精品解析：广东佛山市顺德区京师励耘实验学校2026-2027学年上学期八年级素养展示数学试题

2026学年第一学期八年级学生素养展示（数学） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中：，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，结合有理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：在所给实数中，，，，是有理数， 和是无理数，共2个． 故选项B符合题意． 2. 如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. ，， C. ，， D. 5，11，12 【答案】A 【解析】 【分析】先确定每组数中的最长边，验证两较短边的平方和与最长边的平方是否相等，即可判断能否组成直角三角形. 【详解】解：A选项：∵最长边为，，∴能组成直角三角形； B选项：∵最长边为，，∴不能组成直角三角形； C选项：∵最长边为25，，∴不能组成直角三角形； D选项：∵最长边为12，，∴不能组成直角三角形. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用算术平方根的非负性快速排除选项A，再结合根式运算规则验证其余选项． 【详解】解：A选项：，运算错误，不符合题意； B选项：，运算错误，不符合题意； C选项：，运算正确，符合题意； D选项：，运算错误，不符合题意． 4. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义、函数的图象，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键． 根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数，符合题意； 故选：D． 5. 已知点，关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列式求出m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点，关于x轴对称， ，， 解得，， ． 6. 若点在轴上，则点所在象限是（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在轴上得到点的坐标，进而得到点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴，点的坐标为， ∴点在第三象限． 7. 关于“”，下面说法不正确的是（ ） A. 它可以表示面积为13的正方形的边长 B. 它是一个无理数 C. 若，则整数a为3 D. 13的平方根是 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，设正方形边长为，由面积为13得，（边长为正），说法正确； B选项，是开方开不尽的数，属于无理数，说法正确； C选项，∵，，，∴，∴整数，说法正确； D选项，13的平方根为和，是13的算术平方根，该说法错误． 8. 如图正方体的棱长为，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正方体右面向前面展开，再由两点之间线段最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：将正方体右面向前面展开，如图所示： 正方体的棱长为， ， ． 9. 如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由折叠的性质可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可得， 在中，， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼位置，表示校门位置，则实验楼的位置可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据教学楼坐标确定原点位置，结合图形中实验楼与原点的相对位置求解． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系， 则实验楼的位置可表示为． 12. 已知x的立方根是，y的算术平方根是1，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴． 13. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离等于，那么的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第四象限内的点的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离等于， ， 解得， ∴， ∴符合题意， 故答案为：． 14. 已知的三边长分别为，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】验证三边长的平方关系，利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再代入面积公式计算． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∴ 的面积为． 15. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，进而得到，据此化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理方程得到的形式，利用平方根定义求解； （2）化简方程得到的形式，利用立方根定义求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ 解得： 18. 已知点与点． （1）若P、Q关于y轴对称，求的值； （2）若轴，且，求p、q的值． 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【小问1详解】 解：点与点关于y轴对称， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：轴，且，点，点， ∴，， ∴，或，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中描出点A、B、C，并画出； （2）画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 、、． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 丙午马年的春晚机器人表演给同学们留下了深刻的印象，精彩的表演离不开科技的创新，团队的协作以及科技人员对细节的极致追求，在他们的影响下，某校科创社团的同学们积极思考完成下面的活动任务． 【活动说明】 机器车型号 恒定速度 路线说明 路线示意图 甲 乙 【相关数据】 ，点，，在一条直线上，，，； 【任务目标】 确定的值，使甲、乙两种型号机器车同时到达点． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由勾股定理列方程求解得到相关线段长度，根据时间相等列等式求解即可． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， ，解得， 使甲、乙两种型号机器车同时到达点， ， ， ． 21. 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股__________，弦__________ 【问题解决】 （2）如果，，（为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明其正确性； （3）已知在（2）的条件下，，请判断以，，为三边长的三角形的形状． 【答案】（1） （2）证明：，，（为大于1的整数）， ，，都是正整数， ，， ， 故、、为勾股数． （3）解：以，，为三边长的三角形是直角三角形．理由如下： ，，（为大于1的整数）， 当时， ， 解得 ，， ，， ， 所对的角为， 故该三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据特例发现，股中括号里的第一项恰好是勾的平方，弦中括号里的第一项恰好是勾的平方，其余特点，保持不变，解答即可； （2）根据勾股数的定义，解答即可； （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：略． 22. 已知：正方形． （1）如图1，若点E在上，以为边在右侧作正方形，并连接．则与的数量关系是______位置关系是______ （2）如图2，若点E在线段延长线上，连接，以为边在其右侧作正方形，并连接．猜想之间的关系，并说明理由． （3）如图3，点E为正方形外一点，若，，，请求出的长及的面积． 【答案】（1）， （2）解：，理由如下： 如图2所示，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； （3），的面积为 【解析】 【分析】（1）证明得到，则可证明，得到 （2）连接，证明得到，则可证明，得到，再由勾股定理可得结论； （3）过点D作于点H，求出，证明是等腰直角三角形，求出；以为边在左侧作正方形，证明，得到；由勾股定理得，证明，得到，则；根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3所示，过点D作于点H， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图3所示，以为边在左侧作正方形， 由正方形的性质可得，， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得 ∵， ∴， ∴； ∵， ∴ ， ∴的面积为． 23. 在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为和，且a，b满足；点C的坐标为． （1）求a，b的值及； （2）若点M在坐标轴上，且，试求点M的坐标； （3）点P是上的一点，且，点N在上，求的最小值； （4）在轴上确定一点Q，使点C、B、Q三点构成的三角形是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）或． （3） （4）点Q的坐标为，，或 【解析】 【分析】（1）先求出，得出，即可求出结论； （2）先求出，再分两种情况：当点M在x轴上时，设，或当点M在y轴上时，设，分别求出结论即可． （3）作点C关于轴的对称点，连接，与的交点为点，连接,结合轴对称的性质得，当三点共线时，则有最小值，即为的长度，运用两点距离公式列式计算，即可作答． （4）先根据两点距离公式列式计算，得，，再根据等腰三角形的性质进行分类讨论，即可作答． 【小问1详解】 解：由， 得， 解得， ∴， ∴ ∵点C的坐标为． ∴， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， 分两种情况： 当点M在x轴上时，设， ， 解得， ， ∴ 则或； 当点M在y轴上时，设， ， 解得， ， ∴或 则或， 综上，点M的坐标为或． 【小问3详解】 解：依题意，作点C关于轴的对称点，连接，与的交点为点，连接,如图所示： ∵点C关于轴的对称点， ∴ 则， 当三点共线时，则有最小值，即为的长度 ∵点C的坐标为． ∴， ∵， ∴． ∴有最小值为． 【小问4详解】 解：依题意，设点的坐标为， 由（1）得 ∴ ∴， ∵点C、B、Q三点构成的三角形是等腰三角形， ∴当时，得， ∴， 解得，， ∴或； ∴当时，得， ∴， 解得，（与点重合，故舍去）， ∴； ∴当时，得， ∴， ∴ ∴ 解得， ∴； 综上：点Q的坐标为，，或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期八年级学生素养展示（数学） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列实数中：，无理数的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. ，， C. ，， D. 5，11，12 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，关于x轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 6. 若点在轴上，则点所在象限是（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 关于“”，下面说法不正确的是（ ） A. 它可以表示面积为13的正方形的边长 B. 它是一个无理数 C. 若，则整数a为3 D. 13的平方根是 8. 如图正方体的棱长为，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼位置，表示校门位置，则实验楼的位置可表示为______． 12. 已知x的立方根是，y的算术平方根是1，则的值为______． 13. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离等于，那么的值为______． 14. 已知的三边长分别为，，，则的面积为______． 15. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_____________． 三、解答题 16. 计算：． 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 18. 已知点与点． （1）若P、Q关于y轴对称，求的值； （2）若轴，且，求p、q的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中描出点A、B、C，并画出； （2）画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标． 20. 丙午马年的春晚机器人表演给同学们留下了深刻的印象，精彩的表演离不开科技的创新，团队的协作以及科技人员对细节的极致追求，在他们的影响下，某校科创社团的同学们积极思考完成下面的活动任务． 【活动说明】 机器车型号 恒定速度 路线说明 路线示意图 甲 乙 【相关数据】 ，点，，在一条直线上，，，； 【任务目标】 确定的值，使甲、乙两种型号机器车同时到达点． 21. 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股__________，弦__________ 【问题解决】 （2）如果，，（为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明其正确性； （3）已知在（2）的条件下，，请判断以，，为三边长的三角形的形状． 22. 已知：正方形． （1）如图1，若点E在上，以为边在右侧作正方形，并连接．则与的数量关系是______位置关系是______ （2）如图2，若点E在线段延长线上，连接，以为边在其右侧作正方形，并连接．猜想之间的关系，并说明理由． （3）如图3，点E为正方形外一点，若，，，请求出的长及的面积． 23. 在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为和，且a，b满足；点C的坐标为． （1）求a，b的值及； （2）若点M在坐标轴上，且，试求点M的坐标； （3）点P是上的一点，且，点N在上，求的最小值； （4）在轴上确定一点Q，使点C、B、Q三点构成的三角形是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $