精品解析：广东省佛山市顺德区建安初级中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次月考试卷

2025学年第一学期阶段二八年级数学学科训练题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现．下列选项中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 11 B. 1 C. 2 D. 6. 在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A. B. C. D. 7. 在一次函数中，点，是图象上的任意两点，当时，，则此函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以数轴的数1表示的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数为（ ） A. B. C. D. 9. 为等边三角形，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的算术平方根是______． 12. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为__________． 13. 已知一次函数的图象不经过第四象限，则该一次函数的表达式可以是________．（写出一个即可） 14. 如图，在的正方形网格中，____． 15. 佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是________． 三、解答题：共75分． 16. （1）计算：． （2）解方程组：． 17. 《龟兔赛跑》是一则耐人寻味的寓言故事，故事中塑造了一只骄傲的兔子和一只坚持不懈的小乌龟．下图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时时间与路程”的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题： （1）填空：折线表示赛跑过程中______（填“兔子”或“乌龟”）的时间与路程的关系，赛跑的全过程是______米． （2）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ （3）兔子醒来后，以300米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，兔子在中间停下睡觉用了多少分钟？ 18. 关于，的方程组 （1）当时，解方程组； （2）若方程组的解满足，求的值. 19. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． （1）画出与关于轴对称的； （2）画出与关于直线对称的图形； （3）线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； （4）点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 20. 佛山有着“南国陶都”的美誉，佛山陶瓷以其丰富的品种、卓越的品质和不断创新的设计理念，赢得了国内外市场的广泛赞誉．某陶瓷专卖店一天售出和两种规格的瓷砖共100箱，合计240片．已知规格的瓷砖一箱装2片，规格的瓷砖一箱装3片． （1）该专卖店两种规格的瓷砖各卖了多少箱？ （2）该专卖店规格的瓷砖价格为40元一片，规格的瓷砖价格为35元一片，求该店这天出售两种瓷砖的总销售额是多少元？ 21. 如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． （1）若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； （2）若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 22. 【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A、E两点在直线l同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为______； （2）请在图找出点C，使得的值最小，简要说明作法，并求出的最小值． 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 23. 如图1，已知直线与坐标轴交于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，且． （1）分别求出两个一次函数的关系式； （2）点为直线上的一点，若，求点坐标． （3）如图2，过点作平行于y轴的直线，点为直线上一点，点为直线上一点，问能否构成以点A，M，N为顶点，以为腰的等腰直角三角形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期阶段二八年级数学学科训练题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现．下列选项中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，逐步分析各选项是否满足无理数的定义即可． 【详解】选项A：，不是无限不循环小数，不是无理数，不符合题意要求； 选项B：∵不是完全立方数，∴是无限不循环小数，是无理数，符合题意要求； 选项C：是有限小数，不是无理数，不符合题意要求； 选项D：是有限小数，不是无理数，不符合题意要求； 故选B． 2. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 若点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握在y轴上的点的横坐标为0．根据y轴上点的横坐标为0，计算出m的值，从而得出点P坐标． 【详解】解：∵点在y轴上， ， 解得：， ， ∴点P的坐标为． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 5. 已知是方程的解，则的值为（ ） A. 11 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 6. 在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中每条线段的位置，分别利用勾股定理求出相关线段长，用勾股定理逆定理判断即可得出正确的选项． 【详解】解：由图知：，， ∵, ∴是直角三角形，且 ∴A、B、D选项正确 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，根据定理内容解题是关键． 7. 在一次函数中，点，是图象上的任意两点，当时，，则此函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数的增减性求出k的取值范围，再结合直线在y轴上的截距即可得出结论． 本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟知一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：在一次函数中，点，是图象上的任意两点，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∴一次函数图象一定经过二、四象限； ∵， ∴一次函数与y轴交点在y轴正半轴， ∴符合条件的图象为B，其余都不符合题意， 故选：B． 8. 如图，以数轴的数1表示的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AP的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点P表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴AQ=， ∴AP=， ∵点A表示1， ∴点P到0的距离为：-1， ∴点P表示1-， 故选D． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 9. 为等边三角形，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和平面直角坐标系中点的特征，利用等边三角形的性质求解点的坐标是解题的关键． 首先作辅助线构造直角三角形，再利用等边三角形的性质求解点B的横坐标，最后利用勾股定理求点B的纵坐标，最后确定点B的坐标即可． 【详解】解：如图，过点B作于点C， ∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵点B在第一象限， ∴， 故选：D． 10. 在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，解题的关键是根据的正负分类讨论两条直线的象限分布． 分和两种情况，分别分析直线和的象限分布，再与选项逐一比对，得出正确答案． 【详解】解：当时，直线经过第一、三象限； 当时，直线经过第二、四象限． 直线的斜率为，因此直线一定从左到右上升（经过第一、三象限）；截距为： 当时，直线与轴的交点在正半轴（经过第一、二、三象限）； 当时，直线与轴的交点在负半轴（经过第一、三、四象限）． 情况1： 直线经过第一、三象限；直线经过第一、二、三象限． 选项A中，的截距为负（与矛盾），排除； 选项C中，经过第一、三象限，经过第一、二、三象限，符合条件． 情况2： 直线经过第二、四象限；直线经过第一、三、四象限． 选项B中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除； 选项D中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除． 故选C 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线的交点，求出，再求出方程组的解即可． 【详解】解：将代入， 可得， ， 直线与直线相交于点， 方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解与一次函数交点的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标． 13. 已知一次函数的图象不经过第四象限，则该一次函数的表达式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象的性质即可得出答案，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第四象限， ∴，， ∴该一次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在的正方形网格中，____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，等腰三角形的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键．连接，运用勾股定理可得，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，，，，， ∵，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找准等量关系是解题的关键．根据题意可得：第一个加数第二个加数，第一个加数第二个加数，根据等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得： ， 两式相加得：， 则， 故答案为：． 三、解答题：共75分． 16. （1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1）1（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，求一个数的立方根，解二元一次方程组，解题的关键是掌握各运算法则． （1）利用平方差公式、二次根式的乘法法则以及求一个数的立方根，进行计算即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 得，， 得，， 将代入①得，， 解得， ∴该方程组的解为． 17. 《龟兔赛跑》是一则耐人寻味的寓言故事，故事中塑造了一只骄傲的兔子和一只坚持不懈的小乌龟．下图中的线段和折线表示“龟兔赛跑时时间与路程”的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题： （1）填空：折线表示赛跑过程中______（填“兔子”或“乌龟”）的时间与路程的关系，赛跑的全过程是______米． （2）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ （3）兔子醒来后，以300米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，兔子在中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】（1）兔子，1350 （2）乌龟用了15分钟追上正在睡觉的兔子 （3）兔子中间睡觉用了40分钟 【解析】 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息，弄清函数图象中的点和线段的实际意义是解答本题的关键． （1）利用乌龟始终运动，中间没有停留，进而得出线段的意义和全程的距离； （2）根据乌龟所走路程除以所用时间即可解答； （4）用乌龟跑完全程的时间兔子晚到的时间兔子在路上奔跑所用时间即可解答． 【小问1详解】 解：乌龟始终运动，中间没有停留， 折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系， 由图可知，赛跑的全程是1350米； 故答案为：兔子，1350； 【小问2详解】 解：∵乌龟的速度是：（米/分钟）， ∴（分钟）， 答：乌龟用了15分钟追上正在睡觉的兔子； 【小问3详解】 解：∵兔子睡醒后跑向终点所用的时间：（分钟）； ∴兔子中间睡觉的时间是：（分钟）． 答：兔子中间睡觉用了40分钟． 18. 关于，的方程组 （1）当时，解方程组； （2）若方程组的解满足，求的值. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）把代入方程组，用加减法解方程组即可； （）把两个方程相加得到，再根据即可得到关于的一元一次方程，解方程即可得到的值； 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入方程组得， ， 得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 19. 如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． （1）画出与关于轴对称的； （2）画出与关于直线对称的图形； （3）线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； （4）点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 如图，即为所求作； （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图、关于坐标轴对称或关于直线对称的点的坐标特征，在平面直角坐标系中画图以及关于对称找点的坐标特征是解题的关键． （1）首先根据点关于y轴对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （2）首先根据点关于直线对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （3）首先利用轴得到横坐标相等，再根据线段的长度为4，得到存在两个满足条件的点D，再进行求解即可； （4）利用点关于直线对称的坐标特征，直接列出方程组求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点， ∵线段轴，且线段的长度为4， ∴，， ∴点或； 【小问4详解】 解：∵点关于直线的对称点为， ∴，解得：， ∴点的坐标是． 20. 佛山有着“南国陶都”的美誉，佛山陶瓷以其丰富的品种、卓越的品质和不断创新的设计理念，赢得了国内外市场的广泛赞誉．某陶瓷专卖店一天售出和两种规格的瓷砖共100箱，合计240片．已知规格的瓷砖一箱装2片，规格的瓷砖一箱装3片． （1）该专卖店两种规格的瓷砖各卖了多少箱？ （2）该专卖店规格的瓷砖价格为40元一片，规格的瓷砖价格为35元一片，求该店这天出售两种瓷砖的总销售额是多少元？ 【答案】（1）型号瓷砖卖了60箱，型号瓷砖卖了40箱 （2）该店这天出售两种瓷砖的销售额是9000元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该专卖店这天规格的瓷砖卖出了x箱，规格的瓷砖卖出了y箱，根据“该陶瓷专卖店一天售出和两种规格的瓷砖共100箱，合计240片”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总销售额=销售单价×销售数量，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设型号瓷砖卖了箱，型号瓷砖卖了箱． 则：， 解得：， 答：型号瓷砖卖了60箱，型号瓷砖卖了40箱． 【小问2详解】 解：元， 答：该店这天出售两种瓷砖的销售额是9000元． 21. 如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． （1）若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； （2）若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 【答案】（1）不是； （2）5或13 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，结合勾股定理求解是解决问题的关键． （1）结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得出答案； （2）点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴以，，为边的三角形不是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，M，N不是线段的勾股分割点， 故答案为：不是； 【小问2详解】 ∵点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴； ②为斜边时，有， 设，则， ∴； ∴的长为5或13， ∴的长为或， ∴的长为5或13． 22. 【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A、E两点在直线l同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为______； （2）请在图找出点C，使得的值最小，简要说明作法，并求出的最小值． 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1） （2）的值最小为17 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和几何模型求最值，矩形的判定和性质，轴对称求最短线段，根据题干将代数式的几何意义表示出来和熟练运用两点间的距离公式是解题的关键． （1）利用线段的加减表示为的长即可； （2）作点E关于l的对称点，连接，依据两点之间线段最短的原理，当、、三点共线时，的值最小为的长，连接，作的延长线于点F，先证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可； （3）首先根据题干将代数式转化为平面直角坐标系中两点间的距离，再利用几何模型在平面直角坐标系中求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，作点E关于l的对称点，连接，即当、、三点共线时，的值最小为的长，连接，作的延长线于点F， ∵点E关于l的对称点为点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的值最小为17． （3）解：∵， ∴几何意义为：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离， ∴代数式的最小值即为的最小值， 如图，作点B关于l的对称点，即当、、三点共线时，的值最小为的长，过点作轴的平行线，作于点C， ∵点B关于l的对称点为点， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴代数式的最小值为． 23. 如图1，已知直线与坐标轴交于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，且． （1）分别求出两个一次函数的关系式； （2）点为直线上的一点，若，求点坐标． （3）如图2，过点作平行于y轴的直线，点为直线上一点，点为直线上一点，问能否构成以点A，M，N为顶点，以为腰的等腰直角三角形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1），； （2）或 （3）能，或或 【解析】 【分析】（1）把代入得，，把分别代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求出，则，再根据三角形面积公式求出，因为，得，根据点为直线上的一点，得，即或，又因为点为直线：上的一点，进行代入数值计算，即可作答． （3）分六种情形讨论；①若为直角，且点在第三象限时，过点和点分别作轴平行线、，过点作轴平行线与、分别交于点和点，证明，得出，代入得出的坐标；②若为直角，且点在第一象限时，③若为直角，④若为直角，⑤若为直角，且点在轴左边时；⑥若为直角，且点在的右边时，根据等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质求得的坐标，结合图形取舍，即可求解． 【小问1详解】 解：， 把代入得， ， 解得： 把分别代入得： 解得， 【小问2详解】 解：由（1）得， 令，则， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为直线上的一点， ∴， ∴， ∴， 即或， ∵点为直线：上的一点， ∴把代入，得，解得，此时； ∴把代入，得，解得，此时； 综上：点坐标为或； 【小问3详解】 解：①若为直角，且点在第三象限时，如图1： 过点和点分别作轴平行线、，过点作轴平行线与、分别交于点和点， 是以为腰的等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， 将代入得： ②若为直角，且点在第一象限时，如图2： 过点和点分别作轴平行线分别交轴于点和点，同理可证， 将代入得： ③若为直角，如图3， 过点作轴平行线分别交轴和直线于点和点， 同理可证， 设，则 将代入得： 解得 ④若为直角，且点在轴和之间时，如图4： 过点和点分别作轴的平行线交轴于点和点， 若为等腰直角三角形，同理可证， 将代入得： 此时，点在直线的右边，故舍去． ⑤若为直角，且点在轴左边时，如图5： 过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点， 若为等腰直角三角形，同理可证， 设点，则有，显然， 这与矛盾，故不存在． ⑥若为直角，且点在的右边时，如图6： 过点作轴平行线，过点分别作轴的平行线，分别交与点、， 若为等腰直角三角形，同理可证， 设点，则有，显然 这与矛盾，故不存在． 综上：或或 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握待定系数法和全等三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $