第11讲 角（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版五四制六年级数学上册满分全攻略备考系列

第11讲 角（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.角的概念 2.角的比较与运算 3.角的和、差关系 4.角平分线 5.角平分线的画法 6.余角和补角 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、角的单位与角度制 五、角度的四则运算 六、角的度数大小比较 七、钟面角 八、方向角的表示 九、与方向角有关的计算题 十、几何图形中角度计算问题 十一、三角板中角度计算问题 十二、角平分线的有关计算 十三、求一个角的余角 十四、求一个角的补角 十五、与余角、补角有关的计算 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（12） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点归纳： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点2.角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点4.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点5.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 知识点6.余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．如图，已知四个点A、B、C、D和∠MON的位置关系，那么下列说法中，错误的是（    ） A．点A在∠MON的外部 B．点B在∠MON的外部 C．点C在∠MON的内部 D．点D在∠MON的内部 2．在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角…照此规律，画9条不同的射线，可以画出 个锐角． 题型二、角的表示方法 3．（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 4．如图，用数字表示为 ，用三个字母表示为    题型三、角的分类 5．下列说法正确的是（    ）． A．大于且小于的角是锐角 B．大于的角是钝角 C．大于且小于的角是锐角或钝角 D．直角既是锐角也是钝角 6．周角= 平角= 直角． 题型四、角的单位与角度制 7．若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23六年级·上海宝山·期末）如果是一个18度的角，那么在10倍的放大镜下是 度． 9．按要求表示下列各角： (1)把转化为用度、分、秒表示的形式； (2)把转化为用度表示的形式． 题型五、角度的四则运算 10．已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六、角的度数大小比较 13．若，，，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 题型七、钟面角 15．如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 16．每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 17．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 题型八、方向角的表示 18．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，点表示人民广场，点表示真如镇，那么射线表示的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．西偏北 19．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知、两个城市的位置如图所示．那么城在城的 方向． 20．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，请指出射线的方向 ． 21．在平面图上标出各建筑物的位置． (1)超市在百货大楼的正北方向米处； (2)医院在百货大楼北偏西度方向米处． 题型九、与方向角有关的计算题 22．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 23．（24-25六年级上·上海·期末）地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么   题型十、几何图形中角度计算问题 24．如图．，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 25．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知，，，则的度数是 ． 26．已知在同一平面内，，求的度数．（要求先画出图形，再求解） 题型十一、三角板中角度计算问题 27．（24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 28．用一副直角三角尺（一把直角尺和一把直角尺）可以在纸上画出的最大钝角是 ． 题型十二、角平分线的有关计算 29．（22-23六年级·上海浦东新·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 30．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，从岛看、两岛的视角，如果射线平分，则是 度； 31．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 题型十三、求一个角的余角 32．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 33．（24-25六年级上·上海·期末）若，则的余角为 ． 题型十四、求一个角的补角 34．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 36．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 题型十五、与余角、补角有关的计算 37．下列说法正确的是（    ）． A．两个相等的角不可能互余 B．一个角的余角一定比这个角大 C．一个角的补角一定比这个角大 D．一个锐角的补角一定比这个角的余角大 38．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 39．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 分层强化 一、单选题 1．若，则的余角的大小是（    ） A． B． C． D． 2．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 4．小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 5．如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，则∠BOC＝（    ） A．5° B．10° C．15° D．20° 7．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数全部正确的（    ） A．       B．       C．       D．       8．如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 二、填空题 9．，则的余角的大小为 ． 10．若，则的补角为 ． 11．若，则 ． 12．如图，直线与相交于点，．是的平分线，则的度数为 ． 13．如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 14．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 15．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角的直角顶点重合，， ． 16．如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    17．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 18．如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 19．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 20．如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 三、解答题 21．已知，求的余角和补角． 22．如图，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=38°19′，求∠AOD的度数． 23．如图，当时钟指向时，钟面上时针与分针的夹角是多少度． 24．如图，OB是的平分线，OD是的平分线． (1)若，，那么是多少度？ (2)若，，那么是多少度？ 25．如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线． (1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数； (2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数． 26．如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 27．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由． (2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果） (3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 角（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.角的概念 2.角的比较与运算 3.角的和、差关系 4.角平分线 5.角平分线的画法 6.余角和补角 题型巩固 一、角的概念理解 二、角的表示方法 三、角的分类 四、角的单位与角度制 五、角度的四则运算 六、角的度数大小比较 七、钟面角 八、方向角的表示 九、与方向角有关的计算题 十、几何图形中角度计算问题 十一、三角板中角度计算问题 十二、角平分线的有关计算 十三、求一个角的余角 十四、求一个角的补角 十五、与余角、补角有关的计算 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（12） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点归纳： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点2.角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点4.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点5.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 知识点6.余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型巩固 题型一、角的概念理解 1．如图，已知四个点A、B、C、D和∠MON的位置关系，那么下列说法中，错误的是（    ） A．点A在∠MON的外部 B．点B在∠MON的外部 C．点C在∠MON的内部 D．点D在∠MON的内部 【答案】B 【知识点】角的概念理解 【分析】根据角的概念和点与角的位置关系分别对每一项进行分析即可． 【详解】A选项：点A在∠MON的外部，正确； B选项：因为点B在∠MON上，不是在∠MON的外部，所以本选项错误； C选项：点C在∠MON的内部，正确； D选项：点D在∠MON的内部，正确． 故选B． 【点睛】此题考查了角的概念，掌握点与角的位置关系是解题的关键． 2．在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角…照此规律，画9条不同的射线，可以画出 个锐角． 【答案】55 【知识点】角的概念理解 【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画1条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画2条射线，可得个锐角， 在锐角内部，画3条射线，可得个锐角， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ∴画9条不同的射线，可得锐角 故答案为：55． 【点睛】考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律，从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 题型二、角的表示方法 3．（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； B、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； D、图中的，不能用表示，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，用数字表示为 ，用三个字母表示为    【答案】 【知识点】角的表示方法 【分析】根据角的表示方法可得答案． 【详解】解：用数字表示为，用三个字母表示为， 故答案为：， 【点睛】本题考查的是角的表示方法，掌握角的表示方法是解本题的关键． 题型三、角的分类 5．下列说法正确的是（    ）． A．大于且小于的角是锐角 B．大于的角是钝角 C．大于且小于的角是锐角或钝角 D．直角既是锐角也是钝角 【答案】A 【知识点】角的分类 【分析】根据锐角、直角、钝角的概念逐个判断即可． 【详解】解：A、大于且小于的角是锐角，故A选项正确； B、大于且小于的角是钝角，故B选项错误； C、大于且小于的角是锐角、直角或钝角，故C选项错误； D、直角既不是锐角也不是钝角，故D选项错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角、直角、钝角的概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 6．周角= 平角= 直角． 【答案】 /0.5 1 【知识点】角的分类 【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，据此即可求解． 【详解】解：1周角度，1平角度，1直角度， ∴周角平角直角， 故答案为：，1． 【点睛】本题主要考查周角和平角．直角的定义，是需要熟记的内容 题型四、角的单位与角度制 7．若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角的单位与角度制 【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，掌握，是关键． 8．（22-23六年级·上海宝山·期末）如果是一个18度的角，那么在10倍的放大镜下是 度． 【答案】18 【知识点】角的单位与角度制 【分析】放大镜只能改变线段的大小，无法改变角的大小，计算即可． 【详解】在10倍的放大镜下是18度， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角的大小比较，熟练掌握角的大小比较的实质是解题的关键． 9．按要求表示下列各角： (1)把转化为用度、分、秒表示的形式； (2)把转化为用度表示的形式． 【答案】(1) (2) 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题主要考查了角度制换算，解题关键是熟练运用度、分、秒的关系． （1）利用度、分、秒的关系，从度向分、秒方向逐步转化； （2）利用度、分、秒的关系，从分、秒向度方向逐步转化． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型五、角度的四则运算 10．已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角度的四则运算 【分析】此题考查了角度的计算，用三个角的和乘以所占比例即可求出的度数． 【详解】∵，且三个角的和为， ∴． 故选：A． 11．（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可 【详解】解：， 故答案为：． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位； （4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六、角的度数大小比较 13．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的度数大小比较 【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论． 【详解】∵，，=25°， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键． 14．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题考查了角度的换算与比较，掌握角度的换算方法是解题的关键． 根据，将换算成以度为单位的角，再与比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 题型七、钟面角 15．如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键． 6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为进行求解即可． 【详解】解：， 6点20分，时针和分针中间相差个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：C． 16．每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹角（小于平角）的度数为 ． 【答案】/165度 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，钟面上一大格是30度，中午11点30分时，时针在11和12中间，分针指向6，时针与分针所夹角（小于平角）占5.5个大格，由此可解． 【详解】解：， 时针与分针所夹角（小于平角）的度数为， 故答案为：． 17．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】（1）；；；；（2）时针每经过1小时，转过，分针每分钟转过；（3） 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 【详解】解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 题型八、方向角的表示 18．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，点表示人民广场，点表示真如镇，那么射线表示的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．西偏北 【答案】A 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角的应用，运用数形结合思想，读取图形的信息，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∴射线表示的方向是北偏西， 故选：A． 19．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知、两个城市的位置如图所示．那么城在城的 方向． 【答案】北偏东 【知识点】方向角的表示 【分析】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键． 【详解】解：， 城在城的北偏东 方向， 故答案为：北偏东． 20．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，请指出射线的方向 ． 【答案】南偏西 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方位角，根据图象结合方位角的表示方法即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：射线的方向为南偏西， 故答案为：南偏西． 21．在平面图上标出各建筑物的位置． (1)超市在百货大楼的正北方向米处； (2)医院在百货大楼北偏西度方向米处． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了位置与方向．熟练掌握位置与方向是解题的关键． （1）（2）根据位置与方向作图即可． 【详解】（1）解：如图1，超市即为所作； （2）解：如图1，医院即为所作． 题型九、与方向角有关的计算题 22．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方位角，根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：过点作的平行线，交延长线于点 观察可知， ， ， 与平行 ， ， 灯塔在灯塔北偏西． 故选：B． 23．（24-25六年级上·上海·期末）地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么 【答案】/110度 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差关系是正确解答的关键． 根据方向角的定义与角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，． 故答案为：．    题型十、几何图形中角度计算问题 24．如图．，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选D． 25．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知，，，则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，分和两种情况考虑是解题的关键． 分在中和在中两种情况考虑，当在中时，由可求出的度数，结合即可求出的度数；当在中时，由可求出的度数，结合即可求出的度数． 【详解】解：当在中时，如图1所示， ∵， ∴； 当在中时，如图2所示， ∵， ∴． 故答案为：或． 26．已知在同一平面内，，求的度数．（要求先画出图形，再求解） 【答案】见解析，的度数是或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】根据题意画出图形，分两种情况考虑：①当在内部时；②当在外部时，分别求出的度数即可． 【详解】解：当在内部时，如图①所示．    因为， 所以； 当在外部时，如图②所示．    因为， 所以． 故的度数是或． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是根据题意画出图形，注意本题有两种情况，不要漏解． 题型十一、三角板中角度计算问题 27．（24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：依题意，一副三角板中的角度有、、、， A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不能画出的角度，故选项C符合题意， D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 28．用一副直角三角尺（一把直角尺和一把直角尺）可以在纸上画出的最大钝角是 ． 【答案】150 【知识点】角的分类、三角板中角度计算问题 【分析】首先我们找到这一副三角板的度数，一把为：、、，一把为：、、.从两幅中任意各选一个度数进行组合，找到最大的钝角即可解题． 【详解】因为； ； ； ； ； 所以用一副三角尺可以拼出105度，120度，135度，150度的钝角，其中最大是150度的钝角． 故答案为：． 【点睛】本题考查了钝角的概念，注意钝角是大于小于的角，熟悉三角板的度数也是解题的关键． 题型十二、角平分线的有关计算 29．（22-23六年级·上海浦东新·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线的定义求出即可解答． 【详解】解：平分， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟记概念与性质并准确识图是关键． 30．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，从岛看、两岛的视角，如果射线平分，则是 度； 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查方位角的概念、平行线的性质以及角平分线的定义来求解角度．先根据方位角求出相关角度，再利用平行线性质得到角的关系，进而求出的度数，最后依据角平分线的定义得出的度数． 【详解】解：过点作，则， ∵岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴. 故答案为：． 31．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 题型十三、求一个角的余角 32．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：C． 33．（24-25六年级上·上海·期末）若，则的余角为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的定义，根据互余两角之和为求解即可． 【详解】解：， 的余角为， 故答案为：． 题型十四、求一个角的补角 34．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查的是补角，掌握互为补角的两角之和为度是关键． 【详解】解：的补角为：， 故选：B． 35．（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 【答案】/ 【知识点】角度的四则运算、求一个角的补角 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，解题的关键是熟练掌握互为补角的两个角和为． 【详解】解：， 即的补角的度数为． 故答案为：． 36．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【知识点】与方向角有关的计算题、求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 题型十五、与余角、补角有关的计算 37．下列说法正确的是（    ）． A．两个相等的角不可能互余 B．一个角的余角一定比这个角大 C．一个角的补角一定比这个角大 D．一个锐角的补角一定比这个角的余角大 【答案】D 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据余角的定义（和为的两个角互为余角）与补角的定义（和为的两个角互为补角）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个大小均为的角互余，则此项说法错误，不符题意； B、一个角的余角不一定比这个角大，如角的余角为，则此项说法错误，不符题意； C、一个角的补角不一定比这个角大，如角的补角为，则此项说法错误，不符题意； D、设一个锐角的度数为，则它的补角为，余角为， 因为， 所以， 所以一个锐角的补角一定比这个角的余角大，此项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了余角与补角，熟记定义是解题关键． 38．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 【答案】45 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角，根据补角的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 39．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可； （2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论； （3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵与互补， ∴ ∵ ∴ 解得，， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵是的平分线， ∴ 又 ∵ ∴； （3）解：∵且 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵与互余， ∴ ∴ ①若在内部时，如图， 则； ②若在外部时，如图， 则； 综上，或． 分层强化 一、单选题 1．若，则的余角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的定义，解答本题的关键是熟练掌握余角的定义．根据余角定义列式求解即可，“如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角”． 【详解】解：∵， ∴它的余角为：． 故选：B． 2．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【答案】D 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键． 根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，如果两条射线的端点不同，这样的两条射线组成的图形不一定是角，故A错误； 对于B，角的两条边是射线，只能反向延长，故错误； 对于C，角应该有一个顶点，由两条射线组成，不正确； 对于D，反向延长射线，成为平角的顶点，得到一个以为顶点的平角，故正确． 故选：D． 4．小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角的有关计算，根据题意，得到小明向左转，即逆时针转，进行求解即可． 【详解】解：由题意，小明向左转，即逆时针转， 故左转后，他面向的是北偏西； 故选：D． 5．如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，则∠BOC＝（    ） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】C 【分析】利用角平分线得到∠AOB=∠BOD=2∠BOC，利用角的和差求得∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC，即可求出∠BOC． 【详解】解：∵OC平分∠BOD， ∴∠BOD=2∠BOC， ∵OB平分∠AOD， ∴∠AOB=∠BOD=2∠BOC， ∵∠AOC=45°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC=45°， ∴∠BOC=∠AOC=15°， 故选：C． 【点睛】此题是角平分线的定义，解本题的关键是找到角与角之间的关系，也可以方程的思想解决本题． 7．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数全部正确的（    ） A．       B．       C．       D．       【答案】C 【分析】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当与边的夹角为时， ①当在下方时， ∵，， ∴； ∵， ∴， ②当在上方时， ∵，，， ∴； （2）当与边的夹角为时， ①当在下方时， ∵，， ∴， ∴， ②当在上方时， ∵，， ∴， 综上：另一条直角边与边的夹角可能是，，，， 故选：C． 8．如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①，②，③，④，⑤，正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②⑤ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的有关计算，根据互余的两角之和为，再分别代入计算即可． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∴表示的补角的式子：①，故正确； ②，故正确； ③，故错误； ④，故错误； ⑤，故正确； ∴符合题意的有①②⑤， 故选：C． 二、填空题 9．，则的余角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据互为余角的两个角的和为90度即可得出答案． 【详解】解：的余角的大小为． 故答案为： 【点睛】本题考查两角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．熟记定义是解答本题的关键． 10．若，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，角度的单位．根据互补两角之和为180度，，求解即可． 【详解】解：的补角为：， 故答案为：． 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的转换及运算，进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．如图，直线与相交于点，．是的平分线，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，是的平分线， ， 故答案为：． 13．如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了角平分线的性质、邻补角的定义，解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握性质、定义．根据角平分线的性质，得到，，再根据题意和邻补角互补，即可算出结果． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 【答案】3 【分析】本题考查了余角，补角的定义，根据余角，补角的定义逐项判断即可求． 【详解】解：∵， ∴是的余角，故①正确； ∵和互补， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误，不合题意； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：3 15．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角的直角顶点重合，， ． 【答案】58 【分析】根据∠BAC=，，求出∠EAC的度数，由∠DAE=，根据∠2=∠DAE-∠EAC求出结果． 【详解】∵∠BAC=，， ∴∠EAC=∠BAC-∠1=， ∵∠DAE=， ∴∠2=∠DAE-∠EAC=， 故答案为：58 ． 【点睛】此题考查三角板角度计算，掌握各角度之间的位置关系及三角板各角的度数是解题的关键． 16．如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的运算，设，，所以，由角平分线定义可得，则，然后求出的值即可，利用方程思想解决角度计算是解题的关键． 【详解】解：∵与的度数比为， ∴设，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 17．比较大小：，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，，先统一单位，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴． 故答案为：． 18．如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 19．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解． 【详解】∵射线、分别经过刻度117和153 ∴ 把绕点逆时针方向旋转到，得 ∵， ∴，即①正确； ∵射线经过刻度27 ∵ ∴射线经过刻度为： ∴ ∴ ∴，即②正确； ∵，且 ∴ ∴ ∴射线经过刻度为：，即③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解． 20．如图①是一张正方形纸片，先将它对折，使得与重合，折痕是，再把这张正方形纸片展平，如图②所示，若点是线段上一点，然后沿着线段折叠，将线段折到的内部得线段，如图③所示．当时，的度数为 ．（用含的代数式表示，结果可以不化简） 【答案】 【分析】本题考查折叠中的角度计算，根据折叠两重合的角度相等求解即可． 【详解】解：由正方形可得 第一次折叠可得， ∴， ∴， ∴由第二次折叠可得， ∴ 故答案为：． 三、解答题 21．已知，求的余角和补角． 【答案】的余角为；的补角为 【分析】本题考查了余角和补角的概念，角度做减法时借位规则是解题的关键．用分别减去即可求解． 【详解】解：的余角； 的补角． 22．如图，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=38°19′，求∠AOD的度数． 【答案】141°41′ 【分析】利用角的和差关系计算，先求得∠COD=51°41′，再由∠AOD=∠AOC+∠COD即可求解． 【详解】解：∵∠BOD=90°，∠BOC=38°19′ ∴∠COD=∠BOD-∠BOC=51°41′ ∵∠AOC=90° ∴∠AOD=∠AOC+∠COD=141°41′ 答：∠AOD的度数为141°41′． 【点睛】本题主要考查了余角，正确得出∠COD的度数是解题关键． 23．如图，当时钟指向时，钟面上时针与分针的夹角是多少度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据每个大格代表，当时钟指向时，包含了个大格，由此计算即可得解，熟练掌握钟面角的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时钟指向时，钟面上时针与分针的夹角是． 24．如图，OB是的平分线，OD是的平分线． (1)若，，那么是多少度？ (2)若，，那么是多少度？ 【答案】(1)50° (2)35° 【详解】解：（1）OB是的平分线， ∴； ∵OD是的平分线， ∴， ∴； （2）OB是的平分线， ∴， ∴， ∵OD是的平分线， ∴． 25．如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线． (1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数； (2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数． 【答案】(1)50° (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠AOM，∠NOC＝∠BON，再根据∠MON＝∠MOC＋∠NOC即可求出∠MON的度数； （2）根据角平分线性质可知∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，再根据∠MON＝∠MOC＋∠NOC即可计算∠MON的度数． 【详解】（1）解：根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠AOM＝20°，∠NOC＝∠BON＝30°， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝20°+30°＝50°， 即∠MON的度数为50°； （2）解：根据角平分线性质可知∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC， ∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB， ∵∠AOB＝α， ∴∠MON＝α． 【点睛】本题主要考查角的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 26．如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答； （2）因为为直角，即，因为平分，所以，即可得n的值； （3）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵为直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由． (2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果） (3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？ 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)10或40 (3)30° 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠BON＝30°，即旋转60°或240°时ON平分∠AOC，据此求解； （3）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可． 【详解】（1）解：（1）直线ON平分∠AOC．理由： 设ON的反向延长线为OD， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB， 又∵OM⊥ON， ∴∠MOD＝∠MON＝90°， ∴∠COD＝∠BON， 又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等）， ∴∠COD＝∠AOD， ∴OD平分∠AOC， 即直线ON平分∠AOC； （2）解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分， 即旋转60°时，ON平分∠AOC， 再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC， 由题意得，6n＝60°或6n＝240°， ∴n＝10或40； 故答案为：10或40； （3）解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON， ∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $