4.1线段（讲义，知识点&3大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

第四章 线段与角 4.1 线段 课标要点 1.理解点、线段、射线、直线的概念，掌握它们的表示方法，能说出三者的联系与区别. 2.掌握基本事实“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”，理解两点间的距离. 3.会用尺规作一条线段等于已知线段，会用叠合法、度量法比较线段的长短. 4.会画线段的和、差，理解线段中点的意义，能进行线段的和、差、倍、分的计算. 思维导图 知识点1 点与线 点是图形的基本元素之一．当我们用削尖的铅笔轻轻在纸上点下去时，纸上就出现一个小小的黑点，这使我们能够形象地理解点的概念．我们通常用一个大写字母来表示点，就像图中的点可以记为“点A”． 我们可以把铅笔尖看作一个移动的点．当这个点在纸上移动时，它留下的痕迹形成了一条线，这条线可以是直线，也可以是曲线．这给我们展现了“点动成线”的直观形象．通过点的运动，我们可以得到各种形状的线． 点与线之间的关系： ①点动成线； ②线与线相交的地方是点； ③点是构成图形的基本元素； ④线分为直线和曲线两类． “点动成线、线动成面、面动成体”是图形生成的基本观点．教材先讲“点动成线”，就是为了把点看成最基本的元素：线由点运动生成，面又由线运动生成．遇到“旋转后得到什么图形”“一个图形移动后扫过什么区域”一类问题，先判断是点动还是线动，再想它扫出的痕迹，就不容易凭空想象． 随学随练 1．下列现象中，能说明“点动成线”的是（　　） A．汽车的雨刷在挡风玻璃上摆动，扫过一个扇形区域 B．用削尖的铅笔在纸上画出一条直线 C．将一个长方形绕它的一边旋转一周，得到一个圆柱 D．将一个半圆绕它的直径旋转一周，得到一个球 知识点2 直线、射线、线段 1.直线 表示方法： （1）在直线上任意取两个点，用表示这两点的两个大写字母表示这条直线，记作直线AB或直线BA； （2）用一个小写字母表示，记作直线l． 特征：（1）无端点；（2）向两边无限延伸；（3）无长短（不能度量）；（4）无粗细． 基本事实：经过两点有且只有一条直线． 2.射线 概念：直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线． 表示方法：用表示射线的端点和射线上任意一点（端点除外）的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，记作射线AB． 特征：（1）有一个端点；（2）有方向（向一个方向无限延伸）；（3）无长短（不能度量）；（4）无粗细． 3.线段 概念：直线上任意两点间的部分（包括端点）叫作线段． 表示方法： （1）用表示线段的端点的两个大写字母表示，记作线段AB或线段BA； （2）用一个小写字母表示，记作线段a． 特征：（1）有两个端点；（2）有方向；（3）有长短（能度量）；（4）无粗细． 基本事实：两点之间，线段最短． 识别两条射线是否为同一条射线． ①端点相同、延伸方向也相同的射线是同一条射线，如射线OA、射线OB表示同一条射线； ②端点相同但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如射线OA与射线AB不是同一条射线； ③端点不同的射线一定不是同一条射线． 用字母表示直线、射线或线段时，必须在字母的前面加上“直线”“射线”或“线段”两字． 射线AB与射线BA的端点不同、方向相反，不是同一条射线；“线段AB”是图形，“线段AB的长度”才是数量，二者不能混说；直线没有端点，不能说“延长直线AB”；射线只有一个端点，也不能说“延长射线AB”，只能反向延长． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列说法错误的个数有（   ） ①在“线段”中，A、B分别表示这条线段的两个端点． ②连接两点的线段叫做这两点间的距离． ③如果线段等于线段，则点B是线段的中点． ④如果线段，P是线段上一点，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3 线段的基本事实及两点间的距离 1.线段的基本事实：两点之间，线段最短． 2.两点间的距离：连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离． （1）从点A到点B的三条线中，线段AB最短； （2）两点间的距离是长度概念，指的是线段的长度，是一个数值；线段是形状概念． 因此A、B两点间的距离表示线段AB的长度，而不是线段AB本身． 两个基本事实容易混用：“两点确定一条直线”解释的是“直”——两个钉子就能把木条固定、植树时定出两棵树的位置就定下一行、经过两点只能弹出一条墨线；“两点之间线段最短”解释的是“近”——架设电线沿线段、把弯曲的公路改直以缩短路程、在直线同侧找一点使到两定点距离之和最小．判断时先看情境要说明的是“直”还是“近”． 求“到两定点距离之和最小”的定点：若两点在直线同侧，先作其中一点关于直线的对称点，再连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求，依据就是“两点之间线段最短”；若是立体图形表面上的最短路线，先把立体图形展开成平面图形，转化为平面内两点间的距离问题． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 知识点4 线段的画法及长短的比较 1.尺规作图：在数学上，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 2.画一条线段等于已知线段，方法有两种： （1）尺规作图法——先用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC上截取； （2）测量法——先度量出已知线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 3.线段长短的比较方法： （1）叠合法——比较两条线段AB、CD的长短，可把它们移到同一条直线上，使一个端点A和C重合，另一端点B和D落在直线上A和C的同侧．如果点B和点D重合，则；如果点D在线段AB上，则；如果点D在线段AB的延长线上，则． 图1 图2 图3 （2）度量法——分别度量出每条线段的长度，再按长度的大小比较线段的大小，线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的． （3）截取法——将圆规的两个尖与线段AB的两个端点重合，然后用圆规的一个尖与点C重合，把另一个尖同向放在C、D所在的直线上：此尖落在线段CD上，则；此尖落在点D处，则；此尖落在线段CD的延长线上，则． 用圆规截取法比较线段的大小，实质上就是叠合法的一个操作应用．线段是一个几何图形，而线段的长度是一个非负数，二者是有区别的，不能混为一谈． 用叠合法时一定要强调“另一端点落在同侧”，否则会出现两条线段端点都重合却长短不同的错误判断；尺规作图要保留作图痕迹，只画不说是不得分的． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点______，则． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，点B，C在线段上，且，则线段与的大小关系是_______． 知识点5 画线段的和、差 1.线段和、差的概念：单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示．因此，线段的长度可以像数一样做加法、减法运算．如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的和（或差），那么称这条线段就是另外两条线段的和（或差）． 2.线段和、差的作法： 作和：在直线上作线段，再在线段AB的延长线上作线段，线段AC是a与b的和，； 作差：在直线上作线段，再在线段AB上作线段，线段AD是a与b的差，． 说明：几何中线段的和、差与代数中数的和、差有联系也有区别，在数量上，是线段长度的和、差；在图形上，作线段的和、差得到的图形是一条线段． 作线段的和、差时，按“右加左减”（也可以记为“外加内减”）的方法作图： ①先作一条射线，再在射线上截取线段； ②“加”沿相同方向依次截取，“减”沿相反方向截取； ③最后结论要说明哪条线段是所求线段． 画一条线段等于两条线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长，再计算线段的和或差，最后利用刻度尺画线段；在没有刻度尺的条件下，也可以用直尺和圆规画线段的和或差．作差时被减线段必须较长（），否则差不存在． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海长宁·期末）延长线段至点，使，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 知识点6 画线段的倍、中点 1.线段的倍：如果一条线段b是n条线段a的和，就说线段b是线段a的n倍，或线段a是线段b的n分之一，记作或．特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点． 2.线段的中点：如图所示，M是线段AB的中点，那么，． 线段的等分点： 把线段分成相等的三条线段的点，叫作线段的三等分点．类似地，还有四等分点、…、n等分点等． （1）线段的中点只有一个，且一定在线段上； （2）线段的三等分点有两个，线段的四等分点有三个，…； （3）线段的n等分点有（）个，且这些点都在线段上． 线段中点的判断易出错——线段的中点一定要在线段上，并且满足到线段两个端点的距离相等．在实际应用过程中易忽略“点在线段上”的条件限制，从而导致判断错误． 中点的三种常见用法：①已知AB，求；②已知AM或MB，求；③已知且M在线段AB上，说明M是AB的中点．遇到“中点＋比例”的问题，把最短的那一段设为x（或设一份为x），其余各段都用含x的式子表示，再根据总长列方程，可以避免反复换元；若题目没有给出图形、点的位置不确定，要按点在线段上、在延长线上、在反向延长线上分类讨论． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海崇明·期末）如图，厘米，C为中点，点D在线段上，且，则的长是 （       ）                  A．1厘米 B．2厘米 C．3厘米 D．4厘米 题型1 直线、射线、线段的概念辨析 ▌例1（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 ▌对点练1-1（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．经过两点能且只能画一条射线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线与射线是同一条射线 ▌对点练1-2（25-26六年级上·上海静安·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．两点之间的线段叫做这两点间的距离 C．若点是线段的中点，则 D．若，则点一定是线段的中点 题型2 两点之间线段最短与两点间的距离 ▌例2（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，在一条笔直公路的两侧，分别有、两个小区，为了方便居民出行，现要在公路上建一个公共自行车存放点，有、、三个候选点（为与的交点），为使存放点到两个小区的距离之和最短，小区居民决定将存放点建在点处，理由是（   ） A．经过两点有且只有一条直线 B．点动成线 C．经过一点可以画无数条直线 D．两点之间，线段最短 ▌对点练2-1（25-26六年级上·上海嘉定·期末）小明的爸爸准备开车从地前往地，两地实际距离的长为（如图），导航推荐的三条可选驾车路线长分别为，和．能用来解释这一事实的数学知识是（    ） A．点动成线 B．经过一点可以画无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过两点有且只有一条直线 ▌对点练2-2（25-26六年级上·上海·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如杭州湾跨海大桥建成通车，将上海至宁波间的陆路距离缩短了120千米，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．直线上任意一点及其一端的部分叫做射线 D．两点之间，线段最短 ▌对点练2-3（24-25六年级上·上海金山·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”。正如杭州湾跨海大桥建成通车，将上海至宁波间的陆路距离缩短了120千米，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（   ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．连接两点间线段的长度是两点间的距离 D．两点之间，线段最短 题型3 射线与线段的计数问题 ▌例3（24-25六年级上·上海·阶段检测）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有______条线段． ▌对点练3-1（24-25六年级上·上海·期末）有一条列车线，在甲乙两市之间来往，中途停靠4站，这列车线一共有（　　）种不同的车票． A．15 B．10 C．30 D．6 ▌对点练3-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）经过一个点可作______条直线，经过个点最多可作______条线段； 题型4 尺规作图：作线段的和、差、倍 ▌例4（25-26六年级上·上海浦东新·期末）已知线段、如图所示： (1)请按要求用直尺、圆规完成作图 ①画射线； ②在射线上顺次截取； ③在射线上截取； (2)根据（1）中所作图形，可知 __________（用含有a、b的代数式表示）． (3)根据（1）中所作图形，若点P恰为的中点，则． ▌对点练4-1（25-26六年级上·上海虹口·期末）如图，已知线段，，画图并回答问题． (1)用直尺和圆规画出线段，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)填空：如果点D是线段的中点，比长18，那么的长是 ． ▌对点练4-2（25-26六年级上·上海·期末）“已知：线段．求作：线段，使得．”小明给出了四个步骤：①在射线上画线段；②则线段；③在射线上顺次画线段；④画射线；你认为正确的顺序是___． ▌对点练4-3（25-26六年级上·上海浦东新·期末）尺规作图：已知． (1)①画射线 ②在射线上截取 ③在射线上截取 (2)根据所作图形，可知 ． (用含有a、b的代数式表示) 题型5 线段的和差倍分与分类讨论 ▌例5（25-26六年级上·上海金山·期末）已知线段，且，下列关于点的描述中，不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在直线外 ▌对点练5-1（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（25-26六年级上·上海黄浦·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-3（24-25七年级上·全国·期末）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 题型6 线段中点的计算 ▌例6（24-25六年级上·上海·期末）如图，线段，点是的中点，延长到点，使， (1)求线段的长； (2)线段占线段的几分之几？ ▌对点练6-1（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． ▌对点练6-2（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点C是线段上一点，且，点D是的中点，且．若点F是线段上一点，且，则的长是____． ▌对点练6-3（25-26六年级上·上海黄浦·期末）如图，是线段的中点，是上一点．已知比长厘米，则____________． ▌对点练6-4（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知是线段的中点，点在线段上，如果，，则______． 题型7 数轴上的两点间距离 ▌例7（24-25六年级上·上海·阶段检测）我们知道，在数轴上，点，分别表示数，，则点，之间的距离为．已知点，，，在数轴上分别表示数，，，（其中点在点的左侧），且，则线段的长度为____________． 题型8 线段作图与计算的综合 ▌例8（25-26六年级上·上海·期末）已知线段，在直线上作线段，使得，若点D是线段的中点，则线段的长为______． 基础通关 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）已知点，，在一条直线上，线段，，则，两点间的距离为_____ 2．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点为线段上一点，，，点、分别为线段、的中点． (1)图中共有________条线段； (2)求线段的长． 3．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 4．（25-26六年级上·上海虹口·期末）如图，点在线段上（在的左侧），若，，，那么的长是______ ． 5．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，已知线段． (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于； (2)若点是线段的中点，点在线段上，．如果，求线段的长． 6．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知线段，点是线段上一点（不与，重合），在射线上截取一条线段，使的长度为线段长度的一半．如果点是的中点，那么线段与线段满足的数量关系是_____． 7．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知点在线段上，且，，、分别是、的中点． (1)填空：要求线段的长度，可进行如下计算： 解：因为是的中点，所以_____． 因为，所以． 因为是的中点，所以_____． 因为，所以_____． 所以_____． (2)如果，其他条件不变，你能猜出的长度吗？说明理由． 8．（25-26六年级上·上海松江·期末）如图，已知，，且是的中点，则_______． 9．（25-26六年级上·上海金山·期末）延长线段至点C，使，若，则的长为_______． 素养提升 10．（25-26六年级上·上海·期末）已知在同一直线上有、、、四点，点为线段的中点，若，，则的长为________． 11．（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知线段，点C是的中点，点D是线段上一点，且的长度是长度的，那么的长是_____ ． 12．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段的长度是20，点是线段的中点，点是线段上一点，并且，则线段的长度是_____________． 13．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知线段、，用直尺和圆规按以下步骤画图，并回答问题； ①画射线；②在射线上顺次截取；③在线段上截取． (1)根据以上要求画出图形：根据画图，可知线段的长是_____；（用含的式子表示） (2)已知点，分别是线段，的中点，如果，求线段的长度． 14．（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图所示，已知线段和线段． (1)尺规作图：在线段上截取，使点在点的左侧；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，如果，点分别是，的中点，线段的长用含的代数式分别表示为：___________，___________ 15．（25-26六年级上·上海宝山·期末）如图，已知点M、N在线段上，点N是的中点，，已知，则_____． 16．（25-26六年级上·上海·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是_____． 迁移创新 17．（25-26六年级上·上海·期末）综合与探究 问题情境： (1)已知：M，N分别是线段的中点． ①如图1，点C在线段上，且，求线段的长． ②若C为线段上任意一点，且，则线段的长为 （用含有a、b的代数式表示）． (2)如图2，已知C，D为线段上顺次两点，M，N分别是的中点． ①若，求的长． ②若，则线段的长为 （用含有x，y的代数式表示）． 18．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知线段、，且（如图） (1)用直尺和圆规画出线段，使； (2)画出线段的中点； (3)如果，，求线段的长． 19．（25-26六年级上·上海青浦·期末）已知、、三点在同一直线上，点、分别是线段、的中点． (1)如图1，如果是线段上一点，当时，求线段的长； (2)如图2，如果是线段延长线上的一点，请说明． 20．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，已知线段，点是线段上一点，且的长度是的倍，点是线段的中点，那么______ 学科网（北京）股份有限公司1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 线段与角 4.1 线段 课标要点 1.理解点、线段、射线、直线的概念，掌握它们的表示方法，能说出三者的联系与区别. 2.掌握基本事实“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”，理解两点间的距离. 3.会用尺规作一条线段等于已知线段，会用叠合法、度量法比较线段的长短. 4.会画线段的和、差，理解线段中点的意义，能进行线段的和、差、倍、分的计算. 思维导图 知识点1 点与线 点是图形的基本元素之一．当我们用削尖的铅笔轻轻在纸上点下去时，纸上就出现一个小小的黑点，这使我们能够形象地理解点的概念．我们通常用一个大写字母来表示点，就像图中的点可以记为“点A”． 我们可以把铅笔尖看作一个移动的点．当这个点在纸上移动时，它留下的痕迹形成了一条线，这条线可以是直线，也可以是曲线．这给我们展现了“点动成线”的直观形象．通过点的运动，我们可以得到各种形状的线． 点与线之间的关系： ①点动成线； ②线与线相交的地方是点； ③点是构成图形的基本元素； ④线分为直线和曲线两类． “点动成线、线动成面、面动成体”是图形生成的基本观点．教材先讲“点动成线”，就是为了把点看成最基本的元素：线由点运动生成，面又由线运动生成．遇到“旋转后得到什么图形”“一个图形移动后扫过什么区域”一类问题，先判断是点动还是线动，再想它扫出的痕迹，就不容易凭空想象． 随学随练 1．下列现象中，能说明“点动成线”的是（　　） A．汽车的雨刷在挡风玻璃上摆动，扫过一个扇形区域 B．用削尖的铅笔在纸上画出一条直线 C．将一个长方形绕它的一边旋转一周，得到一个圆柱 D．将一个半圆绕它的直径旋转一周，得到一个球 【答案】B 【知识点】点、线、面、体 【分析】点动成线、线动成面、面动成体：笔尖可以看作点，雨刷可以看作线，长方形与半圆是面，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．雨刷可以看作一条线段，摆动时扫过一个扇形区域，是线动成面，故A不符合题意； B．铅笔尖可以看作一个点，点在纸上移动留下一条线，是点动成线，故B符合题意； C．长方形绕它的一边旋转一周得到圆柱，是面动成体，故C不符合题意； D．半圆绕它的直径旋转一周得到球，是面动成体，故D不符合题意． 故选：B． 知识点2 直线、射线、线段 1.直线 表示方法： （1）在直线上任意取两个点，用表示这两点的两个大写字母表示这条直线，记作直线AB或直线BA； （2）用一个小写字母表示，记作直线l． 特征：（1）无端点；（2）向两边无限延伸；（3）无长短（不能度量）；（4）无粗细． 基本事实：经过两点有且只有一条直线． 2.射线 概念：直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线． 表示方法：用表示射线的端点和射线上任意一点（端点除外）的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，记作射线AB． 特征：（1）有一个端点；（2）有方向（向一个方向无限延伸）；（3）无长短（不能度量）；（4）无粗细． 3.线段 概念：直线上任意两点间的部分（包括端点）叫作线段． 表示方法： （1）用表示线段的端点的两个大写字母表示，记作线段AB或线段BA； （2）用一个小写字母表示，记作线段a． 特征：（1）有两个端点；（2）有方向；（3）有长短（能度量）；（4）无粗细． 基本事实：两点之间，线段最短． 识别两条射线是否为同一条射线． ①端点相同、延伸方向也相同的射线是同一条射线，如射线OA、射线OB表示同一条射线； ②端点相同但延伸方向不同的射线不是同一条射线，如射线OA与射线AB不是同一条射线； ③端点不同的射线一定不是同一条射线． 用字母表示直线、射线或线段时，必须在字母的前面加上“直线”“射线”或“线段”两字． 射线AB与射线BA的端点不同、方向相反，不是同一条射线；“线段AB”是图形，“线段AB的长度”才是数量，二者不能混说；直线没有端点，不能说“延长直线AB”；射线只有一个端点，也不能说“延长射线AB”，只能反向延长． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）下列说法错误的个数有（   ） ①在“线段”中，A、B分别表示这条线段的两个端点． ②连接两点的线段叫做这两点间的距离． ③如果线段等于线段，则点B是线段的中点． ④如果线段，P是线段上一点，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段的定义，线段长的定义是正确解答的关键． 根据线段的定义，线段长的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：①在“线段”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．因此①正确； ②连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离，因此②不正确； ③如果线段等于线段，点B不一定在线段上，因此③不正确； ④如果线段，P是线段AB上一点，则，因此④不正确； 综上所述，不正确的有②③④，共3个， 故选：C． 知识点3 线段的基本事实及两点间的距离 1.线段的基本事实：两点之间，线段最短． 2.两点间的距离：连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离． （1）从点A到点B的三条线中，线段AB最短； （2）两点间的距离是长度概念，指的是线段的长度，是一个数值；线段是形状概念． 因此A、B两点间的距离表示线段AB的长度，而不是线段AB本身． 两个基本事实容易混用：“两点确定一条直线”解释的是“直”——两个钉子就能把木条固定、植树时定出两棵树的位置就定下一行、经过两点只能弹出一条墨线；“两点之间线段最短”解释的是“近”——架设电线沿线段、把弯曲的公路改直以缩短路程、在直线同侧找一点使到两定点距离之和最小．判断时先看情境要说明的是“直”还是“近”． 求“到两定点距离之和最小”的定点：若两点在直线同侧，先作其中一点关于直线的对称点，再连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求，依据就是“两点之间线段最短”；若是立体图形表面上的最短路线，先把立体图形展开成平面图形，转化为平面内两点间的距离问题． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，已知线段，在直线上取一点，使，则点应在（   ） A．点、之间 B．点的左边 C．点的左边 D．点、之间或点的右边 【答案】D 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】此题考查两点间的距离，解题关键在于分情况讨论． 根据题意分两种情况，即点在线段上和射线上，分别讨论求解即可． 【详解】∵直线上取一点，使， ∴点应在点、之间或点的右边． 故选：D． 知识点4 线段的画法及长短的比较 1.尺规作图：在数学上，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 2.画一条线段等于已知线段，方法有两种： （1）尺规作图法——先用直尺画射线AC，再用圆规在射线AC上截取； （2）测量法——先度量出已知线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 3.线段长短的比较方法： （1）叠合法——比较两条线段AB、CD的长短，可把它们移到同一条直线上，使一个端点A和C重合，另一端点B和D落在直线上A和C的同侧．如果点B和点D重合，则；如果点D在线段AB上，则；如果点D在线段AB的延长线上，则． 图1 图2 图3 （2）度量法——分别度量出每条线段的长度，再按长度的大小比较线段的大小，线段的大小关系和它们长度的大小关系是一致的． （3）截取法——将圆规的两个尖与线段AB的两个端点重合，然后用圆规的一个尖与点C重合，把另一个尖同向放在C、D所在的直线上：此尖落在线段CD上，则；此尖落在点D处，则；此尖落在线段CD的延长线上，则． 用圆规截取法比较线段的大小，实质上就是叠合法的一个操作应用．线段是一个几何图形，而线段的长度是一个非负数，二者是有区别的，不能混为一谈． 用叠合法时一定要强调“另一端点落在同侧”，否则会出现两条线段端点都重合却长短不同的错误判断；尺规作图要保留作图痕迹，只画不说是不得分的． 随学随练 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点______，则． 【答案】在线段延长线上 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了线段大小的比较的方法，熟练掌握叠合法比较线段的大小的前提条件和三种情况是解答的关键． 画出图形，根据叠合法比较线段的方法即可求解． 【详解】解：用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点在线段延长线上，则， 如图： 故答案为：在线段延长线上． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，点B，C在线段上，且，则线段与的大小关系是_______． 【答案】 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题主要考查两点间的距离，结合图形解题直观形象，从图中很容易能看出各线段之间的关系是解题的关键．根据两点间的距离，可得答案． 【详解】解：由两边都加，得 ， 即， 故答案为：． 知识点5 画线段的和、差 1.线段和、差的概念：单位长度一旦给定，线段的长度就可以用一个数来表示．因此，线段的长度可以像数一样做加法、减法运算．如果一条线段的长度等于另外两条线段长度的和（或差），那么称这条线段就是另外两条线段的和（或差）． 2.线段和、差的作法： 作和：在直线上作线段，再在线段AB的延长线上作线段，线段AC是a与b的和，； 作差：在直线上作线段，再在线段AB上作线段，线段AD是a与b的差，． 说明：几何中线段的和、差与代数中数的和、差有联系也有区别，在数量上，是线段长度的和、差；在图形上，作线段的和、差得到的图形是一条线段． 作线段的和、差时，按“右加左减”（也可以记为“外加内减”）的方法作图： ①先作一条射线，再在射线上截取线段； ②“加”沿相同方向依次截取，“减”沿相反方向截取； ③最后结论要说明哪条线段是所求线段． 画一条线段等于两条线段的和或差，可以先用刻度尺量出两条线段的长，再计算线段的和或差，最后利用刻度尺画线段；在没有刻度尺的条件下，也可以用直尺和圆规画线段的和或差．作差时被减线段必须较长（），否则差不存在． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海长宁·期末）延长线段至点，使，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差计算，根据已知的线段比例关系求出的长度，再通过线段和的关系计算的长度． 【详解】解：∵，且， ∴． 又∵， ∴． 故选：B． 知识点6 画线段的倍、中点 1.线段的倍：如果一条线段b是n条线段a的和，就说线段b是线段a的n倍，或线段a是线段b的n分之一，记作或．特别地，将一条线段分成两条相等线段的点叫作这条线段的中点． 2.线段的中点：如图所示，M是线段AB的中点，那么，． 线段的等分点： 把线段分成相等的三条线段的点，叫作线段的三等分点．类似地，还有四等分点、…、n等分点等． （1）线段的中点只有一个，且一定在线段上； （2）线段的三等分点有两个，线段的四等分点有三个，…； （3）线段的n等分点有（）个，且这些点都在线段上． 线段中点的判断易出错——线段的中点一定要在线段上，并且满足到线段两个端点的距离相等．在实际应用过程中易忽略“点在线段上”的条件限制，从而导致判断错误． 中点的三种常见用法：①已知AB，求；②已知AM或MB，求；③已知且M在线段AB上，说明M是AB的中点．遇到“中点＋比例”的问题，把最短的那一段设为x（或设一份为x），其余各段都用含x的式子表示，再根据总长列方程，可以避免反复换元；若题目没有给出图形、点的位置不确定，要按点在线段上、在延长线上、在反向延长线上分类讨论． 随学随练 1．（25-26六年级上·上海崇明·期末）如图，厘米，C为中点，点D在线段上，且，则的长是 （       ）                  A．1厘米 B．2厘米 C．3厘米 D．4厘米 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，根据线段中点的定义求出的长即可得到答案． 【详解】解：因为厘米，C为中点， 所以厘米， 因为， 所以厘米， 故选：B． 题型1 直线、射线、线段的概念辨析 ▌例1（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．联结两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，直线最短 D．线段与线段是同一条线段 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短、两点间的距离、直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了两点之间线段最短，线段、射线的定义，两点之间的距离，熟练掌握概念是解题的关键． 【详解】解：A、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法错误，不符合题意； D、线段与线段是同一条线段，原说法正确，符合题意； 故选：D． ▌对点练1-1（24-25六年级上·上海杨浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．经过两点能且只能画一条射线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线与射线是同一条射线 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、两点间的距离、直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查了射线的定义，两点之间的距离，经过两点的射线由于顶点不确定，故有无数条，据此可判断A；连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离且两点之间线段最短，据此可判断B、C；射线与射线的方向不同，据此可判断D． 【详解】解：A、经过两点能画无数条射线，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-2（25-26六年级上·上海静安·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．两点之间的线段叫做这两点间的距离 C．若点是线段的中点，则 D．若，则点一定是线段的中点 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题主要考查了线段的基本性质，根据线段的基本性质、中点定义和距离定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 两点之间线段最短，而不是直线最短，原说法错误，本选项不符合题意； B、两点之间线段的长度叫做这两点间的距离，线段本身不是距离，原说法错误，本选项不符合题意； C、 若点P是线段的中点，则与长度相等（中点定义），该说法正确，本选项符合题意； D、当时，点不一定在线段上，P不一定是的中点，原说法错误，本选项不符合题意． 故选：C． 题型2 两点之间线段最短与两点间的距离 ▌例2（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，在一条笔直公路的两侧，分别有、两个小区，为了方便居民出行，现要在公路上建一个公共自行车存放点，有、、三个候选点（为与的交点），为使存放点到两个小区的距离之和最短，小区居民决定将存放点建在点处，理由是（   ） A．经过两点有且只有一条直线 B．点动成线 C．经过一点可以画无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短.根据两点之间线段最短可得公共自行车存放点的位置是处． 【详解】解：公共自行车存放点建在处， 理由是两点之间，线段最短． 故选：D． ▌对点练2-1（25-26六年级上·上海嘉定·期末）小明的爸爸准备开车从地前往地，两地实际距离的长为（如图），导航推荐的三条可选驾车路线长分别为，和．能用来解释这一事实的数学知识是（    ） A．点动成线 B．经过一点可以画无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过两点有且只有一条直线 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可得出结果，熟练掌握线段的性质是解此题的关键． 【详解】解：小明的爸爸准备开车从地前往地，两地实际距离的长为（如图），导航推荐的三条可选驾车路线长分别为，和．能用来解释这一事实的数学知识是两点之间，线段最短， 故选：C． ▌对点练2-2（25-26六年级上·上海·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如杭州湾跨海大桥建成通车，将上海至宁波间的陆路距离缩短了120千米，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．直线上任意一点及其一端的部分叫做射线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，大桥建成后距离缩短，体现了“两点之间，线段最短”的几何性质，据此进行作答即可． 【详解】解：∵大桥直接连接上海和宁波两点，而原本陆路是曲线路径， ∴根据“两点之间，线段最短”，可知距离缩短； 故选D． ▌对点练2-3（24-25六年级上·上海金山·期末）毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”。正如杭州湾跨海大桥建成通车，将上海至宁波间的陆路距离缩短了120千米，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（   ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．连接两点间线段的长度是两点间的距离 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质， 建桥后距离缩短，体现了“两点之间，线段最短”的几何事实． 【详解】解：∵大桥直接连接上海和宁波两点，而原本陆路是曲线路径， ∴根据“两点之间，线段最短”，可知距离缩短． 故选：D． 题型3 射线与线段的计数问题 ▌例3（24-25六年级上·上海·阶段检测）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有______条线段． 【答案】6 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是按照顺序，做到不重不漏． 根据线段有两个端点，写出所有的线段即可得到数量． 【详解】解：如图， 则图中线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段共6条． 故答案为：6． ▌对点练3-1（24-25六年级上·上海·期末）有一条列车线，在甲乙两市之间来往，中途停靠4站，这列车线一共有（　　）种不同的车票． A．15 B．10 C．30 D．6 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段的计数问题，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少可以用枚举法解答，如果数量比较多可以用公式解答． 在甲乙两市之间来往，中途停靠4站，共有6个车站，单程每两个站点之间都有一种车票，相当于两两组合，根据公式求出得数，再乘2即可． 【详解】解：（个） （种） 答：这列车线一共有30种不同的车票． 故选：C． ▌对点练3-2（24-25六年级上·上海·阶段检测）经过一个点可作______条直线，经过个点最多可作______条线段； 【答案】 无数 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了直线，线段定义，根据直线定义可知经过一个点可作无数条直线，根据经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），，找出规律即可求解，掌握直线，线段定义是解题的关键． 【详解】解：经过一个点可作无数条直线， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， ； ∴经过个点最多可作线段（条）， 故答案为：无数，． 题型4 尺规作图：作线段的和、差、倍 ▌例4（25-26六年级上·上海浦东新·期末）已知线段、如图所示： (1)请按要求用直尺、圆规完成作图 ①画射线； ②在射线上顺次截取； ③在射线上截取； (2)根据（1）中所作图形，可知 __________（用含有a、b的代数式表示）． (3)根据（1）中所作图形，若点P恰为的中点，则 ． 【答案】(1) 如图所示； (2) (3) 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）先作射线，以点O为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E，再以点E为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点F，最后以点F为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于点P； （2）根据线段的和差关系求解即可； （3）由点P恰为的中点得到，然后求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得； （3）解：若点P恰为的中点， ∴ ∴ ∴． ▌对点练4-1（25-26六年级上·上海虹口·期末）如图，已知线段，，画图并回答问题． (1)用直尺和圆规画出线段，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)填空：如果点D是线段的中点，比长18，那么的长是 ． 【答案】(1) 解：如图，线段即为所求； (2)9 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查尺规作图——作线段，线段和差，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据做线段的方法作即可； （2）利用线段和差定义求出，再线段中点的定义求得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 则， ∵比长18，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 故答案为：9． ▌对点练4-2（25-26六年级上·上海·期末）“已知：线段．求作：线段，使得．”小明给出了四个步骤：①在射线上画线段；②则线段；③在射线上顺次画线段；④画射线；你认为正确的顺序是___． 【答案】④①③② 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段，尺规作图需先作射线作为基准，再依次截取线段，最后得到目标线段，即第一步要画射线，然后在射线上画线段，再在射线上依次画线段，则线段，据此可得答案． 【详解】解：首先画射线（步骤④），作为作图基准；然后在射线上截取线段（步骤①）；接着在射线（从点沿方向）上顺次截取和（步骤③），此时；最后得到线段（步骤②）． 故答案为：④①③② ▌对点练4-3（25-26六年级上·上海浦东新·期末）尺规作图：已知． (1)①画射线 ②在射线上截取 ③在射线上截取 (2)根据所作图形，可知 ． (用含有a、b的代数式表示) 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段的尺规作图，正确作出对应的图形是解题的关键． （1）先作射线，以点O为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点E，再以点E为圆心，线段的长为半径画弧交射线于点F，最后以点F为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于点P； （2）根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得． 题型5 线段的和差倍分与分类讨论 ▌例5（25-26六年级上·上海金山·期末）已知线段，且，下列关于点的描述中，不正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在直线外 【答案】A 【知识点】线段的和与差、两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的和差关系，当点C在线段上时，，与矛盾，因此点C不可能在线段上，故选项A不正确；其他选项均可能满足条件． 【详解】解：若点在线段上，则，与矛盾，因此点C不可能在线段上， 故选项A说法不正确，符合题意； 若点在线段的延长线上，设，则，，解得，因此点可能在线段的延长线上， 故选项B说法正确，不合题意； 若点在线段的反向延长线上，设，则，，解得，因此点可能在线段的反向延长线上， 故选项C说法正确，不合题意； 若点在直线外，根据两点之间线段最短，可得，因此点可能在直线外， 故选项D说法正确，不合题意； 故选：A． ▌对点练5-1（24-25六年级上·上海普陀·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．根据已知条件可计算出的长度，根据代入计算即可得出答案． 【详解】解：，， ， ∵点在线段的延长线上， ． 故选：B． ▌对点练5-2（25-26六年级上·上海黄浦·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差． 根据求出的长，根据点C在线段的延长线上计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在线段的延长线上取一点，使， ∴． 故选：A． ▌对点练5-3（24-25七年级上·全国·期末）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键． 根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∵，是的中点， ∴， ．．． ∴， ∴． ∵是的中点， ∴． 故选：B． 题型6 线段中点的计算 ▌例6（24-25六年级上·上海·期末）如图，线段，点是的中点，延长到点，使， (1)求线段的长； (2)线段占线段的几分之几？ 【答案】(1)； (2)线段占线段的五分之二． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算． （1）根据线段中点的定义求得，再利用线段的和与差计算即可求解； （2）先求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴线段占线段的五分之二． ▌对点练6-1（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点是线段的中点，点在线段上，且，如果，则______． 【答案】 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段中点的定义和线段的和差计算． 首先根据已知的比例关系求出的长度，再根据线段中点的性质得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴. 故答案为：． ▌对点练6-2（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点C是线段上一点，且，点D是的中点，且．若点F是线段上一点，且，则的长是____． 【答案】或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义可得的长，则可求出的长，进而求出的长，则可求出的长，再分两种情况：点F在点C左侧和点F在点C右侧，根据线段的和差关系讨论求解即可． 【详解】解：∵点D是的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在点C左侧时，则， 当点F在点C右侧时，则， 综上所述，的长是或； 故答案为：或． ▌对点练6-3（25-26六年级上·上海黄浦·期末）如图，是线段的中点，是上一点．已知比长厘米，则____________． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】此题考查了两点间的距离，直线、线段和射线的认识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知：是线段的中点，是上一点，且比长厘米，即厘米是长度的2倍，由此用除法即可求出的长度． 【详解】解：∵是线段的中点， ∴， ∵是上一点．已知比长厘米， ∴比长厘米就是长度的倍，即（厘米）， ∴长厘米． 故答案为：． ▌对点练6-4（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知是线段的中点，点在线段上，如果，，则______． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差，掌握线段的中点的含义是解题的关键． 由题意可求，根据线段中点的定义可得，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 题型7 数轴上的两点间距离 ▌例7（24-25六年级上·上海·阶段检测）我们知道，在数轴上，点，分别表示数，，则点，之间的距离为．已知点，，，在数轴上分别表示数，，，（其中点在点的左侧），且，则线段的长度为____________． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据绝对值的几何意义得到各点间的距离，分情况讨论点的位置即可求解． 【详解】解：，且点在点的左侧， 点在与之间，，， ， ，即， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧时，． 题型8 线段作图与计算的综合 ▌例8（25-26六年级上·上海·期末）已知线段，在直线上作线段，使得，若点D是线段的中点，则线段的长为______． 【答案】 5或11 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并分情况进行计算是解决本题的关键．根据题意可分为两种情况，①点C在线段上，可计算出的长，再由D是线段的中点，即可得出答案；②在线段的延长线上，可计算出的长，再由D是线段的中点，即可得出答案． 【详解】解：根据题意分两种情况， ①如图1， ∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴； ②如图2， ∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴． ∴线段的长为5或11． 故答案为：5或11． 基础通关 1．（25-26六年级上·上海静安·期末）已知点，，在一条直线上，线段，，则，两点间的距离为_____ 【答案】10或6 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 由于点A，B，C在一条直线上，但顺序不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，；当点A在点B和点C之间时，． 【详解】解：因为点A，B，C在一条直线上，所以有两种情况： 若点B在线段上，则； 若点A在线段BC上，则． 故A，C两点间的距离为10或6． 故答案为：10或6． 2．（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知点为线段上一点，，，点、分别为线段、的中点． (1)图中共有________条线段； (2)求线段的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】线段的和与差、直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是线段的含义，线段的和差关系，线段中点的有关计算，掌握以上知识是解题的关键． （1）先确定线段上已知点的个数，再逐一确定线段的数量即可求解； （2）先求出的长，可得的长，再根据线段中点的定义可得的长，即可求解． 【详解】（1）解：图中的线段有，一共有10条线段； 故答案为：10． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点、分别为线段、的中点， ∴，， ∴． 3．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17； ②同意，理由如下 当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 【知识点】线段的和与差、直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②略 4．（25-26六年级上·上海虹口·期末）如图，点在线段上（在的左侧），若，，，那么的长是______ ． 【答案】 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，由已知可得，再根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，已知线段． (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于； (2)若点是线段的中点，点在线段上，．如果，求线段的长． 【答案】(1) 作出线段，如图所示， (2)线段的长为24或8 【知识点】作线段(尺规作图)、线段之间的数量关系、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】此题考查了线段的和差作图，线段中点的有关计算，正确掌握作线段等于已知线段的方法及线段中点的定义是解题的关键． （1）先画一条射线，依次截取，在线段上截取，即可得到所求作的线段； （2）分两种情况：当点在和之间时或当点在和之间时，分别画图求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是中点， ∴． 当点在和之间时，如图， ∵，且， ∴， ∴， ∴； 当点在和之间时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为24或8． 6．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知线段，点是线段上一点（不与，重合），在射线上截取一条线段，使的长度为线段长度的一半．如果点是的中点，那么线段与线段满足的数量关系是_____． 【答案】或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差．设，求得，分点在点的右边和点在点的左边时，两种情况讨论，分别计算即可求解． 【详解】解：当点在点的右边时，如图，设， ∵的长度为线段长度的一半， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； 当点在点的左边时，如图，设， ∵的长度为线段长度的一半， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； 综上，线段与线段满足的数量关系是或． 故答案为：或． 7．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知点在线段上，且，，、分别是、的中点． (1)填空：要求线段的长度，可进行如下计算： 解：因为是的中点，所以_____． 因为，所以． 因为是的中点，所以_____． 因为，所以_____． 所以_____． (2)如果，其他条件不变，你能猜出的长度吗？说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 因为是的中点，所以． 因为，所以． 因为是的中点，所以． 因为，所以． 所以． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段中点的性质，理解线段中点的性质，根据题干信息得到各线段之间的关系是解题的关键． （1）已知，的长度，点，分别是，的中点，则，，，即可求出的长度； （2）将第（1）问中的中的和的具体值分别换成，即可用，表示的长度． 【详解】（1）解：因为是的中点，所以． 因为，所以． 因为是的中点，所以． 因为，所以． 所以． 故答案为：． （2）略 8．（25-26六年级上·上海松江·期末）如图，已知，，且是的中点，则_______． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差运算和线段中点的性质，利用线段的和差求出的长度是解题的关键． 由求出的长度，由是的中点得即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴． 故答案为：． 9．（25-26六年级上·上海金山·期末）延长线段至点C，使，若，则的长为_______． 【答案】8 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差运算，根据与的关系求出，再根据线段和求即可． 【详解】解：如图， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：8． 素养提升 10．（25-26六年级上·上海·期末）已知在同一直线上有、、、四点，点为线段的中点，若，，则的长为________． 【答案】 24或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差关系，掌握线段的和差关系是解题关键．根据点的位置分类讨论：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时（右侧），再利用线段和差关系求解即可． 【详解】解：设，则 ． 如图1，当点在线段上时，． ∵点为的中点， ∴． 此时． 由，得，解得． ∴． 如图2，当点在线段的延长线上时（右侧），． ∵点为的中点， ∴． 此时，符合． ∴． 由，得，解得． 故． 综上，的长为或． 11．（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知线段，点C是的中点，点D是线段上一点，且的长度是长度的，那么的长是_____ ． 【答案】14 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差．先根据中点定义求和的长，再根据的长度是长度的，结合，求得的长，最后利用线段和差求的长即可． 【详解】解：如图， ∵点C是的中点，， ∴， ∵点D是线段上一点，， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：14． 12．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知线段的长度是20，点是线段的中点，点是线段上一点，并且，则线段的长度是_____________． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的中点和等分点，线段的和差计算，熟练掌握相关知识是关键． 由点是线段的中点，可得，结合，计算出的长，从而求出线段的长． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知线段、，用直尺和圆规按以下步骤画图，并回答问题； ①画射线；②在射线上顺次截取；③在线段上截取． (1)根据以上要求画出图形：根据画图，可知线段的长是_____；（用含的式子表示） (2)已知点，分别是线段，的中点，如果，求线段的长度． 【答案】(1) 所作图形如图， ； (2)． 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了作图−−复杂作图，中点的定义，两点间的距离． （1）根据作图知； （2）根据中点的定义求得，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵点，分别是线段，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图所示，已知线段和线段． (1)尺规作图：在线段上截取，使点在点的左侧；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，如果，点分别是，的中点，线段的长用含的代数式分别表示为：___________，___________ 【答案】(1) 作图如下： (2)； 【知识点】作线段(尺规作图)、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了列代数式和两点间的距离． （1）根据题意画出对应的几何图形； （2）先利用是的中点得到，再利用点是的中点得到，然后计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）如图所示：，点分别是，的中点， 由（1）可得：，， ，， ， ， ． 故答案是：；． 15．（25-26六年级上·上海宝山·期末）如图，已知点M、N在线段上，点N是的中点，，已知，则_____． 【答案】10 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的计算，根据求出，根据点N是的中点可得，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵点N是的中点， ∴， ∴． 故答案为：10． 16．（25-26六年级上·上海·期末）在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是_____． 【答案】 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】本题考查线段的和与差，根据线段的数量关系求出的长，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 迁移创新 17．（25-26六年级上·上海·期末）综合与探究 问题情境： (1)已知：M，N分别是线段的中点． ①如图1，点C在线段上，且，求线段的长． ②若C为线段上任意一点，且，则线段的长为 （用含有a、b的代数式表示）． (2)如图2，已知C，D为线段上顺次两点，M，N分别是的中点． ①若，求的长． ②若，则线段的长为 （用含有x，y的代数式表示）． 【答案】(1)①线段的长度为7.5；② (2)①；② 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． （1）①根据“点M、N分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度；②当C为线段上一点，且M，N分别是、的中点，则，进一步可得答案； （2）①由题意得，求出，再根据线段和差得到，即可求解；②同理①求解即可． 【详解】（1）解：①，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为7.5． ②∵点C为线段上一点，点，分别是线段，的中点， ，， ； 故答案为：； （2）解：①点是的中点，点是的中点， ， ， ， ∴， ； ②同理①得，， ． 故答案为：． 18．（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知线段、，且（如图） (1)用直尺和圆规画出线段，使； (2)画出线段的中点； (3)如果，，求线段的长． 【答案】(1) 如图所示： (2) 如图所示： (3) 【知识点】作线段(尺规作图)、线段中点的有关计算 【分析】此题主要考查了作图，以及线段的中点，关键是正确画出图形．结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）首先画一条射线，再以射线的端点为圆心，顺次在射线上截取，在以D为圆心，在线段上截取，线段即为所求； （2）利用刻度尺找出线段的中点即可； （3）根据a、b的长度可计算出的长，再利用线段的中点定义可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵C是线段的中点 ∴． 19．（25-26六年级上·上海青浦·期末）已知、、三点在同一直线上，点、分别是线段、的中点． (1)如图1，如果是线段上一点，当时，求线段的长； (2)如图2，如果是线段延长线上的一点，请说明． 【答案】(1)5 (2) 证明：∵点、分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 即． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的定义和线段的和差计算，熟练掌握线段中点的性质及线段和差的转化方法是解题的关键． （1）根据中点定义，将线段转化为，再利用中点性质将其表示为，进而合并为，代入计算即可． （2）根据中点定义，将线段转化为，再利用中点性质将其表示为，进而合并为，结合即可证明． 【详解】（1）解：∵点、分别是线段、的中点， ∴，， ∴； （2）证明：略． 20．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，已知线段，点是线段上一点，且的长度是的倍，点是线段的中点，那么______ 【答案】 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的中点．首先根据的长度是的倍得到和的长，然后根据中点的性质得到的长，最后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵的长度是的倍， ∴， ∵，， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $