3.1 方程与列方程（讲义，知识点&3大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的“方程与列方程”核心内容，从等式与方程的概念辨析入手，系统梳理列方程的等量关系建立方法，再到方程的解的检验，构建“概念理解-应用实践-验证反思”的完整学习支架。 资料设计突出随学随练即时巩固，题型分类系统（例+对点练），融入《儿童算术》《算法统宗》等实际情境问题，培养学生抽象能力与模型意识。课中助力教师分层教学，课后通过基础、素养、迁移练习，帮助学生查漏补缺，发展推理意识与应用能力。

第三章 一元一次方程 3.1 方程与列方程 课标要点 1.理解方程的意义，能区分等式与方程。 2.会用字母表示未知数，能根据题意找出等量关系并列出方程。 3.会将未知数的值代入方程，检验是否为方程的解。 4.体会方程是解决实际问题的有效工具。 学习重难点 重点： 1.准确找出题目中的等量关系。 2.规范设未知数并列出方程。 难点： 1.从文字叙述中抽象出等量关系。 2.从算术思维转换到方程思维。 知识点 等式与方程 1．等式：用等号把两个值__________的量或式子连接起来得到的式子称为等式。 2．方程：含有__________的__________叫作方程。在方程中，所含的未知数又称为__________。 （1）等式中必须含有等号，故不含等号的式子就不是等式； （2）方程必须是等式，并且含有未知数，两个条件须同时具备； （3）方程中可以含有多个未知数． 判断一个式子是不是方程的方法 先判断所给式子是不是等式，若不是等式，则一定不是方程；若是等式，再看有没有未知数，若有，则是方程，否则就不是方程。 随学随练 1．下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 2．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 知识点 列方程 1．列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立等量关系式，就是列方程。 2．列方程解决问题的步骤：①引入未知数；②根据题意在未知数和已知数之间建立等量关系式。 找出题目中的关键词是寻找等量关系的重点，常见的关键词有：和、差、积、商、倍、半、相反数、倒数、平方、少、多等． 随学随练 1．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 知识点 方程的解 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值__________，那么这个未知数的值叫作方程的解。 代入检验法 代入检验法是将未知数的值分别代入方程中等号的左边和右边，判断等式是否成立的方法，也是验证一个数是不是方程的解的直接方法． 判断一个数是不是方程的解的方法 把这个数分别代入方程的左边和右边，若左右两边的值相等，则该数是方程的解；反之，则不是方程的解． 随学随练 1．若是关于x的方程的解，则k的值为_______ ． 2．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 题型 判断各式是否是方程 ▌例1下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 题型 列方程 ▌例2某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-1如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程_______． ▌对点练2-2下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． ▌对点练2-3某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-4代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． ▌对点练2-5如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为______． 题型 判断是否是方程的解 ▌例3下列各数，是方程的解的是（   ） A．0 B．1 C． D． ▌对点练3-1下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2下列哪个方程的解不是（   ） A． B． C． D． ▌对点练3-3下列方程的解是的有________．（填序号）①；②；③． ▌对点练3-4代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 题型 已知方程的解，求参数 ▌例4已知是方程的解，则___________． ▌对点练4-1关于的方程与的解相同，则的值为_____． ▌对点练4-2已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则________． ▌对点练4-3若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则________． ▌对点练4-4兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． ▌对点练4-5方程被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是，这个常数是(    ) A． B．0 C．5 D．10 基础通关 某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 列方程表示“比的四分之一小的数等于与的和”：___________． 一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 写出一个解为的一元一次方程：______． 已知是关于的方程的解，则的值是________． 关于的方程的一个解是，则____________． 已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则____． 我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长，井深各几何？”其大意为：“用绳子测量井的深度，若将绳三等分，则绳比井的深度长四尺；若将绳四等分，则绳比井的深度长一尺．则绳长多少尺，井深多少尺？”若设井深为尺，则可列方程为____________． 检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 素养提升 一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（   ） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 在整式中，m、n为常数，下表是当x取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 1 4 7 则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 已知是方程的解，则_____ ． 【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 (1)某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ (2)小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 迁移创新 已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次方程 3.1 方程与列方程 课标要点 1.理解方程的意义，能区分等式与方程。 2.会用字母表示未知数，能根据题意找出等量关系并列出方程。 3.会将未知数的值代入方程，检验是否为方程的解。 4.体会方程是解决实际问题的有效工具。 学习重难点 重点： 1.准确找出题目中的等量关系。 2.规范设未知数并列出方程。 难点： 1.从文字叙述中抽象出等量关系。 2.从算术思维转换到方程思维。 知识点 等式与方程 1．等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式。 2．方程：含有未知数的等式叫作方程。在方程中，所含的未知数又称为元。 （1）等式中必须含有等号，故不含等号的式子就不是等式； （2）方程必须是等式，并且含有未知数，两个条件须同时具备； （3）方程中可以含有多个未知数． 判断一个式子是不是方程的方法 先判断所给式子是不是等式，若不是等式，则一定不是方程；若是等式，再看有没有未知数，若有，则是方程，否则就不是方程。 随学随练 1．下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 2．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 知识点 列方程 1．列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立等量关系式，就是列方程。 2．列方程解决问题的步骤：①引入未知数；②根据题意在未知数和已知数之间建立等量关系式。 找出题目中的关键词是寻找等量关系的重点，常见的关键词有：和、差、积、商、倍、半、相反数、倒数、平方、少、多等． 随学随练 1．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 2．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 知识点 方程的解 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解。 代入检验法 代入检验法是将未知数的值分别代入方程中等号的左边和右边，判断等式是否成立的方法，也是验证一个数是不是方程的解的直接方法． 判断一个数是不是方程的解的方法 把这个数分别代入方程的左边和右边，若左右两边的值相等，则该数是方程的解；反之，则不是方程的解． 随学随练 1．若是关于x的方程的解，则k的值为_______ ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出k的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得 ， 解得． 2．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 题型 判断各式是否是方程 ▌例1下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，判断式子是否为方程需同时满足两个条件，一是含有未知数，二是等式，两个条件缺一不可，据此判断各选项即可. 【详解】解：含有未知数的等式叫做方程. ∵选项A 是等式，但不含未知数，∴A不符合要求； ∵选项B 含有未知数，但不是等式，∴B不符合要求； ∵选项C 含有未知数，但不是等式，属于不等式，∴C不符合要求； ∵选项D 是含有未知数的等式，符合方程的定义，∴D符合要求. ▌对点练1-1下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即可求解． 【详解】解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误； B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误； C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误； D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确． ▌对点练1-2下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，方程需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式，据此判断各选项即可． 【详解】∵方程是含有未知数的等式，必须同时满足上述两个条件， 对选项A，是等式，但不含未知数，因此不是方程； 对选项B，含有未知数x，但不是等式，因此不是方程； 对选项C，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义； 对选项D，含有未知数，但不是等式，因此不是方程． ▌对点练1-3在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 题型 列方程 ▌例2某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了列方程，根据题意“某数的3倍比它的2倍多1”，直接转化为方程． 【详解】解：设某数为x， ∵某数的3倍比它的2倍多1， ∴比多1， ∴． 故选：D． ▌对点练2-1如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程_______． 【答案】 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故答案为：． ▌对点练2-2下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． ▌对点练2-3某工厂计划生产一批零件，如果每天生产个，则比计划晚一天完成；如果每天生产个，则比计划早一天完成．设计划生产个零件，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的工程应用问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据原计划天数每天生产个的天数每天生产个的天数，列出方程即可． 【详解】解：∵若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 若每天生产个，计划生产个零件的实际天数为：， 又∵原计划天数每天生产个的天数每天生产个的天数， ∴． 故选：B． ▌对点练2-4代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 【答案】 【分析】根据题意找出等量关系，将题目中的文字描述转化为等式，代入对应代数式即可得到方程． 【详解】解：由题意可知，代数式比代数式的值小， 可得等量关系：等于减， 因此列方程得：． ▌对点练2-5如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮， 由题意得． 故答案为：． 题型 判断是否是方程的解 ▌例3下列各数，是方程的解的是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，把各个选项中的数代入计算逐一判断即可． 【详解】解：A、把代入得左边，不符合题意； B、把代入得左边，不符合题意； C、把代入得左边，符合题意； D、把代入得左边，不符合题意； 故选：C． ▌对点练3-1下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解方程的解的定义是解题的关键．通过将代入每个方程，检查方程是否成立． 【详解】对于选项A: ∵当时，，，，∴方程不成立； 对于选项B: ∵当时，，∴方程不成立； 对于选项C: ∵当时，，∴方程成立； 对于选项D: ∵当时，，∴方程不成立． 故选：C． ▌对点练3-2下列哪个方程的解不是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解，通过将代入每个方程，验证等式是否成立，确定是否是方程的解． 【详解】解：A选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故A选项不符合题意； B选项：当时，左边，右边，左边右边，不是方程的解，故B选项符合题意； C选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故C选项不符合题意； D选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故D选项不符合题意． 故选：B． ▌对点练3-3下列方程的解是的有________．（填序号）①；②；③． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 把代入各方程验证即可． 【详解】解：①∵当时，左边，右边，左边=右边， ∴是的解； ②∵当时，左边，右边，左边右边， ∴不是的解； ③∵当时，左边，右边，左边=右边， ∴是的解． 因此，方程的解是的有①和③． 故答案为：①③． ▌对点练3-4代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 题型 已知方程的解，求参数 ▌例4已知是方程的解，则___________． 【答案】/ 【分析】将代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． ▌对点练4-1关于的方程与的解相同，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先求出第二个一元一次方程的解，再将解代入第一个方程， 即可求出的值． 【详解】解：解方程， 移项得，， 系数化为，得 ， ∵两个方程的解相同， ∴把代入得， 整理，得， 移项，得， 系数化为，得． ▌对点练4-2已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．先表示出两方程的解，由两方程的解互为相反数，求出m的值． 【详解】解方程 解得， 解方程 解得 依题意 解得： 故答案为：． ▌对点练4-3若方程的解与关于x的方程的解互为倒数，则________． 【答案】5 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义．求出的解，根据方程的解与关于x的方程的解互为倒数，进而求出的解为，代入方程即可的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程的解与关于x的方程的解互为倒数，且的倒数为， ∴方程的解为， ∴， ∴． 故答案为：． ▌对点练4-4兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 【详解】解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． ▌对点练4-5方程被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是，这个常数是(    ) A． B．0 C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将代入方程计算可求解这个常数，理解一元一次方程解的概念是解题的关键． 【详解】解：设被阴影盖住的常数为， 将代入原方程，得， 解得： 故选：A． 基础通关 某小组计划做一批中国结，如果每人做6个，那么比计划多做了9个，如果每人做4个，那么比计划少做了7个．设计划做x个“中国结”，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是从实际问题中抽象出一元一次方程．设计划做x个“中国结”，根据人数不变列出方程即可． 【详解】解：设计划做x个“中国结”， 由题意得，， 故选：A． 列方程表示“比的四分之一小的数等于与的和”：___________． 【答案】 【分析】本题考查了列方程，正确理解语句的意义是解题的关键．根据题意，“比的四分之一小的数”表示为，“与的和”表示为 ，两者相等故列方程即可． 【详解】解：比的四分之一小的数为，与的和为， 可列方程． 故答案为：． 一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意，数的相反数为，加上的即，由此列方程即可． 【详解】解：数的相反数是，这个数的是g， 根据题意可得． 故答案为：． 写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 已知是关于的方程的解，则的值是________． 【答案】4 【分析】根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值； 【详解】解：将代入方程， 得：， 整理得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 先解方程得到，由于两方程解互为相反数，故第一个方程的解为，代入第一个方程求解． 【详解】解：解方程，得； ∵ 两方程的解互为相反数， ∴ 方程的解为， 将代入方程，得， 即， 移项得， 即 ， 解得． 故答案为：1． 我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长，井深各几何？”其大意为：“用绳子测量井的深度，若将绳三等分，则绳比井的深度长四尺；若将绳四等分，则绳比井的深度长一尺．则绳长多少尺，井深多少尺？”若设井深为尺，则可列方程为____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三等分，则绳比井的深度长四尺；②将绳四等分，则绳比井的深度长一尺． 【详解】解：∵如果将绳子折成三等分，那么每等份井外余绳四尺， ∴绳长为尺； ∵如果将绳子折成四等分，那么每等份井外余绳一尺， ∴绳长尺； ∴根据题意可列出方程：． 检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是该方程的解，是该方程的解； (2)是该方程的解，不是该方程的解 【详解】（1）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； （2）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解． 素养提升 一件商品，按标价八折销售盈利20元，按标价六折销售亏损10元，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（   ） A．商品的利润不变 B．商品的售价不变 C．商品的成本不变 D．商品的销售量不变 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，元表示八折销售时的成本，元表示六折销售时的成本，依据成本不变列出方程. 【详解】解：设标价为x元，则按八折销售成本为元，按六折销售成本为元， ∵成本不变， ∴. 故选：C 在整式中，m、n为常数，下表是当x取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 1 4 7 则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的概念，观察表格的数据是解决本题的关键． 根据表格数据，直接找到当整式的值为4时对应的值即可． 【详解】由表格可知，当时，整式的值为4， 因此方程的解为． 故选：B． 已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，绝对值的性质，掌握好相关知识是关键． 先根据绝对值的性质求出的值，再将代入原方程求出的值，最后计算即可. 【详解】解：∵， ∴，即， 将代入方程，得， ， 解得， ∴． 故选：B． 解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 已知关于x的方程有无数多个解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】利用方程有无数多个解，可得，的值，即可求出的值． 【详解】解：， 整理得，即， 方程有无数多个解， ∴，， 解得，， ∴． 已知是方程的解，则_____ ． 【答案】4 【分析】本题考查方程的解的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据方程的解的定义，将代入原方程求出的值，再利用绝对值的性质计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 (1)某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ (2)小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 【答案】(1) 117 (2) 20 【分析】本题主要考查了方程的应用． 对于（1），根据目标心率等于最大心率乘以计算； 对于（2），设他的年龄为x岁，根据题意列出方程，求出解． 【详解】（1）解：（次/分钟）， 所以，她的目标心率为117次/分钟； （2）解：设他的年龄为x岁，根据题意，得 ， ， ， 所以，他的年龄是20岁． 迁移创新 已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】 17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $