距离； (2)旗杆的高．（精确到米）（参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及坡度、仰角、勾股定理及三角函数等知识点，熟练运用直角三角形的边角关系和勾股定理是解答本题的关键． （1）利用坡度的定义设出直角三角形的两条直角边，结合斜坡长度，通过勾股定理列方程求解，确定点到地面的距离； （2）过点作，结合仰角得到，再利用仰角的正切值，列出关于的方程，依次进行解方程、实数运算，从而求出旗杆的高度． 【详解】（1）解：斜坡的坡度， 设，则， ，， ，解得， ， 答：点到地面的距离为米； （2）解：如图，过点作，垂足为，设． 由（1）得，，， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得． 答：旗杆的高约为米． 14．（25-26九年级上·安徽六安·期末）在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆的高度，他从旗杆底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得旗杆顶部的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点、、、、在同一平面内． (1)求最佳测量点到地面的距离； (2)求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)m (2)旗杆的高度是m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，包括坡度坡角问题和仰角俯角问题，解题的关键是通过作辅助线，将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理和三角函数进行求解． （1）根据斜坡坡度，设，，在中，利用勾股定理求出的值，进而得到的长度． （2）过点作，构造矩形，得到，，再在中，利用求出的长度，最后由计算出旗杆的高度． 【详解】（1）解：如图，由题意得，是直角三角形， ∵斜坡的斜面坡度，   ∴． 设， ∵， ∴， 解得：， 则． （2）解：过点作，交于点， 由（1）知， ∵， ∴． 由题意可得，四边形是矩形，则， 在中，， ∵ ， ∴， ∴ 答：旗杆的高度是． 15．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在处测得北偏东方向上距离为海里的处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在处成功拦截不明船只． (1)求及的大小； (2)问不明船只从被发现到被拦截行驶了多少海里？此时海监执法船行驶了多少海里？（最后结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2)不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里 【分析】（1）根据方位角可以求出，根据平行线的性质即可求出； （2）过作，在中，解直角三角形得到与的长，在中，求出的长，由求出的长即可． 【详解】（1）解：如下图所示， ，， ，， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 在中，，，海里， 海里，海里， 在中，，， ，海里， 海里， 海里， 答：不明船只从被发现到被拦截行驶了海里，此时海监执法船行驶了海里． 16．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）综合与实践：学习解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘点A处投射到底部点B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可证明，则，的长可求； （2）由题意可知，因为，根据，可求长度，由为法线，可证，则可证，则B，D之间的距离为可求． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ∴， ∴； （2）解：∵ E为的中点 ∴， 由题意， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 答：B，D之间的距离为． 17．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）“限速红线不可碰，安全底线记心间”，为了解“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段车辆行驶速度，在离下坡路终点3米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点B处，区间测速的起点为坡面点D处，此时电子眼的俯角为10°；区间测速的终点为下坡路终点C处，此时电子眼的俯角为（A，B，C，D四点在同一平面）． (1)______°，______°； (2)求电线杆的高度； (3)已知“金寨路高架”芜湖路出口下坡路段坡比，如果该路段限速米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)10；53 (2)4米 (3) 解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据俯角的定义解答即可； （2）在中，根据正切的定义求解即可； （3）过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，然后比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 故答案为：10，53； （2）解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为4米； （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $