1.5 有理数的混合运算（讲义，知识点&3大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，衔接有理数加减、乘除、乘方等基础运算，构建“先分级（乘方三级、乘除二级、加减一级）、再定序（括号优先，先乘方再乘除后加减）、巧简化（运算律应用）”的学习支架，帮助学生从单一运算过渡到综合运算。 资料以情境化题型为亮点，如程序流程图计算培养运算能力与逻辑思维，“24点”游戏提升应用意识与创新意识。课中随学随练与题型示例辅助教师高效教学，课后基础通关和素养提升模块助力学生巩固知识、查漏补缺，落实新课标“用数学思维思考现实世界”的要求。

第一章 有理数 1.5 有理数的混合运算 课标要点 1.结合生活计费、工程总量、行程核算等真实情境理解有理数混合运算的实际意义，掌握有理数混合运算的运算顺序（先乘方，再乘除，后加减；有括号时先算括号内的），能灵活运用加法、乘法运算律进行简便运算，准确完成含多级运算的有理数混合运算。 2. 能自主梳理运算分级规则，规范书写运算步骤，辨析运算顺序易错点，能基于运算律优化运算过程，建立 “分级运算→顺序判定→简便优化→结果检验” 的运算认知逻辑。 3. 能基于有理数混合运算解决生活中的收支统计、方案计费、工程进度等实际问题，能根据实际情境梳理数量关系并列式计算，解释运算结果的实际含义。 学习重难点 重点： 1.有理数混合运算的运算顺序规则，含乘方、乘除、加减的多级运算的规范计算。 2. 加法、乘法运算律在混合运算中的灵活应用，简便运算的常用方法。 难点： 1.含多重括号、乘方、复杂符号的混合运算的顺序把控与符号处理，建立 “先分级、再定序、巧简化” 的运算思维模型。 2.运算律的逆向运用与拆分技巧，复杂混合运算的简便优化设计。 3. 多条件实际问题的数量关系梳理，混合运算的实际建模与结果分析思路。 知识点 有理数的混合运算 1．一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方等运算中的两种或两种以上的运算称为有理数的混合运算． 加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法． 2．有理数的混合运算顺序 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如果有括号，先进行括号内的运算． 有理数的混合运算分为三级：第一级运算为加减运算，第二级运算为乘除运算，第三级运算为乘方运算． 3．去括号 （1）括号前带负号，去掉负号和括号后，原括号内各数要变号，即 $-(a+b)=-a-b,-(a-b)=-a+b$ 。 （2）去括号按照小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数混合运算的常用技巧 （1）巧转化：将小数与分数或乘法与除法相互转化； （2）巧分解：将一个数分解成几个数的和（或差）或分解为几个因数的积； （3）巧逆用：逆用分配律； （4）巧分段：借助混合运算中的加减号或括号分段计算． 随学随练 1．下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：_____________． 题型 含乘方的有理数混合运算 ▌例1计算：______． ▌对点练1-1 ＝________； ▌对点练1-2 计算：． ▌对点练1-3 计算： ▌对点练1-4 计算： (1) (2) 题型 程序流程图与有理数计算 ▌例2 如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是______． ▌对点练2-1 按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果________． ▌对点练2-2 根据如图的流程图，完成下列各题： 如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． ▌对点练2-3 按流程图进行计算： 如第一次，不大于100，第二次重复再做， 请写出最后输出的结果，并附上简要的计算过程． 题型 算“24”点 ▌例3 “24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． ▌对点练3-1 在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 _____________（写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． ▌对点练3-2 “点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式_____． 基础通关 计算的结果是（     ） A． B． C．1 D．2 计算：_____． （24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：______． （25-26六年级上·上海虹口·期中）如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是_________． 计算： (1)； (2)． 计算： (1)； (2)； (3)． （24-25六年级上·上海青浦·期中）根据流程图，如果输入，那么输出是多少？请写出计算过程． 红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 素养提升 根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ （25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.5 有理数的混合运算 课标要点 1.结合生活计费、工程总量、行程核算等真实情境理解有理数混合运算的实际意义，掌握有理数混合运算的运算顺序（先乘方，再乘除，后加减；有括号时先算括号内的），能灵活运用加法、乘法运算律进行简便运算，准确完成含多级运算的有理数混合运算。 2. 能自主梳理运算分级规则，规范书写运算步骤，辨析运算顺序易错点，能基于运算律优化运算过程，建立 “分级运算→顺序判定→简便优化→结果检验” 的运算认知逻辑。 3. 能基于有理数混合运算解决生活中的收支统计、方案计费、工程进度等实际问题，能根据实际情境梳理数量关系并列式计算，解释运算结果的实际含义。 学习重难点 重点： 1.有理数混合运算的运算顺序规则，含乘方、乘除、加减的多级运算的规范计算。 2. 加法、乘法运算律在混合运算中的灵活应用，简便运算的常用方法。 难点： 1.含多重括号、乘方、复杂符号的混合运算的顺序把控与符号处理，建立 “先分级、再定序、巧简化” 的运算思维模型。 2.运算律的逆向运用与拆分技巧，复杂混合运算的简便优化设计。 3. 多条件实际问题的数量关系梳理，混合运算的实际建模与结果分析思路。 知识点 有理数的混合运算 1．一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方等运算中的两种或两种以上的运算称为有理数的混合运算． 加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法． 2．有理数的混合运算顺序 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如果有括号，先进行括号内的运算． 有理数的混合运算分为三级：第一级运算为加减运算，第二级运算为乘除运算，第三级运算为乘方运算． 3．去括号 （1）括号前带负号，去掉负号和括号后，原括号内各数要变号，即 $-(a+b)=-a-b,-(a-b)=-a+b$ 。 （2）去括号按照小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数混合运算的常用技巧 （1）巧转化：将小数与分数或乘法与除法相互转化； （2）巧分解：将一个数分解成几个数的和（或差）或分解为几个因数的积； （3）巧逆用：逆用分配律； （4）巧分段：借助混合运算中的加减号或括号分段计算． 随学随练 1．下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法以及乘方运算，逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，符合题意；     B. ，故该选项正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．计算：_____________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握好有理数混合运算的法则是解题关键． 先计算乘方，再进行除法运算． 【详解】解：． 故答案为：． 题型 含乘方的有理数混合运算 ▌例1计算：______． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算平方运算，再计算减法，即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． ▌对点练1-1 ＝________； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算和乘除运算，掌握相关法则是解题的关键．先计算乘方，再将除法转化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． ▌对点练1-2 计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的乘方运算进行运算，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【详解】解： ▌对点练1-3 计算： 【答案】 【分析】本题按照四则混合运算顺序计算，先算乘方与括号内的运算，再算乘除，最后算加减，需将带分数化为假分数进行计算，同时利用0除以非零数得0、负数的奇次幂为负数的性质简化运算. 【详解】解：原式 . ▌对点练1-4 计算： (1) (2) 【答案】(1)13 (2)4 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是关键． （1）按照含乘方的有理数的混合运算进行计算即可； （2）先计算除法后，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型 程序流程图与有理数计算 ▌例2 如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是______． 【答案】13 【分析】此题考查的是根据程序图求值，掌握程序图中的条件和有理数的各个运算法则是解决此题的关键．将代入，按照程序图运算，结果不满足，就将结果重复程序图中的运算，直到结果，输出结果即可． 【详解】解：若开始输入时，则， ∴， ∴则最后输出的结果是13， 故答案为：13． ▌对点练2-1 按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果________． 【答案】3 【分析】此题主要考查了代数式求值，正确得出b的值是解题关键．直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是，输出y的值是， ∴， 解得：， 故输入x的值是3时，． 故答案为：3． ▌对点练2-2 根据如图的流程图，完成下列各题： 如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． 【答案】，过程见解析 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，先计算出的结果，若结果为非负数，则把结果乘以后输出，若结果不是非负数，则直接把结果输出，据此求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴输出的结果为． ▌对点练2-3 按流程图进行计算： 如第一次，不大于100，第二次重复再做， 请写出最后输出的结果，并附上简要的计算过程． 【答案】，计算过程见详解 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：最后输出的结果是，计算过程如下： 依题意，， 第二次重复再做，， 第三次重复再做，， ∴最后输出的结果是． 题型 算“24”点 ▌例3 “24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． ▌对点练3-1 在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 _____________（写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． ▌对点练3-2 “点的规则是四个数用且只用一次进行加、减、乘、除四则运算，使结果等”．现在有四个有理数，，，，运用上述规则列出算式_____． 【答案】 【分析】由“24点”游戏规则，根据，，，，列出算式 ，利用有理数的混合运算法则计算，其结果为24，可得出此算式满足题意． 【详解】 解：， 按上述规则写出的算式为：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算的应用，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘 除，最后算加减，有括号先算括号里边，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运 算法则计算． 基础通关 计算的结果是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握其运算法则是关键． 根据先根据有理数的乘方法则计算，再计算除法即可． 【详解】解：， 故选：A ． 计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方以及化简绝对值，再运算加法，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． （24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【答案】61 【分析】本题考查有理数的混合运算，包括乘方和加减法．运算顺序为先计算乘方，再计算减法和加法，注意符号的变化． 【详解】 ． 故答案为：61． （25-26六年级上·上海虹口·期中）如图是一个“数值转换机”，如果输出的结果为16，那么输入的a值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据“数值转换机”得到，然后求出，再根据乘方的逆运算求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算、减法的性质，掌握有理数混合运算的运算法则及减法的性质是解题关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）先化简绝对值，进而根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （3）根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （24-25六年级上·上海青浦·期中）根据流程图，如果输入，那么输出是多少？请写出计算过程． 【答案】输出 【分析】本题主要考程序流程图与有理数的计算，根据流程图进行计算即可求解． 【详解】解：输入， 输入，, 输出 红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 素养提升 根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【答案】(1) (2)或11 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分2种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：， 是正数，输出； 故输出的结果为； （2）当计算结果为时：； 当计算结果为4时：； 综上：被墨水污染的数为或11． 游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． （25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题将计算机编程流程与数学结合，题型新颖，考查了正负数的认识，有理数的加减法和相反数，正确计算是解题的关键． （1）先判断是负数，再进行的计算，判断结果为负数，直接输出即可； （2）先判断出是正数，再进行的计算，结果为正数，再取相反数即可； （3）要对输出结果进行分类讨论，前一程序结果是和进行逆向运算，并要验证是否符合题意即可． 【详解】（1）解：因为是负数，所以运算为， 所以输出结果为． （2）解：因为是正数，所以运算为， 所以输出结果为的相反数为． （3）解：如果输出的结果是，那么可分两种情况讨论： ①输出之前是取了相反数，使得结果为，则有，符合题意； ，符合题意； ②输出之前是未取相反数，结果就是，则有，符合题意 ，符合题意； 所以输入的分数为或或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $