4.2角（讲义，知识点&3大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册
|
2份
|
67页
|
40人阅读
|
0人下载
精品
内容正文：
第四章
线段与角
4.2 角
课标要点
1.理解角的概念，掌握角的四种表示方法，能识别平角与周角.
2.理解角度制，会进行度、分、秒之间的换算，会用量角器比较角的大小.
3.会用量角器和尺规画相等的角及角的和、差，理解角平分线的意义.
4.理解余角、补角的概念与性质，能结合方位角进行简单的计算与作图.
思维导图
知识点1 角的概念
1.角的两种概念
（1）（静态）具有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，如图①．
（2）（动态）角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫作角的始边，终止时的射线叫作角的终边，如图②．
（1）角的动态概念中，旋转的方向可以是顺时针，也可以是逆时针；
（2）构成角的两个要素是顶点和两边，且两边都是射线，而不是线段；
（3）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边的射线张开的幅度有关．张开的幅度越大，角越大．
2.角的内部和外部
射线从初始位置转动到终止位置所经过的部分称为角的内部．通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示，如图所示．涂色部分是角的外部．
3.平角与周角
（1）平角：一条射线OA由初始位置绕着它的端点O旋转到终止位置，得到射线OB．如图①，当射线OB和射线OA呈一条直线时，所成的角叫作平角．
（2）周角：如图②，当射线OB与射线OA重合时，所成的角叫作周角．
平角和周角都是“角”，而不是“线”：平角的始边和终边互为反向延长线，周角的终边和始边重合．因此不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角”．
随学随练
1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列正确的个数为（ ）
①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了角的定义及性质，线段的性质，紧扣角的定义和线段的性质即可作答．
【详解】解：（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故①错误；
（2）角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形，故②正确；
（3）两条射线，它们的端点重合时，可以形成角，故③正确；
（4）角的大小与边的长短无关，故④错误；
（5）线段上有无数个点，故⑤正确；
（6）两点之间线段最短，故⑥正确；
正确的个数为4个，
故选：C．
知识点2 角的表示方法
角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体有四种表示方法．
（1）用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作，其中O为角的顶点，A、B分别为角的两边上的点，“∠”是角的符号．
（2）在一个顶点处只有一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示，记作，如图②所示．
（3）用小写希腊字母表示，记作，如图③所示．
（4）用数字表示单独的一个角，记作，如图④所示．
（1）用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；
（2）在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示；
（3）用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角；
（4）用小写希腊字母或数字表示单独的角时，必须在角的顶点处画弧线，并标上希腊字母或数字．
当一个顶点处有多个角时，不能用表示顶点的一个大写字母表示角，必须用三个大写字母（顶点字母写在中间）或数字、希腊字母表示，且用数字、希腊字母表示时必须在图上画出弧线并标注清楚．
随学随练
1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．
2．如图，点A，O，B在一条直线上，∠COD是直角，则图中∠AOC的大小不能表示为（ ）
A．∠BOD B．180°﹣∠BOC C．∠AOD﹣90° D．90°﹣∠1
【答案】A
【分析】根据图形进行判断，即可求解．
【解答】解：根据题意可知，∠AOC＝180°﹣∠BOC，∠1+∠AOC＝90°，∠AOC+∠COD＝∠AOD，
∴∠AOC＝90°﹣∠1，∠AOC＝∠AOD﹣90°，
而∠AOC＝∠1不一定成立，故∠AOC的大小不能表示为∠BOD．
故选：A．
【点评】本题考查了角的概念，掌握角的概念是关键．
知识点3 角度制及换算
角的度量单位：
把周角分成360等份，取一份作为一个单位，称为一度，记作；
把分成60等份，每一份是一分，记作；
把分成60等份，每一份是一秒，记作．
角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制叫作角度制．
角度制的换算：
，；
1周角，1周角平角直角；
1平角，1平角直角；
1直角．
（1）可以借助量角器量取两个角的度数，比较两个角的大小；
（2）与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是60进制的；
（3）角同线段一样，可以度量，可以比较大小，也可以参与运算；
（4）度、分、秒的相互转化：低级单位化高级单位要除以进率60，高级单位化低级单位要乘进率60．
角的换算方法：将度化为度、分、秒的形式，从左往右依次进行，整数度保持不变，先把不满1度的小数部分乘60化为分，再把化成分的小数部分乘60化为秒；将度、分、秒的形式化为度的形式，从右往左依次进行，先把秒除以60化成分，再并入分，最后把分化为度的小数部分．如，．
随学随练
1．用度、分、秒表示35.32°＝ 度 分 秒．
【答案】35；19；12
【分析】进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．1°＝60′，1′＝60″．
【解答】解：35.32°＝35°+0.32×60′＝35°+19.2′＝35°+19′+0.2×60″＝35°19′12″．
故答案为：35°19′12″．
【点评】本题主要考查了度分秒的换算，相对比较简单，注意以60为进制，熟记1°＝60′，1′＝60″．
2．计算：
（1）153°19′42″+26°40′28″；
（2）90°3″﹣57°21′44″；
（3）33°15′16″×5；
（4）75°÷4（结果用“°′”表示）．
【答案】（1）180°0′10″；
（2）32°38′19″；
（3）166°16′20″；
（4）18°45′．
【分析】（1）将度、分、秒分别相加，再按照60进制的原则进行进位处理；
（2）将度、分、秒分别相减，若分或秒不够减，则按照60进制的原则向高位借位；
（3）将角度的度、分、秒分别与整数相乘，再按照60进制的原则进行进位处理；
（4）将角度的度除以整数，得到的商作为度的结果，余数换算为分后再继续除以整数，若还有余数则进一步换算为秒后再除以整数，或者将角度的度、分、秒分别除以整数，对余数部分进行适当的单位换算和进位处理．
【解答】解：（1）原式＝（153+26）°（19+40）′（42+28）″
＝179°59′70″
＝179°60′10″
＝180°0′10″；
（2）原式＝89°59′63″﹣57°21′44″
＝（89﹣57）°（59﹣21）′（63﹣44）″
＝32°38′19″；
（3）原式＝（33×5）°（15×5）′（16×5）″
＝165°75′80″
＝166°16′20″；
（4）原式＝（75×60）′÷4
＝4500′÷4
＝1125′
＝18°45′．
【点评】本题主要考查了度分秒的运算，熟练掌握角度的60进制换算以及四则运算的规则是解题的关键．
知识点4 角的比较
角的大小比较一般有两种方法：
（1）度量法：用量角器量出角的度数，通过比较度数的大小来比较角的大小．
用量角器度量角的方法：①对中：将量角器的中心点与角的顶点重合；②对线：将量角器的刻度线与角的一边重合；③读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数．
（2）叠合法：移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边重合，两个角的另一条边都落在重合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边”的位置情况，以比较其大小．
如图所示，比较和的大小．先让顶点O与顶点E重合，再让边OA与边EC重合，并且使另一边OB、ED在边OA的同侧：如果边OB与边ED重合，则表示这两个角相等，记作；如果边ED落在的外部，则表示小于，记作；如果边ED落在的内部，则表示大于，记作．
角的大小与边的长短无关，“开口”大的角就大，估计角的大小要从角的“开口”大小来比较．叠合法与线段的叠合法一脉相承：先让顶点与顶点、一边与一边重合，再强调另一条边落在同侧，最后看另一条边的位置定大小．
随学随练
1．（25-26六年级上·上海·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可得答案．
【详解】解：一副三角尺的角有、、、，
A．，可以画出，不符合题意；
B．不能由这些角的和或差求出，不能画出，符合题意；
C．可利用三角尺直接画出，不符合题意；
D．，可以画出，不符合题意；
故选：B．
知识点5 画相等的角
1.度量法：先量出已知角的角度，再画出相同度数的角．
用量角器画角的方法：
（1）画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，刻度线和射线重合；
（2）根据所画角的度数，在量角器相应刻度线的地方点一个点；
（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线．
2.尺规法：以已知角的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交已知角的两边于点E、F；再以射线的端点为圆心、同样的长为半径画弧，交射线于点M；以点M为圆心、EF的长为半径画弧，与前弧相交于点N；过点N作射线，则所作的角等于已知角．
度量法与尺规法的依据都是叠合法——把“相等”转化为“处处重合”．尺规法本质是用弧把角的两边之间的“开口距离”EF原样转移过去：半径相同保证弧能重合，截取EF保证开口相同．画图后要保留作图痕迹，并说明所作的是哪一个角．
知识点6 方位角
1.方位角：在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，用角度来描述物体运动的方向．如图，射线OA的方向是北偏东，射线OB的方向是南偏西，这里的“北偏东”“南偏西”是用来表示方向的角，叫作方位角．方位角通常先写北或南，再写偏东或偏西．
2.方位角的特殊情形：东北方向表示北偏东；西北方向表示北偏西；东南方向表示南偏东；西南方向表示南偏西．
利用方位角确定点的位置有两种方法：（1）利用方位角和观测点到点的距离来确定；（2）利用两个方位角来确定，即找到两个合适的观测点，按指定的方位角画出射线，两条射线的交点即为所要确定的点的位置．画方位角时，先过观测点画出南北方向线（与东西方向垂直），再以正北或正南方向为始边，向东或向西旋转相应的角度．
随学随练
1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，射线表示的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北
【答案】A
【分析】本题考查了方向角的概念，根据方向角的概念，射线表示的方向是北偏东，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据方向角的概念，射线表示的方向是北偏东，
故选：．
知识点7 画角的和、差
1.角的和、差的概念：如果一个角的度数等于另外两个角的度数之和（或差），那么称这个角就是另外两个角的和（或差）．
2.角的两种常用的画法：
方法一：用一副三角尺可以直接画出、、、的角，利用角的和、差意义，也可以画出、等角．
方法二：先用量角器分别量出两角的度数，计算两角的度数的和或差后，再利用量角器画角．
3.一个角的几倍及几分之一：如果是n个的和，那么我们就说是的n倍或是的n分之一，记作或．
解决角的和、差计算问题的关键是明确两角之间的关系，重点是看一个角是在另一个角的内部还是外部，两个角是否有公共边．画时，把画在的外部（“外加”）；画时，把画在的内部（“内减”），与线段的“右加左减”道理相同．
随学随练
1．（25-26六年级上·上海宝山·期末）已知分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为______．
【答案】
【分析】本题考查了与角平分线有关计算，几何图形的角度运算，先根据是的角平分线，得，故，又因为是的角平分线，得，最后把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，是的角平分线．
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
知识点8 角的平分线
1.概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线．如图所示，OC是的平分线，这时，或．
2.画已知角的平分线：
（1）利用量角器画图：量一算一画；
（2）利用直尺和圆规作图．
计算角度时，首先要观察图形，确定几个角之间的和、差关系，有角平分线时注意角平分线概念的运用．
角平分线的三种常见用法：
①已知，求；
②已知，求；
③已知且射线OC在内部，说明OC是的平分线．
当图形中存在多条角平分线时，先分清谁是谁的平分线，再用“一半”或“2倍”把各角串起来．
知识点9 余角、补角
1.概念：
（1）余角的概念：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角称为另一个角的余角．
（2）补角的概念：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角称为另一个角的补角．
2.性质：
（1）余角的性质：同角（或等角）的余角相等．
（2）补角的性质：同角（或等角）的补角相等．
余角、补角是指两个角之间的关系，是相互的，我们不能单独说哪一个角是余角、哪一个角是补角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关；余角、补角的性质（同角或等角的余角相等、补角相等）是证明两角相等的常用方法．
随学随练
1．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键．
根据余角的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
∴，，，
∴，，
∴，
综上，图中互余的角共有4对，
故选：C．
题型1 角的单位与角度制
▌例1（25-26六年级上·上海·期末）已知的余角是，则________（结果用度、分、秒表示）．
【答案】
/47度32分15秒
【分析】本题考查了余角的定义以及角度的计算，解决本题的关键是正确计算角度．
根据余角的定义，与已知角互余，因此等于减去已知角求解即可．
【详解】解：∵的余角是，
∴．
故答案为：．
▌对点练1-1（25-26六年级上·上海崇明·期末）已知，则的余角的度数为______．
【答案】
【分析】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角，据此解答即可．
【详解】解：的余角的度数为
故答案为：。
▌对点练1-2已知，则的余角的度数为______．
【答案】
【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义，两个角之和为，因此的余角等于减去的度数．
【详解】解：∵，
∴的余角的度数为：，
故答案为：．
题型2 角度的四则运算
▌例2（25-26六年级上·上海·期末）计算：＝______．
【答案】
【分析】本题考查角度加法运算，需将度与度相加、分与分相加，若分之和满60则进位到度．
【详解】.
故答案为：
▌对点练2-1（25-26六年级上·上海黄浦·期末）如图，是的平分线，，，那么____________度．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据求解即可．
【详解】解：∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
▌对点练2-2（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了补角的定义，角度的运算，掌握互补的两角的和等于是做题的关键．根据补角的定义得，两个角之和为，因此的补角等于减去的度数，使用度分秒的减法运算即可求解．
【详解】解：由补角的定义得，
的补角为．
故答案为：．
▌对点练2-3（25-26六年级上·上海静安·期末）计算：
【答案】
【分析】本题考查角度的四则运算，根据度，分，秒之间的换算关系，进行计算即可．
【详解】解：原式．
题型3 钟面角
▌例3（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）同一天中，从8点到8点10分，时针转了________度．
【答案】5
【分析】本题考查了求时针转过的角度，理解时针1小时转30度，1分钟转0.5度是解题的关键．
由时针每分钟转动0.5度，10分钟转动5度即可得出答案．
【详解】解：时针转动角度为度/分钟分钟度．
故答案为．
▌对点练3-1（25-26六年级上·上海·期末）下午是欣欣放学回家的时间，钟面上时针与分针的夹角是________．
【答案】75
【分析】本题主要考查了钟面角，明确钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为是解题的关键．
根据钟表上的角度我们知道一圈有12大格，每个大格的角度为，再利用钟表表盘的特征解答即可．
【详解】解：∵3点30分，时针和分针中间相差个大格，
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，
∴时，分针与时针的夹角是．
故答案为：．
▌对点练3-2在点分钟时，钟面上的时针和分针的夹角是___度．
【答案】
【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键．
根据钟面角的定义进行计算即可．
【详解】解：如图，由钟面角的定义可知，，
，
，
故答案为：
题型4 方向角的表示
▌例4（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知在的南偏东方向，那么在的________方向．
【答案】北偏西
【分析】本题考查了方向的相对性知识．根据位置的相对性，方向相反且角度不变，即可求解．
【详解】解：∵在的南偏东方向，
∴在的北偏西方向．
故答案为：北偏西
▌对点练4-1（25-26六年级上·上海·期末）如图，的方向是北偏西方向，平分，则的方向是___方向．
【答案】北偏东
【分析】本题考查方向角、角平分线的定义、角的和差定义等知识，解题的关键是理解方向角的概念，学会用方向角描述位置．
根据方向角的定义和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：方向是北偏西方向，
，
平分，
，
，
∴的方向是北偏东方向．
故答案为：北偏东．
▌对点练4-2（25-26六年级上·上海浦东新·期末）如果点A在点B的南偏东方向，那么点B在点A的__________方向．
【答案】
北偏西
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握识别方位角的方法是解题的关键．
根据相对方向的原理解题即可．
【详解】解：点在点的南偏东方向，表示从点观测点的方向为南偏东，
∴从点观测点的方向与上述方向相反，即北偏西方向．
故答案为：北偏西．
题型5 与方向角有关的计算
▌例5（25-26六年级上·上海静安·期末）周末，小明和爸爸去海边游玩，他们站在海边的灯塔处（如图），小明用望远镜观测到远处有两艘轮船和，爸爸用测角仪测得轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏西的方向，则的度数为_____．
【答案】
【分析】本题考查了方位角的概念、角度的和差计算，解题的关键是正确理解方位角．
根据的度数等于平角减去轮船的方位角求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
▌对点练5-1（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知．如果点在点的北侧东方向，那么点在点的_____方向．
【答案】北侧西
【分析】本题主要考查方位角和余角、补角的相关知识．先得到，求得，据此求得点在点的北侧西方向．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点在点的北侧东方向，
∴，
∴点在点的北侧西方向，
故答案为：北侧西．
▌对点练5-2（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知．
(1)图中与互余的角是______；
(2)图中与互补的角是______；
(3)如果，那么点在点的______方向．
【答案】(1)，
(2)，
(3)北偏东
【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答；
（2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答；
（3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答．
【详解】（1）解∶ ，
，，
图中与互余的角是，，
故答案为∶ ，；
（2）解∶ ，
，
，
，
，
，
图中与互补的角是，，
故答案为∶ ，；
（3）解：，，
，
点在点的北偏东方向．
故答案为∶北偏东．
题型6 几何图形中的角度计算
▌例6（25-26六年级上·上海崇明·期末）如图，已知，，与互余，平分，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的余角的度数，角平分线的定义，根据余角的定义求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案．
【详解】解：∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
▌对点练6-1（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，已知，射线平分，若，那么的大小为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线、几何图形中角度计算等知识，首先根据角平分线的定义确定的度数，再由求解即可．
【详解】解：因为，射线平分，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
▌对点练6-2（25-26六年级上·上海·期末）已知：如图，平分平分．若，求的度数．
根据要求完成填空：
解：平分平分
________，________
________________
∴________
________
【答案】；；；；；；
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角平分线的定义得到，，则由角的和差关系可得，根据即可得到答案．
【详解】解：平分平分，
，，
，
∴，
，
．
▌对点练6-3（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知点是直线上一点，是以为顶点的一条射线，平分，在的内部作一条射线．
(1)图中与互余的角是_____；
(2)试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)和
(2)
，理由如下：
由（1）得，
∴，
∴
∴，
∴．
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角的度数，正确理清角之间的关系是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到，根据题意可得，则，再由余角的定义可得答案；
（2）根据（1）所求求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中与互余的角是和；
（2）略
题型7 三角板中的角度计算
▌例7（25-26六年级上·上海虹口·期末）一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了余角的定义，同角的余角相等，三角板中角度的特点，度数之和为90度的两个角互余，据此根据同角的余角相等，平角的定义和三角板中角度的特点逐一判断即可．
【详解】解：A、根据同角的余角相等可得，但不一定有，故不能确定与两角互余，不符合题意；
B、根据三角板中角度的特点可得，则，故与两角不互余，不符合题意；
C、根据平角的定义和三角板中角度的特点可得，故可以确定与两角互余，符合题意；
D、根据平角的定义可得，故与两角不互余，不符合题意；
故选：C．
▌对点练7-1（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，将两个直角三角形纸片叠放在一起，使两个直角顶点重合于点．如果，那么_____°．
【答案】
【分析】本题考查角的计算．根据两个直角三角形的直角顶点重合，，从而可推出，，结合两个式子即可求出的度数．
【详解】解：∵两个直角三角形的直角顶点重合，且，
∴，，
∴,
故答案为：．
题型8 角平分线的有关计算
▌例8（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，，是的平分线，那么_____．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题．
由已知易得，由是的平分线，可得，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
▌对点练8-1（25-26六年级上·上海浦东新·期末）将两把三角尺如下图所示摆放，若射线为的平分线，射线为的平分线，则______°．
【答案】45
【分析】利用三角板角的特征和角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵，射线为的平分线，
∴，
∵，射线为的平分线，
∴，
∴．
▌对点练8-2（25-26六年级上·上海嘉定·期末）线段的和差与角的和差问题具有共通性，都可通过线段的中点或角平分线的定义实现未知量到已知量的转化．以下是课堂学习片段，请完成探究过程：
【探索发现】如图，点是线段上一点，点、分别是线段、的中点，当时，求线段的长度（请补全解答过程）：
解：因为点、分别是线段、的中点，所以，________．
所以________（________）________．
因为，所以________．
【知识迁移】类比线段的和差问题解决角度问题：如图，射线在的内部．已知，射线、分别是和的平分线，求的度数．
【答案】探索发现：；；；；；知识迁移：
【分析】本题考查了线段的和差，与线段中点有关的计算，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
探索发现：由线段中点的定义可得，．从而得出，即可得出结果；
知识迁移：由角平分线的定义可得，，从而得出，即可得出结果．
【详解】解：探索发现：因为点、分别是线段、的中点，
所以，．
所以．
因为，
所以．
知识迁移：∵射线、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴．
题型9 求一个角的余角
▌例9（25-26六年级上·上海崇明·期末）已知，那么的余角等于_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，根据度数之和为90度的两个角互余列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴的余角，
故答案为：．
▌对点练9-1（25-26六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的余角______．
【答案】
【分析】本题考查了求一个角的余角，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
根据余角的定义，的余角等于减去，然后进行角度运算．
【详解】解：因为与互余，
所以
．
故答案为：34°36′．
题型10 求一个角的补角
▌例10给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查余角和补角，根据两个角的度数和为90度，两个角互为余角，两个角的度数和为180度时，两个角互为补角，逐一进行判断即可．
【详解】解：若，则，即互余；故①说法正确；
两个角的度数和为180度时，两个角互为补角；故②说法错误；
若，，则；故③说法正确；
若的余角为，则，故它的补角为；故④说法正确；
故选D．
▌对点练10-1（25-26六年级上·上海·期末）若，则的补角为_____．
【答案】
【分析】本题考查求一个角的补角，根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
▌对点练10-2（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为________．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求一个角的补角，解题的关键是熟练掌握互为补角的两个角和为．
【详解】解：，
即的补角的度数为．
故答案为：．
题型11 与余角、补角有关的计算
▌例11（25-26六年级上·上海·期末）下列说法错误的是（ ）
A．角与角互为余角
B．如果，那么和互补
C．两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角
D．一个角的补角比这个角的余角大90°
【答案】B
【分析】本题主要考查了关于余角和补角的定义，能够正确理解互余是指两角之和为90度，互补是指两角之和为180度的性质．
分别根据互余和互补的性质进行解答即可．
【详解】解：角与角互为余角，说法正确，故本选项不符合题意；
B． 如果，那么和互余，原说法错误，故本选项符合题意．
C． 两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角，说法正确，故本选项不符合题意；
D．一个角的补角比这个角的余角大，说法正确，故本选项不符合题意；
故选B
▌对点练11-1（25-26六年级上·上海·期末）已知与互余，则以下对的补角的表示方法正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，度数之和为90度的两个角互余，则，度数之和为180度的两个角互补，则的补角为，据此求解即可．
【详解】解：∵与互余，
∴，
∵的补角为，
∴的补角为，
∴的补角为，
∴的补角可以表示为，又可以表示为，
故选：C．
▌对点练11-2（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如果与互补，且．那么下列式子中不能表示的余角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，则的余角可表示出，，据此逐一判断即可．
【详解】解：的余角的度数为，
∵与互补，
∴，
∴，
∴，
∴能表示的余角；
∵，
∴不能表示的余角；
∵，
∴能表示的余角；
故选：C．
▌对点练11-3（25-26六年级上·上海金山·期末）一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数．
【答案】这个角的度数为
【分析】本题主要考查余角、补角的计算，一元一次方程的运用，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键．根据题意，设这个角的度数为，则这个角的余角度数为，这个角的补角度数为，根据数量关系列方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为，这个角的补角为，
则，
解得，．
答：这个角的度数为．
基础通关
1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）、两个城市的位置如图所示，那么射线表示的方向是（ ）
A．东偏南 B．南偏东 C．南偏东 D．东偏南
【答案】C
【分析】此题主要考查了方向角．根据方向角的定义即可解答．
【详解】解：由题意知，，
∴射线表示的方向是南偏东，
故选：C．
2．（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ）
A．角的平分线是一条直线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离
C．两点之间，直线最短 D．同角的补角相等
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的定义、两点之间距离的定义、线段的性质和补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．
根据角平分线的定义、两点之间距离的定义、线段的性质、补角的性质逐项分析，即可解答．
【详解】解： 角的平分线是一条射线，不是直线， A错误；
两点之间的距离是连接两点的线段的长度，不是线段本身， B错误；
两点之间，线段最短，不是直线， C错误；
同角的补角相等，这是补角的性质， D正确．
故选D．
3．（24-25六年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的有（ ）
①角的平分线是一条直线 ②连接两点的线段叫做两点之间的距离
③两点之间，直线最短 ④如果，那么补角的度数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线定义，两点之间的距离，线段的性质，互为补角，
根据角平分线的定义判断①，再根据两点之间的距离判断②，然后根据线段的性质判断③，最后根据补角的定义得，再计算判断④．
【详解】解：因为角的平分线是一条射线，所以①不正确；
因为连接两点之间线段的长度叫做两点之间的距离，所以②不正确；
因为两点之间，线段最短，所以③不正确；
因为如果，那么它的补角是，所以④正确．
所以正确的有1个．
故选：A．
4．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算： _________ ．
【答案】
【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握角度的单位和角度制是解题的关键．根据角度加法，分相加满60进位到度，即可解答．
【详解】解：．
故答案为：．
5．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：_____________．
【答案】
【分析】本题考查角的度量和减法计算，熟练掌握度分秒之间的转换关系是关键．
角度减法运算，分的部分不够减时，需从度借位．
【详解】解：．
故答案为：．
6．（25-26六年级上·上海金山·期末）如图，点表示人民广场，点表示上海乐高乐园，那么射线表示的方向是_______．
【答案】南偏西
【分析】本题考查了方向角，熟知方向角的定义：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角，是解题的关键．
根据图中所给的角度，利用方向角的定义判断方向即可．
【详解】解：以正南方向为起始边，顺时针旋转到射线的角度为，
所以射线表示的方向是南偏西．
故答案为：南偏西．
7．（25-26六年级上·上海金山·期末）已知，那么的余角等于_______．
【答案】
【分析】本题考查角度的借位计算，根据余角的定义，两个角之和为，根据的余角等于计算即可．
【详解】解：的余角为，
故答案为．
8．（25-26六年级上·上海·期末）已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线．
【答案】如图，射线即为所求，
【分析】本题考查方位角的概念，方位角的作图方法．通过明确方向基准，确定角度关系绘制射线是解题的关键．
根据射线表示正南方向，射线表示正东方向，“南偏东”是指从正南方向（射线）向东（射线）偏转，绘制射线．
【详解】解：以点为顶点，以射线为始边，向正东方向作一个的角，这个角的终边即为射线，即为从学校到小明家的方向．
9．（25-26六年级上·上海金山·期末）如图，已知，是内部的一条射线，．
(1)求的度数；
(2)若射线平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角的数量关系，角平分线的有关计算：
（1）根据可得，由此可解；
（2）由角平分线的定义得，结合（1）中结论即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：平分，，
，
由（1）得，
．
素养提升
1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列射线OA中，表示北偏西方向的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解本题的关键．利用方向角定义判断即可．
【详解】解：表示北偏西方向的是：
故选：C．
2．（25-26六年级上·上海松江·期末）小明同学在课堂学习时发现自己忘带量角器，只有一副三角尺，那么他利用这副三角尺可以画出的角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】三角尺能直接画出、、、等角度，通过加减组合可得到的整数倍的角度.是的倍数且可由和相加得到，而其他选项不是的倍数，无法画出．
本题考查了三角板的画图，熟练掌握三角板的构成元素是解题的关键．
【详解】解：∵三角尺可画出的角度均为的整数倍，
∵，为整数，且，
∴可以画出；
∵、、除以均不为整数，
∴无法画出．
故选：B．
3．（25-26六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内的一条射线，，则_______．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为．
4．（25-26六年级上·上海·期末）已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大 ，则______．
【答案】70
【分析】本题考查了补角、余角的定义，一元一次方程的应用，关键是掌握补角、余角的定义；
【详解】解：设的度数为，则的度数为，根据补角的定义，的补角为；根据余角的定义，的余角为，
由题意列方程：
去括号得：
合并同类项得：
移项得：
解得：
则
故答案为：70.
5．（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图，为内一条射线，，，在内部，在外部，，那么的度数为___________．
【答案】
【分析】本题考查角的和差运算，关键是通过设中间角建立表达式，再消去中间量得到最终结果．
【详解】解：设．
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
因此．
故答案为：．
6．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）已知，与互余，与互补，则_____________．
【答案】或
【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与余角，补角有关的计算．根据互余和互补的定义，先求出和的大小，再进行分类讨论且作图，运用角的和差关系进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵与互余，
∴，
∵，
∴
∵与互补，
∴，
∴，
当在的内部时，如图所示：
∴；
当在的外部时，如图所示：
∴，
综上：或，
故答案为：或．
7．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分．
(1)若，则是____________；
(2)若，求的度数；
(3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)40
(2)的度数为
(3)
解：，理由如下，
令，，则，
，
，
，即，
．
，，
，
．
【分析】（1）先根据余角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据计算即可；
（2）根据以及角平分线的定义即可求解；
（3）令，，则，根据，由两角互余得到，进而即可得到与满足的数量关系．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
，
；
故答案为：40；
（2）解：，平分，
，
，
，
，
，
，
；
（3）略
【点睛】本题考查了角平分线的意义，角度互补和互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是解题关键．
8．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，．
(1)的度数是_____________度；
(2)先画出的平分线，再求出的度数是_____________度．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了角的运算，角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，，则，求出度数即可；
（）先画出的平分线，所以，然后通过角度和差即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
迁移创新
1．（25-26六年级上·上海长宁·期末）定义：从（）的顶点出发在角的内部作一条射线，如果该射线将分成的两个角中有一个角与互为补角，那么称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”，且在内部．
(1)如果，求的度数；
(2)如果是的平分线，是的平分线，那么与的数量关系为___________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题结合补角、角平分线的定义、角的和差运算，综合考查几何图形中角度计算问题，，以及代数设元推导角的数量关系．
（1）由平角计算，根据“好线”定义确定，再用求；
（2）设，用表示、，结合角平分线得到与的表达式，推导数量关系．
【详解】（1）解：∵点在直线上，，
∴．
∴．
∵是的“好线”，
∴被分成的两个角中有一个与互为补角，
∵，且在内部，
∴．
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：设，则．
由“好线”定义，的补角为，且在内部，故，
∴．
∵平分，
∴．
∵，平分，
∴，
∴．
因此．
故答案为：．
2．（25-26六年级上·上海·期末）数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部．
(1)请在图1中画出的平分线（请在答题纸上作答，不需写出作法）；
(2)若，求出的度数；
(3)若，则的度数为 ；（用含有α的代数式表示）；
(4)在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2．若，则的度数为 ；
(5)如图1，若，若射线从位置绕点O以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点O以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，均停止转动．设运动时间为t秒（）．在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
解：如图所示为所求：
(2)
(3)
(4)
(5)存在，当秒或秒时，
【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）利用量角器即可作图；
（2）先求出的度数，再利用求出的度数即可；
（3）同理（2）计算即可；
（4）先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可；
（5）先求出，由题意得，分相遇前，相遇后，两种情况讨论即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（4）解：∵，，
∴，，
∵平分，平分，
∴， ，
∴；
故答案为：；
（5）解：存在，当秒或秒时，，
∵（秒），
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得，
当相遇前，如图，
则，
∵，
∴，解得；
当相遇后，如图，
则，
∵，
∴，解得；
综上，当秒或秒时，．
学科网（北京）股份有限公司1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
第四章
线段与角
4.2 角
课标要点
1.理解角的概念，掌握角的四种表示方法，能识别平角与周角.
2.理解角度制，会进行度、分、秒之间的换算，会用量角器比较角的大小.
3.会用量角器和尺规画相等的角及角的和、差，理解角平分线的意义.
4.理解余角、补角的概念与性质，能结合方位角进行简单的计算与作图.
思维导图
知识点1 角的概念
1.角的两种概念
（1）（静态）具有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，如图①．
（2）（动态）角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫作角的始边，终止时的射线叫作角的终边，如图②．
（1）角的动态概念中，旋转的方向可以是顺时针，也可以是逆时针；
（2）构成角的两个要素是顶点和两边，且两边都是射线，而不是线段；
（3）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边的射线张开的幅度有关．张开的幅度越大，角越大．
2.角的内部和外部
射线从初始位置转动到终止位置所经过的部分称为角的内部．通常角的内部用不带箭头或带箭头的弧线表示，如图所示．涂色部分是角的外部．
3.平角与周角
（1）平角：一条射线OA由初始位置绕着它的端点O旋转到终止位置，得到射线OB．如图①，当射线OB和射线OA呈一条直线时，所成的角叫作平角．
（2）周角：如图②，当射线OB与射线OA重合时，所成的角叫作周角．
平角和周角都是“角”，而不是“线”：平角的始边和终边互为反向延长线，周角的终边和始边重合．因此不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角”．
随学随练
1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列正确的个数为（ ）
①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短；
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点2 角的表示方法
角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体有四种表示方法．
（1）用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作，其中O为角的顶点，A、B分别为角的两边上的点，“∠”是角的符号．
（2）在一个顶点处只有一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示，记作，如图②所示．
（3）用小写希腊字母表示，记作，如图③所示．
（4）用数字表示单独的一个角，记作，如图④所示．
（1）用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；
（2）在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示；
（3）用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角；
（4）用小写希腊字母或数字表示单独的角时，必须在角的顶点处画弧线，并标上希腊字母或数字．
当一个顶点处有多个角时，不能用表示顶点的一个大写字母表示角，必须用三个大写字母（顶点字母写在中间）或数字、希腊字母表示，且用数字、希腊字母表示时必须在图上画出弧线并标注清楚．
随学随练
1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点A，O，B在一条直线上，∠COD是直角，则图中∠AOC的大小不能表示为（ ）
A．∠BOD B．180°﹣∠BOC C．∠AOD﹣90° D．90°﹣∠1
知识点3 角度制及换算
角的度量单位：
把周角分成360等份，取一份作为一个单位，称为一度，记作；
把分成60等份，每一份是一分，记作；
把分成60等份，每一份是一秒，记作．
角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制叫作角度制．
角度制的换算：
，；
1周角，1周角平角直角；
1平角，1平角直角；
1直角．
（1）可以借助量角器量取两个角的度数，比较两个角的大小；
（2）与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是60进制的；
（3）角同线段一样，可以度量，可以比较大小，也可以参与运算；
（4）度、分、秒的相互转化：低级单位化高级单位要除以进率60，高级单位化低级单位要乘进率60．
角的换算方法：将度化为度、分、秒的形式，从左往右依次进行，整数度保持不变，先把不满1度的小数部分乘60化为分，再把化成分的小数部分乘60化为秒；将度、分、秒的形式化为度的形式，从右往左依次进行，先把秒除以60化成分，再并入分，最后把分化为度的小数部分．如，．
随学随练
1．用度、分、秒表示35.32°＝_______ 度_______ 分_______ 秒．
2．计算：
（1）153°19′42″+26°40′28″；
（2）90°3″﹣57°21′44″；
（3）33°15′16″×5；
（4）75°÷4（结果用“°′”表示）．
知识点4 角的比较
角的大小比较一般有两种方法：
（1）度量法：用量角器量出角的度数，通过比较度数的大小来比较角的大小．
用量角器度量角的方法：①对中：将量角器的中心点与角的顶点重合；②对线：将量角器的刻度线与角的一边重合；③读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数．
（2）叠合法：移动一个角，使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边重合，两个角的另一条边都落在重合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边”的位置情况，以比较其大小．
如图所示，比较和的大小．先让顶点O与顶点E重合，再让边OA与边EC重合，并且使另一边OB、ED在边OA的同侧：如果边OB与边ED重合，则表示这两个角相等，记作；如果边ED落在的外部，则表示小于，记作；如果边ED落在的内部，则表示大于，记作．
角的大小与边的长短无关，“开口”大的角就大，估计角的大小要从角的“开口”大小来比较．叠合法与线段的叠合法一脉相承：先让顶点与顶点、一边与一边重合，再强调另一条边落在同侧，最后看另一条边的位置定大小．
随学随练
1．（25-26六年级上·上海·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（ ）
A． B． C． D．
知识点5 画相等的角
1.度量法：先量出已知角的角度，再画出相同度数的角．
用量角器画角的方法：
（1）画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，刻度线和射线重合；
（2）根据所画角的度数，在量角器相应刻度线的地方点一个点；
（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线．
2.尺规法：以已知角的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交已知角的两边于点E、F；再以射线的端点为圆心、同样的长为半径画弧，交射线于点M；以点M为圆心、EF的长为半径画弧，与前弧相交于点N；过点N作射线，则所作的角等于已知角．
度量法与尺规法的依据都是叠合法——把“相等”转化为“处处重合”．尺规法本质是用弧把角的两边之间的“开口距离”EF原样转移过去：半径相同保证弧能重合，截取EF保证开口相同．画图后要保留作图痕迹，并说明所作的是哪一个角．
知识点6 方位角
1.方位角：在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，用角度来描述物体运动的方向．如图，射线OA的方向是北偏东，射线OB的方向是南偏西，这里的“北偏东”“南偏西”是用来表示方向的角，叫作方位角．方位角通常先写北或南，再写偏东或偏西．
2.方位角的特殊情形：东北方向表示北偏东；西北方向表示北偏西；东南方向表示南偏东；西南方向表示南偏西．
利用方位角确定点的位置有两种方法：（1）利用方位角和观测点到点的距离来确定；（2）利用两个方位角来确定，即找到两个合适的观测点，按指定的方位角画出射线，两条射线的交点即为所要确定的点的位置．画方位角时，先过观测点画出南北方向线（与东西方向垂直），再以正北或正南方向为始边，向东或向西旋转相应的角度．
随学随练
1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，射线表示的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北
知识点7 画角的和、差
1.角的和、差的概念：如果一个角的度数等于另外两个角的度数之和（或差），那么称这个角就是另外两个角的和（或差）．
2.角的两种常用的画法：
方法一：用一副三角尺可以直接画出、、、的角，利用角的和、差意义，也可以画出、等角．
方法二：先用量角器分别量出两角的度数，计算两角的度数的和或差后，再利用量角器画角．
3.一个角的几倍及几分之一：如果是n个的和，那么我们就说是的n倍或是的n分之一，记作或．
解决角的和、差计算问题的关键是明确两角之间的关系，重点是看一个角是在另一个角的内部还是外部，两个角是否有公共边．画时，把画在的外部（“外加”）；画时，把画在的内部（“内减”），与线段的“右加左减”道理相同．
随学随练
1．（25-26六年级上·上海宝山·期末）已知分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为______．
知识点8 角的平分线
1.概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线．如图所示，OC是的平分线，这时，或．
2.画已知角的平分线：
（1）利用量角器画图：量一算一画；
（2）利用直尺和圆规作图．
计算角度时，首先要观察图形，确定几个角之间的和、差关系，有角平分线时注意角平分线概念的运用．
角平分线的三种常见用法：
①已知，求；
②已知，求；
③已知且射线OC在内部，说明OC是的平分线．
当图形中存在多条角平分线时，先分清谁是谁的平分线，再用“一半”或“2倍”把各角串起来．
知识点9 余角、补角
1.概念：
（1）余角的概念：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角称为另一个角的余角．
（2）补角的概念：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角称为另一个角的补角．
2.性质：
（1）余角的性质：同角（或等角）的余角相等．
（2）补角的性质：同角（或等角）的补角相等．
余角、补角是指两个角之间的关系，是相互的，我们不能单独说哪一个角是余角、哪一个角是补角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关；余角、补角的性质（同角或等角的余角相等、补角相等）是证明两角相等的常用方法．
随学随练
1．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
题型1 角的单位与角度制
▌例1（25-26六年级上·上海·期末）已知的余角是，则________（结果用度、分、秒表示）．
▌对点练1-1（25-26六年级上·上海崇明·期末）已知，则的余角的度数为______．
▌对点练1-2已知，则的余角的度数为______．
题型2 角度的四则运算
▌例2（25-26六年级上·上海·期末）计算：＝______．
▌对点练2-1（25-26六年级上·上海黄浦·期末）如图，是的平分线，，，那么____________度．
▌对点练2-2（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为_______．
▌对点练2-3（25-26六年级上·上海静安·期末）计算：
题型3 钟面角
▌例3（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）同一天中，从8点到8点10分，时针转了________度．
▌对点练3-1（25-26六年级上·上海·期末）下午是欣欣放学回家的时间，钟面上时针与分针的夹角是________．
▌对点练3-2在点分钟时，钟面上的时针和分针的夹角是___度．
题型4 方向角的表示
▌例4（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知在的南偏东方向，那么在的________方向．
▌对点练4-1（25-26六年级上·上海·期末）如图，的方向是北偏西方向，平分，则的方向是___方向．
▌对点练4-2（25-26六年级上·上海浦东新·期末）如果点A在点B的南偏东方向，那么点B在点A的__________方向．
题型5 与方向角有关的计算
▌例5（25-26六年级上·上海静安·期末）周末，小明和爸爸去海边游玩，他们站在海边的灯塔处（如图），小明用望远镜观测到远处有两艘轮船和，爸爸用测角仪测得轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏西的方向，则的度数为_____．
▌对点练5-1（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知．如果点在点的北侧东方向，那么点在点的_____方向．
▌对点练5-2（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知．
(1)图中与互余的角是______；
(2)图中与互补的角是______；
(3)如果，那么点在点的______方向．
题型6 几何图形中的角度计算
▌例6（25-26六年级上·上海崇明·期末）如图，已知，，与互余，平分，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
▌对点练6-1（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，已知，射线平分，若，那么的大小为___________．
▌对点练6-2（25-26六年级上·上海·期末）已知：如图，平分平分．若，求的度数．
根据要求完成填空：
解：平分平分
________，________
________________
∴________
________
▌对点练6-3（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知点是直线上一点，是以为顶点的一条射线，平分，在的内部作一条射线．
(1)图中与互余的角是_____；
(2)试判断与的数量关系，并说明理由．
题型7 三角板中的角度计算
▌例7（25-26六年级上·上海虹口·期末）一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（ ）
A． B．
C． D．
▌对点练7-1（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如图，将两个直角三角形纸片叠放在一起，使两个直角顶点重合于点．如果，那么_____°．
题型8 角平分线的有关计算
▌例8（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，，是的平分线，那么_____．
▌对点练8-1（25-26六年级上·上海浦东新·期末）将两把三角尺如下图所示摆放，若射线为的平分线，射线为的平分线，则______°．
▌对点练8-2（25-26六年级上·上海嘉定·期末）线段的和差与角的和差问题具有共通性，都可通过线段的中点或角平分线的定义实现未知量到已知量的转化．以下是课堂学习片段，请完成探究过程：
【探索发现】如图，点是线段上一点，点、分别是线段、的中点，当时，求线段的长度（请补全解答过程）：
解：因为点、分别是线段、的中点，所以，________．
所以________（________）________．
因为，所以________．
【知识迁移】类比线段的和差问题解决角度问题：如图，射线在的内部．已知，射线、分别是和的平分线，求的度数．
题型9 求一个角的余角
▌例9（25-26六年级上·上海崇明·期末）已知，那么的余角等于_____．
▌对点练9-1（25-26六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的余角______．
题型10 求一个角的补角
▌例10给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
▌对点练10-1（25-26六年级上·上海·期末）若，则的补角为_____．
▌对点练10-2（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为________．
题型11 与余角、补角有关的计算
▌例11（25-26六年级上·上海·期末）下列说法错误的是（ ）
A．角与角互为余角
B．如果，那么和互补
C．两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角
D．一个角的补角比这个角的余角大90°
▌对点练11-1（25-26六年级上·上海·期末）已知与互余，则以下对的补角的表示方法正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
▌对点练11-2（25-26六年级上·上海杨浦·期末）如果与互补，且．那么下列式子中不能表示的余角的是（ ）
A． B． C． D．
▌对点练11-3（25-26六年级上·上海金山·期末）一个角的余角比它的补角的少，求这个角的度数．
基础通关
1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）、两个城市的位置如图所示，那么射线表示的方向是（ ）
A．东偏南 B．南偏东 C．南偏东 D．东偏南
2．（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ）
A．角的平分线是一条直线 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离
C．两点之间，直线最短 D．同角的补角相等
3．（24-25六年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的有（ ）
①角的平分线是一条直线 ②连接两点的线段叫做两点之间的距离
③两点之间，直线最短 ④如果，那么补角的度数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算： _________ ．
5．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：_____________．
6．（25-26六年级上·上海金山·期末）如图，点表示人民广场，点表示上海乐高乐园，那么射线表示的方向是_______．
7．（25-26六年级上·上海金山·期末）已知，那么的余角等于_______．
8．（25-26六年级上·上海·期末）已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线．
9．（25-26六年级上·上海金山·期末）如图，已知，是内部的一条射线，．
(1)求的度数；
(2)若射线平分，求的度数．
素养提升
1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列射线OA中，表示北偏西方向的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26六年级上·上海松江·期末）小明同学在课堂学习时发现自己忘带量角器，只有一副三角尺，那么他利用这副三角尺可以画出的角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内的一条射线，，则_______．
4．（25-26六年级上·上海·期末）已知的度数是度数的，且的补角比的余角的3倍大 ，则______．
5．（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图，为内一条射线，，，在内部，在外部，，那么的度数为___________．
6．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）已知，与互余，与互补，则_____________．
7．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分．
(1)若，则是____________；
(2)若，求的度数；
(3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
8．（25-26六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，．
(1)的度数是_____________度；
(2)先画出的平分线，再求出的度数是_____________度．
迁移创新
1．（25-26六年级上·上海长宁·期末）定义：从（）的顶点出发在角的内部作一条射线，如果该射线将分成的两个角中有一个角与互为补角，那么称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”，且在内部．
(1)如果，求的度数；
(2)如果是的平分线，是的平分线，那么与的数量关系为___________．
2．（25-26六年级上·上海·期末）数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部．
(1)请在图1中画出的平分线（请在答题纸上作答，不需写出作法）；
(2)若，求出的度数；
(3)若，则的度数为 ；（用含有α的代数式表示）；
(4)在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2．若，则的度数为 ；
(5)如图1，若，若射线从位置绕点O以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点O以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，均停止转动．设运动时间为t秒（）．在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
学科网（北京）股份有限公司1 / 10
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
