第4章 线段与角 章节（10知识点回顾+24题型巩固）讲义-2025-2026学年沪教版(五四制)六年级数学上册满分全攻略备考系列

该初中数学单元复习讲义通过表格对比、要点归纳等工具系统梳理了线段与角的10个核心知识点，构建了从概念（如直线射线线段的联系区别）到运算（如线段和差、角度计算）再到应用（如方向角、余补角）的知识网络，清晰呈现重难点分布和内在逻辑。 讲义亮点在于24种分层题型设计，涵盖基础（如两点确定一条直线）、综合（如线段n等分点计算）和应用（如三角板角度问题），通过具体情境培养几何直观和推理意识。每种题型配方法指导，如尺规作图步骤解析，帮助基础学生掌握技能，优秀学生深化思维，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第4章 线段与角 章节（10知识点回顾+24题型巩固） 目录 知识梳理 1.直线、射线、线段 2.画一条线段等于已知线段 3.画线段的和、差 4.线段的比较与运算 5.角的概念 6.角的比较与运算 7.角的和、差关系 8.角平分线 9.角平分线的画法 10.余角和补角 题型巩固 一、两点确定一条直线 二、直线、射线、线段的联系与区别 三、两点之间线段最短 四、两点间的距离 五、直线、线段、射线的数量问题 六、线段的和与差 七、作线段(尺规作图) 八、线段中点的有关计算 九、线段n等分点的有关计算 十、线段之间的数量关系 十一、角的概念理解 十二、角的表示方法 十三、角的分类 十四、角的单位与角度制 十五、角度的四则运算 十六、角的度数大小比较 十七、方向角的表示 十八、与方向角有关的计算题 十九、几何图形中角度计算问题 二十、三角板中角度计算问题 二十一、角平分线的有关计算 二十二、求一个角的余角 二十三、求一个角的补角 二十四、与余角、补角有关的计算 知识梳理 知识点1.直线、射线、线段 1.直线 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 细节剖析 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 要点归纳： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． ②.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2.射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点归纳： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 3.线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段． 例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点归纳： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 4.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 5．三者的区别如下表 要点归纳： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 知识点2.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 知识点3.画线段的和、差 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a—b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 知识点4.线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点5.角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点归纳： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点6.角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点7.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点8.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点9.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 知识点10.余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型巩固 题型一、两点确定一条直线 1．在正常情况下，射击时要保证瞄准的那只眼在准星和缺口确定的直线上（如图），才能射中目标，这样做的数学依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段有两个端点 D．三点确定一条直线 2．如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，而且只能弹出一条墨线，这个方法依据的数学原理是 ． 题型二、直线、射线、线段的联系与区别 3．下列说法正确的是（　　） A．延长直线 B．延长射线 C．反向延长射线 D．延长线段到点，使 4．①用一个小写字母来表示．即表示为 ． ②用直线上的两个大写字母表示．即表示为 ． 题型三、两点之间线段最短 5．下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 6．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，学生要去博物馆参观，从学校处到博物馆处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从处赶到处，小明认为应该走第（2）条路线，理由是 ． 题型四、两点间的距离 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点 ，则． 8．如图，点在线段的延长线上，且，是的中点，若，求的长．    题型五、直线、线段、射线的数量问题 9．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 10．观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有______条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 题型六、线段的和与差 11．点C为线段AB延长线上一点，AC：BC＝2：1，若AB＝6，则AC的长为（    ） A．4 B．6 C．10 D．12 12．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段，、是线段上的两个点，线段，线段，那么线段 ． 题型七、作线段(尺规作图) 13．如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 14．线段a，b，c如图所示，用尺规作一条线段AD，使（保留作图痕迹，不写作法）． 题型八、线段中点的有关计算 15．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，若AB＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 16．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，点C是线段的中点，如果，，那么 ． 17．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 题型九、线段n等分点的有关计算 18．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 19．如图，线段AB上有两点M，N，点M将线段AB分成两部分，点N将线段AB分成两部分，且MN＝8，求线段AM，NB的长分别是多少？ 题型十、线段之间的数量关系 20．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 21．（22-23六年级·上海杨浦·期末）如图，已知点C在线段上，，且，若厘米，求的长．    题型十一、角的概念理解 22．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列正确的个数为（    ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短； A．2 B．3 C．4 D．5 23．如图，点O与量角器中心重合，与零刻度线叠合，与量角器刻度线叠合，是的角平分线，那么 ．    题型十二、角的表示方法 24．（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 25．如图，可以表示成∠ 或∠ ，可以表示成 或 ，可以表示成 ． 题型十三、角的分类 26．如图所示，，则图中锐角有（　　） A．12个 B．14个 C．15个 D．16个 27．周角= 平角= 直角． 题型十四、角的单位与角度制 28．（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 29．将下列各角用度、分、秒表示出来． (1)； (2)； 题型十五、角度的四则运算 30．如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 题型十六、角的度数大小比较 32．已知与都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若的另一条边恰好落在的内部，则（）． A． B． C． D．不能比较与的大小 33．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 题型十七、方向角的表示 34．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，周末小明打算从位于A处的宝山青少年活动中心出发，前往位于B处的上海大学校区参加活动．那么从A观测B处的方向为（　　） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 35．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，货船与港口相距海里，港口相对货船的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距海里处 B．北偏西方向，相距海里处 C．南偏东方向，相距海里处 D．北偏东方向，相距海里处 36．（24-25六年级上·上海·期末）如图，标明了甲地、乙地与丙地的大致位置，请用规范的数学用语指明：丙地在甲地的 方向上． 题型十八、与方向角有关的计算题 37．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 38．（24-25六年级上·上海·阶段练习）北偏西和南偏东所成的角是 ． 题型十九、几何图形中角度计算问题 39．如图，直线与相交于点O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 40．（24-25六年级上·上海·期末）如图，，，则 ． 题型二十、三角板中角度计算问题 41．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用一副三角板（一把含有角，一把含有角）不可能画出的角度是（    ） A． B． C． D． 42．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝ 时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直． 题型二十一、角平分线的有关计算 43．如图，射线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25六年级上·上海·期末）如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分，则的度数为 ． 45．如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分．    (1)求的度数． (2)如果A、O、E三点不在同一条直线上，其他条件不变，试问和之间有什么数量关系，简要说明理由． 题型二十二、求一个角的余角 46．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 47．（23-24六年级·上海虹口·期末）已知，则的余角的大小为 ． 题型二十三、求一个角的补角 48．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 题型二十四、与余角、补角有关的计算 50．下列说法错误的是（ ） A．角与角互为余角 B．如果，那么与互为补角 C．两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角 D．一个角的补角比这个角的余角大 51．（24-25六年级上·上海·期末）如果一个角的余角是，那么它的补角是 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 线段与角 章节（10知识点回顾+24题型巩固） 目录 知识梳理 1.直线、射线、线段 2.画一条线段等于已知线段 3.画线段的和、差 4.线段的比较与运算 5.角的概念 6.角的比较与运算 7.角的和、差关系 8.角平分线 9.角平分线的画法 10.余角和补角 题型巩固 一、两点确定一条直线 二、直线、射线、线段的联系与区别 三、两点之间线段最短 四、两点间的距离 五、直线、线段、射线的数量问题 六、线段的和与差 七、作线段(尺规作图) 八、线段中点的有关计算 九、线段n等分点的有关计算 十、线段之间的数量关系 十一、角的概念理解 十二、角的表示方法 十三、角的分类 十四、角的单位与角度制 十五、角度的四则运算 十六、角的度数大小比较 十七、方向角的表示 十八、与方向角有关的计算题 十九、几何图形中角度计算问题 二十、三角板中角度计算问题 二十一、角平分线的有关计算 二十二、求一个角的余角 二十三、求一个角的补角 二十四、与余角、补角有关的计算 知识梳理 知识点1.直线、射线、线段 1.直线 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 细节剖析 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 要点归纳： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． ②.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2.射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点归纳： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 3.线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段． 例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点归纳： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 4.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 5．三者的区别如下表 要点归纳： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 知识点2.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 知识点3.画线段的和、差 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a—b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 知识点4.线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点5.角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点归纳： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点6.角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点7.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点8.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点9.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 知识点10.余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型巩固 题型一、两点确定一条直线 1．在正常情况下，射击时要保证瞄准的那只眼在准星和缺口确定的直线上（如图），才能射中目标，这样做的数学依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．线段有两个端点 D．三点确定一条直线 【答案】B 【知识点】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质进行判断即可． 【详解】解：在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这说明了两点确定一条直线，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 2．如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，而且只能弹出一条墨线，这个方法依据的数学原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】根据两点确定一条直线判断即可． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的确定原理，熟练掌握原理是解题的关键． 题型二、直线、射线、线段的联系与区别 3．下列说法正确的是（　　） A．延长直线 B．延长射线 C．反向延长射线 D．延长线段到点，使 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的概念，注意用两个字母表示射线时，端点的字母放在前边．根据直线、射线、线段的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．延长直线，说法错误，不符合题意； B．延长射线，说法错误，不符合题意； C．反向延长射线，说法正确，符合题意； D．延长线段到点，则，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．①用一个小写字母来表示．即表示为 ． ②用直线上的两个大写字母表示．即表示为 ． 【答案】 直线l 直线 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查直线的表示方法．熟知直线的几种表示方法是正确解决本题的关键． 根据题意写出对应的正确的表示方法即可． 【详解】①用一个小写字母来表示．即表示为 直线l ． ②用直线上的两个大写字母表示．即表示为 直线 ． 故答案为：直线l；直线． 题型三、两点之间线段最短 5．下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短 【分析】此题主要考查了线段的性质，直接利用两点之间线段最短分析即可得出答案． 【详解】解：①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，不能用“两点之间线段最短”来解释， ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，可用“两点之间线段最短”来解释． 故选：B． 6．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，学生要去博物馆参观，从学校处到博物馆处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从处赶到处，小明认为应该走第（2）条路线，理由是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键．根据两点之间线段最短原理解答即可． 【详解】解：根据两点之间线段最短， ∴选择第（2）条路线， 故答案为：两点之间，线段最短． 题型四、两点间的距离 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点 ，则． 【答案】在线段延长线上 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了线段大小的比较的方法，熟练掌握叠合法比较线段的大小的前提条件和三种情况是解答的关键． 画出图形，根据叠合法比较线段的方法即可求解． 【详解】解：用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点在线段延长线上，则， 如图： 故答案为：在线段延长线上． 8．如图，点在线段的延长线上，且，是的中点，若，求的长．    【答案】的长为． 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查的是两点之间的距离．根据已知条件先求出的长，于是得出的长，继而求出的长，即可得出的长． 【详解】解：，， ， ， 是的中点， ， ， 答：的长为． 题型五、直线、线段、射线的数量问题 9．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 【答案】6 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是按照顺序，做到不重不漏． 根据线段有两个端点，写出所有的线段即可得到数量． 【详解】解：如图， 则图中线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段共6条． 故答案为：6． 10．观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有______条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 【答案】（1）10；（2）；（3）①共握了1275次手；②共送了2550张． 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段数量问题及其应用，有条理思考问题是解题的关键． （1）根据线段的定义求解即可； （2）画图根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （3）①根据上面总结的规律求解即可； ②根据上面总结的规律求解即可． 【详解】解：（1）以A为端点的线段有四条； 以B为端点的且与前面不重复的线段有三条； 以C为端点的且与前面不重复的线段有两条； 以D为端点的且与前面不重复的线段有一条． 图中共有（条）线段． 故答案为：10． （2）如图， 线段上有3个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有4个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有5个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线上有6个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有7个点（包括A，B两点）则线段数为：； …… 线段上有n个点（包括A，B两点）则线段数为： ， 故答案为：； （3）①类比数线段的方法可知：（次） 答：共握了1275次手； ②∵送名片是相互的，类比数线段的方法可知：（张）． 答：共送了2550张． 题型六、线段的和与差 11．点C为线段AB延长线上一点，AC：BC＝2：1，若AB＝6，则AC的长为（    ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】线段的和与差 【分析】设BC=x．根据AC与BC的比用x表示出AC，根据线段的和差关系用x表示出AB，进而求出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解：设BC＝x． ∵AC：BC=2：1， ∴AC＝2x． ∴AB＝AC－BC． ∵AB=6， ∴． ∴AC＝2×6＝12． 故选：D． 【点睛】本题考查线段的和差关系，熟练掌握该知识点是解题关键． 12．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段，、是线段上的两个点，线段，线段，那么线段 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据题意求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型七、作线段(尺规作图) 13．如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了线段长度的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知． 故选：C． 14．线段a，b，c如图所示，用尺规作一条线段AD，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题考查了线段和差的尺规作图，在射线上截取点，使，再在线段上截取点，使，根据线段的和差计算，可知线段即为所求，正确理解线段和差的尺规作图步骤是解题的关键． 【详解】解：如图：在射线上截取点，使，再在线段上截取点，使， 根据线段的和差计算，，可知线段即为所求． 题型八、线段中点的有关计算 15．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，若AB＝8，则CD的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】根据线段中点的定义计算即可． 【详解】解：∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝， 又∵点D是线段AC的中点， ∴CD＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段中点的定义，掌握线段中点的定义是关键． 16．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，点C是线段的中点，如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的计算．根据线段中点的知识点计算即可； 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 17．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离，利用中点求线段长． （1）首先根据求出，根据题意知，即可得到本题答案； （2）利用中点分别求出，，再利用线段和差即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵线段， ， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴． 题型九、线段n等分点的有关计算 18．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 19．如图，线段AB上有两点M，N，点M将线段AB分成两部分，点N将线段AB分成两部分，且MN＝8，求线段AM，NB的长分别是多少？ 【答案】线段，的长分别是8，4 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】点将分成两部分，即；点将分成两部分，即．然后根据列方程，求出的长度，进而得出，的长． 【详解】解：点将分成两部分， ； 点将分成两部分， ． 又， ， ， ． ． 故，． 答：线段，的长分别是8，4． 【点睛】本题考查了两点之间的距离问题，根据题意判断出点、是线段的几等分点是解题的关键． 题型十、线段之间的数量关系 20．（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（   ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上 【答案】C 【知识点】线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段的大小比较常用的方法：度量法、叠合法，（1）度量法：利用刻度尺，量出每条线段的长度，在根据度量的结果确定两条线段的长短，这是从“数”的方面进行比较，线段的长短关系和它们的长度大小关系是一致的；（2）叠合法：先把两条线段放在同一条直线上，让其一端重合，在看另一端的位置，从而确定两条线段的长度，这是从“形”的方面来比较的，据此解答即可． 【详解】解：A、通过观察不一定能说明线段比线段短，不符合题意； B、用刻度尺量得线段厘米，线段厘米，说明线段比线段长，不符合题意； C、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段上，说明线段比线段短，符合题意； D、将线段移到线段的位置，使点与点重合，点在线段的延长线上，说明线段比线段长，不符合题意； 故选：C． 21．（22-23六年级·上海杨浦·期末）如图，已知点C在线段上，，且，若厘米，求的长．    【答案】厘米 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】由，可求解，的长，进而可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的长为厘米． 【点睛】本题主要考查线段的和差，准确识图，求解，的长是解题的关键． 题型十一、角的概念理解 22．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列正确的个数为（    ） ①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．⑤线段上有无数个点；⑥两点之间线段最短； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】角的概念理解、两点之间线段最短 【分析】本题考查了角的定义及性质，线段的性质，紧扣角的定义和线段的性质即可作答． 【详解】解：（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故①错误； （2）角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形，故②正确； （3）两条射线，它们的端点重合时，可以形成角，故③正确； （4）角的大小与边的长短无关，故④错误； （5）线段上有无数个点，故⑤正确； （6）两点之间线段最短，故⑥正确； 正确的个数为4个， 故选：C． 23．如图，点O与量角器中心重合，与零刻度线叠合，与量角器刻度线叠合，是的角平分线，那么 ．    【答案】/55度 【知识点】角的概念理解、角平分线的有关计算 【分析】根据角的概念与角平分线的定义解决此题． 【详解】解：由题意得， 是的角平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查了角、角平分线，解题关键是掌握角的概念以及角平分线的定义． 题型十二、角的表示方法 24．（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； B、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； D、图中的，不能用表示，故本选项不符合题意； 故选：C． 25．如图，可以表示成∠ 或∠ ，可以表示成 或 ，可以表示成 ． 【答案】 1 B 或 【知识点】角的表示方法 【分析】根据角的表示方法求解即可． 【详解】解：可以表示成或， 可以表示成或， 可以表示成或， 故答案为：1，B，，，或． 【点睛】此题考查了角的表示方法，解题的关键是熟练掌握角的表示方法． 题型十三、角的分类 26．如图所示，，则图中锐角有（　　） A．12个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】B 【知识点】角的分类 【分析】根据角的分类求解即可，顺时针方向数，以为边可得4个锐角，以为边可得4个锐角，以为边可得3个锐角，以为边可得个锐角，以为边可得个锐角，即可求得答案 【详解】解：顺时针方向数，以为边可得4个锐角， 以为边可得4个锐角， 以为边可得3个锐角， 以为边可得个锐角， 以为边可得个锐角，共有锐角个 故选B 【点睛】本题考查了交点分类，角的个数，分类讨论是解题的关键，注意数角的个数时，不要将直角算进去． 27．周角= 平角= 直角． 【答案】 /0.5 1 【知识点】角的分类 【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，据此即可求解． 【详解】解：1周角度，1平角度，1直角度， ∴周角平角直角， 故答案为：，1． 【点睛】本题主要考查周角和平角．直角的定义，是需要熟记的内容 题型十四、角的单位与角度制 28．（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、角的单位与角度制 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，解题的关键是熟练掌握余角的定义：和为的两个角互为余角．根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：． 29．将下列各角用度、分、秒表示出来． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度、分、秒之间的计算，能正确进行度、分、秒之间的换算是解此题的关键，注意：，． （1）先把度的小数部分化为分，再把分的小数部分化为秒即可． （2）把度的小数部分化为分即可． 【详解】（1） （2）． 题型十五、角度的四则运算 30．如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握角度之间的关系是解题关键； 先找出图中所有的锐角，然后利用锐角之和为列出方程，解方程即可． 【详解】解：图中的锐角有：，，，，，， ∵，且图中所有锐角之和为， ∴， 故， 故选：B． 31．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十六、角的度数大小比较 32．已知与都小于平角，在平面内把这两个角的一条边重合，若的另一条边恰好落在的内部，则（）． A． B． C． D．不能比较与的大小 【答案】A 【知识点】角的度数大小比较 【分析】如图所示，，，∠AOC＞∠BOC，． 【详解】解：如图所示，，， ∵∠AOC＞∠BOC， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，解题的关键在于能够画出图形进行求解． 33．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题考查了角度的换算与比较，掌握角度的换算方法是解题的关键． 根据，将换算成以度为单位的角，再与比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 题型十七、方向角的表示 34．（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，周末小明打算从位于A处的宝山青少年活动中心出发，前往位于B处的上海大学校区参加活动．那么从A观测B处的方向为（　　） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方位角，根据方位角的概念即可得答案． 【详解】解：从A观测B处的方向为南偏东， 故选：． 35．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，货船与港口相距海里，港口相对货船的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距海里处 B．北偏西方向，相距海里处 C．南偏东方向，相距海里处 D．北偏东方向，相距海里处 【答案】A 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，港口相对货船的位置可描述为南偏西方向，相距海里处， 故选：． 36．（24-25六年级上·上海·期末）如图，标明了甲地、乙地与丙地的大致位置，请用规范的数学用语指明：丙地在甲地的 方向上． 【答案】南偏东 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了用方位角表示位置，掌握方位角的定义是解题关键．根据方位角的定义写出即可． 【详解】解：由题意可知，丙地在甲地的南偏东方向上， 故答案为：南偏东． 题型十八、与方向角有关的计算题 37．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【知识点】与方向角有关的计算题、方向角的表示 【分析】本题考查方位角，根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：过点作的平行线，交延长线于点 观察可知， ， ， 与平行 ， ， 灯塔在灯塔北偏西． 故选：B． 38．（24-25六年级上·上海·阶段练习）北偏西和南偏东所成的角是 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、方向角的表示 【分析】本题考查了方向角和角度计算， 解题关键在于理解方向角的定义．通过方向角的定义和几何分析，确定两方向在坐标系中的位置，进而计算它们的夹角即可， 【详解】解：如图，，， , ． 故答案为：． 题型十九、几何图形中角度计算问题 39．如图，直线与相交于点O，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，先求出，再利用，进行计算即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 40．（24-25六年级上·上海·期末）如图，，，则 ． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查的是角的和差运算，根据可得答案． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为： 题型二十、三角板中角度计算问题 41．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用一副三角板（一把含有角，一把含有角）不可能画出的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算．可以画两角之和，也可以画出两个角的差． 【详解】解：因为三角板的度数：，，，， 可以画出的角度是：，，， ∴不可能画出的角度是； 故选：B． 42．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝ 时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直． 【答案】105°或75° 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】分两种情况：①AB⊥CD，交DC延长线于E，OB交DC延长线于F，②AB⊥CD于G，OA交DC于H求出答案． 【详解】解：①如图1，AB⊥CD，交DC延长线于E，OB交DC延长线于F， ∵∠B=45°，∠BEF=90°， ∴∠CFO=∠BFE=45°， ∵∠DCO=60°， ∴∠COF=15° ∴∠AOC=90°+15°=105°； ②如图2，AB⊥CD于G，OA交DC于H， ∵∠A=45°，∠AGH=90°， ∴∠CHO=∠AHG=45°， ∵∠DCO=60°， ∴∠AOC=180°-60°-45°=75°； 故答案为：105°或75°． 【点睛】此题考查了三角形的角度计算，正确掌握三角板的度数及各角度的关系是解题的关键． 题型二十一、角平分线的有关计算 43．如图，射线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义可得． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， 故选：C． 44．（24-25六年级上·上海·期末）如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角的定义，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵A、O、E三点在同一条直线上， ∴， 故答案为：． 45．如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分．    (1)求的度数． (2)如果A、O、E三点不在同一条直线上，其他条件不变，试问和之间有什么数量关系，简要说明理由． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线定义，得到，，再结合，即可得到； （2）由（1）过程可知：． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴ ， ∴； （2），理由如下： 当A、O、E不在同一条直线上， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查利用角平分线定义求角度，涉及角平分线定义等知识，熟练掌握相关定义，数形结合准确表示各个角度之间的和差倍分是解决问题的关键． 题型二十二、求一个角的余角 46．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：C． 47．（23-24六年级·上海虹口·期末）已知，则的余角的大小为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查求一个角的余角，根据和为的两个角互余，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的大小为； 故答案为：． 题型二十三、求一个角的补角 48．（24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查的是补角，掌握互为补角的两角之和为度是关键． 【详解】解：的补角为：， 故选：B． 49．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【知识点】与方向角有关的计算题、求一个角的补角、求一个角的余角 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 题型二十四、与余角、补角有关的计算 50．下列说法错误的是（ ） A．角与角互为余角 B．如果，那么与互为补角 C．两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角 D．一个角的补角比这个角的余角大 【答案】D 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】分别根据互余和互补的性质进行解答即可． 【详解】解：选项、， 角与角互为余角，说法正确， 故本选项不符合题意； 选项、根据补角的定义可知与互为补角，说法正确， 故本选项不符合题意； 选项、两角互补即两角之和为， 一角小于，另一角一定大于，说法正确， 故本选项不符合题意； 选项、设这个角为，则这个角的补角为，余角为， 所以，说法错误， 故本选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了关于余角和补角的定义，能够正确理解互余是指两角之和为，互补是指两角之和为的性质． 51．（24-25六年级上·上海·期末）如果一个角的余角是，那么它的补角是 ． 【答案】/146度 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的定义．先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角为， ∴这个角的补角的度数是． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $